6.4.3 2正弦定理 第1课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.4.3 2 正弦定理第 1课时 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
在?ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=32，则AC=(????)
A. 43 B. 23 C. 3 D. 32
在?ABC中，已知b=4，c=2，C=60°，则此三角形的解的情况是(????)
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 有解但解的个数不确定
在?ABC中，a=43，b=4，A=π3，则B=? (??? )
A. π6 B. π3 C. π2 D. 5π6
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=32，则B的大小为(????)
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin?B+sin?A(sin?C?cos?C)=0，a=2，c=2，则C=(??? )
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
在锐角三角形ABC中，sinA和cosB的大小关系是? (???? )
A. sinA=cosB B. sinAcosB D. 不能确定
在?ABC中，若3a=2bsinA，则B为? (??? )
A. π3 B. π6 C. π3或23π D. π6或56π
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则2sin2B?sin2Asin2A的值为(????)
A. ?19 B. 13 C. 1 D. 72
(多选题)在?ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1):2，则∠A可能为? (??? )
45° B. 60° C. 75° D. 90°
二．填空题
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=________．
在?ABC中，A=60°，B=45°，a+b=12，则a=________．
在?ABC中，B=π4，BC边上的高AD等于13BC，且AD=1，则AC=________，sinA________．
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=________．
在?ABC中，若(sin?A+sin?B)(sin?A?sin?B)=sin2C，则△ABC的形状是??????????.
三．解答题
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC．
(1)求cosB的值；
(2)求sin2B+π6的值．
如图，在平面上，直线l1//l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=3，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a>b，且bcosB=acosA．
(1)判断?ABC的形状；
(2)记∠ACM=θ，f(θ)=1b+1a，求f(θ)的最大值．
已知a，b，c分别为锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC?b?c=0．
(1)求A的大小；
(2)若a=3，求bc的取值范围．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
结合已知，根据正弦定理，BCsinA=ACsinB可求AC．
【解答】
解：根据正弦定理，BCsinA=ACsinB，
则AC=BC?sinBsinA=32×2232=23，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，利用正弦定理列出关系式，属于基础题．
将b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判断．
【解答】
解：∵在?ABC中b=4，c=2，C=60°
∴由正弦定理得bsinB=csinC，
∴sinB=bsinCc=4×322=3>1，
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
故选C．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是正弦定理，属于容易题．
由正弦定理得由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=4×3243=12，进而得到B．
【解答】
解：因为在?ABC中，a=43，b=4，A=π3
所以由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=4×3243=12，
又a=43>b=4，∴A>B，∴B=π6．
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：在?ABC中，由正弦定理可得asinA=bsinB，即6sin45°=32sinB，解得sinB=12．
∵b故选A．
由正弦定理求得sinB=12，再由大边对大角求得B的值．
本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题．
根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可．
【解答】
解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA(sinC?cosC)=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC?sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，∴cosA=?sinA，∴tanA=?1，
∵0∵a=2，c=2，
∴由正弦定理可得，
可得：，
∵a>c，∴C=π6．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式和正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意A+B>π2，利用正弦函数的单调性，推出选项．
【解答】
解：锐角?ABC中，A+B>π2，
π2>A>π2?B>0，
因为y=sinx在(0,π2)上单调递增，
所以sinA>sin(π2?B)=cosB，
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形的正弦定理，属于基础题．
运用正弦定理化简即可求解．
【解答】
解：?因为3a=2bsinA，
所以由正弦定理有3sinA=2sinBsinA，
又sinA≠0，
所以sinB=32，
又0所以或．
故选C．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．
根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．
【解答】
解：∵3a=2b，∴b=32a，
根据正弦定理可得2sin2B?sin2Asin2A=2b2?a2a2
=2·9a24?a2a2=92?1=72．
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理及两角和与差的三角函数，分A是最大角和C是最大角两种情况讨论，结合正弦定理和两角和与差的三角函数求解即可，属于中等题．
【解答】
解：若最大角为A，最小角为C，由B=60°，得A+C=120°，∴A=120°?C，
由正弦定理，得ac=sinAsinC=sin(120°?C)sinC=3+12，
∴2sin(120°?C)=(3+1)sinC，即3cosC+sinC=3sinC+sinC，
∴tanC=1，∴C=45°，∴A=75°，
若C为最大角，A为最小角时，A=45°，C=75°，
故选AC．
二．填空题
10.【答案】2113
【解析】
【分析】本题考查和差角公式，以及正弦定理，属较易题．
由已知，利用和差角公式sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，由正弦定理asinA=bsinB求边长．
【解答】解：因为cosA=45，cosC=513，
所以sinA=35，sinC=1213，
从而sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC
=35×513+45×1213=6365．
由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=2113．
11.【答案】12(3?6)
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理的运用；由已知d得到三角形边角的关系等式解得即可．
【解答】
解：因为在△ABC中，A=60°，B=45°，a+b=12，
所以，
解得a=12(3?6);
故答案为12(3?6)．
12.【答案】5?;?31010
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，结合已知和勾股定理，求出AC，再由正弦定理可得sinA．
【解答】
解：如图，由AD=1，B=π4，知BD=1，
又AD=13BC=BD，
∴DC=2，AC=12+22=5，
由正弦定理知，sin∠BAC=sinB?BCAC=225×3=31010．
故答案为5;?31010．
13.【答案】75°
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，属于基础题．
由正弦定理得6sinB=3sin60°，求角B，即可求角A．
【解答】
解：由正弦定理，得bsin?B=csin?C，
即6sinB=3sin60°，
∴sinB=32×63=22，
则B=45°或135°，
∵c>b，
∴C>B，
故B=45?，A=75°．
三．解答题
14.【答案】直角三角形
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
由(sin?A+sin?B)(sin?A?sin?B)=sin2C，运用正弦定理化简得到b2+c2=a2，即可得到三角形的形状．
【解答】
解：由已知得sin2A?sin2B=sin2C，
根据正弦定理知sin?A=a2R，sin?B=b2R，sin?C=c2R，
所以a2R2?b2R2=c2R2，
即a2?b2=c2，
故b2+c2=a2，
所以△ABC是直角三角形．
故答案为直角三角形．
15.【答案】解：(1)在?ABC中，由正弦定理bsinB=csinC，得bsinC=csinB，
又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，
又因为b+c=2a，得到b=43a,c=23a，
由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=a2+49a2?169a22a?23a=?14；
(2)由(1)可得sinB=1?cos2B=154，
从而sin2B=2sinBcosB=?158，cos2B=cos2B?sin2B=?78，故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=?158×32?78×12=?35+716．
【解析】
【分析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，难度一般．
(1)由正弦定理得，和余弦定理可求出cosB的值；
(2)由(1)可得从而得到的值，再代入即可得到sin2B+π6的值．
16.【答案】解：(1)由正弦定理及bcosB=acosA，得sin2B=sin2A．
因为a>b，所以A>B，所以2A+2B=π，所以C=π2，
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)得∠BCN=π2?θ，则b=1cosθ，a=3sinθ，f(θ)=1b+1a=cosθ+33sinθ=233cos(θ?π6)，
所以当θ=π6时，f(θ)取得最大值，为233．
【解析】
【分析】本题考查正弦定理的运用，考查三角形形状的判定，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
(1)利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC的形状；
(2)记∠ACM=θ，表示出f(θ)=1AC+1BC，利用辅助角公式化简，即可求f(θ)的最大值．
17.【答案】解：(1)∵acosC+3asinC?b?c=0，
∴sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC，
化简得3sinA?cosA=1，
∴sin(A?π6)=12．
∵A∈(0,π2)，∴A?π6∈(?π6,π3)，
∴A?π6=π6，即A=π3．
(2)设△ABC的外接圆的半径为R，则2R=asinA=332=2．
由正弦定理，得bc=2RsinB?2RsinC=4sinB?sin(B+π3)=2sin(2B?π6)+1．
∵△ABC是锐角三角形，∴B∈(π6,π2)，
∴sin(2B?π6)∈(12,1],
∴bc∈(2,3]，
∴bc的取值范围是(2,3]．
【解析】
【分析】本题考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，正弦函数的性质．
(1)利用正弦定理，两角和的正弦公式化简所给式子，即可求解；
(2)利用正弦定理将bc用角来表示，利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简，结合正弦函数的性质可得答案．