7.2.2 复数的乘、除运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
7.2.2 复数的乘、除运算 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1·z2是实数，则实数t等于(????)
A. 34 B. 43 C. ?43 D. ?34
设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=(??? )
A. ?5 B. 5 C. ?4+i D. ?4?i
已知i为虚数单位，a为实数，复数z=(1?2i)(a+i)在复平面内对应的点为M，则“a>12”是“点M在第四象限”的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
设集合M={y|y=|cos2x?sin2x|,x∈R}，N=xx?2(1+i)2<2,i为虚数单位,x∈R，则M∩N=? (??? )
A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) D. [0,1]
i为虚数单位，1i+1i3+1i5+1i7=? (??? )
A. 0 B. 2i C. ?2i D. 4i
已知实数m，n满足(m+ni)(4?2i)=5+3i，则m+n=?(????)
A. 95 B. 115 C. 94 D. 114
定义运算abcd=ad?bc，则符合条件1?1zzi=4+2i(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于? (??? )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
设f(n)=1+i1?in+1?i1+in(n∈N)，则集合{x|x=f(n)}的元素有? (??? )
A. 2 B. 0 C. ?2 D. 1
若复数(1+2ai)i=1?bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=? (??? )
A. 12+i B. 5 C. 52 D. 54
已知i为虚数单位，a∈R，若a+3i1?3i为实数，则a等于? (??? )
A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3
已知i为虚数单位，复数z满足(1?i)·z=2i，z是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是? (??? )
A. z=?1?i B. |z|=2
C. z?z=2
D. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
设复数z1=i1+i，z2=z1i，z1，z2在复平面内所对应的向量分别为OP，OQ(O为原点)，则OP?OQ=(? ?)
?12 B. 0 C. 12 D. 22
二．填空题
在复数范围内方程x2+2x+5=0的根是_________．
定义运算abcd=ad?bc.若复数x=1?i1+i，y=4ixi2x+i，则|x|=??????????，y=??????????．
x，y互为共轭复数，且(x+y)2?3xyi=4?6i，则|x|+|y|=________．
设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，点A与点B关于x轴对称，若复数z1满足z1(1?i)=3?i，则|z2|=_________．
三．解答题
计算下列各题：
(1)(1+i)71?i+(1?i)71+i?(3?4i)(2+2i)34+3i； (2)1i(2+2i)5+(11+i)4+(1+i1?i)7；
(3)(1+i1?i)6+2+3i3?2i．
已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w=z2+i，求复数w及复数w的模|w|．
在复平面内，复数z1，z2，z3对应的点分别为A(4,0)，B(5,3)，C(3,33)．
(1)求z2z3及z2z3的模；
(2)求向量BC在向量OA上的投影向量，其中O为复平面的原点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念、共轭复数和复数的四则运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由z1·z2=(3+4i)(t?i)=3t+4+(4t?3)i为实数，得t=34．
【解答】
解：z1·z2=(3+4i)(t?i)=3t+4+(4t?3)i为实数，
则4t?3=0，所以t=34．
2.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．
根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．
【解答】解：由题意可知z2=?2+i，所以z1z2=(2+i)(?2+i)=i2?4=?5．
故选A．
3.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数的四则运算以及几何意义，考查充分不要条件的应用，属于基础题．
先通过复数的乘法运算以及点M在第四象限，得到a>12，再根据充分、必要条件的定义判定，即可得到答案．
【解答】解：z=(1?2i)(a+i)=(a+2)+(1?2a)i，
若其对应的点在第四象限，则a+2>0，且1?2a<0，解得a>12．
即“a>12”是“点M在第四象限”的充要条件．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义，属于较易题.通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．
【解答】
解：因为y=|cos2x?sin2x|=|cos?2x|∈[0,1]，所以M=[0,1]．
由x?2(1+i)2<2，得|x+i|<2，
又因为x∈R，所以x2+1<2，解得?1所以M∩N=[0,1)，
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】本题是基础题，考查复数的基本运算，i的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型．
直接利用i的幂运算，化简表达式即可得到结果．
【解答】解：∵i2=?1，∴1i+1i3+1i5+1i7=1i?1i+1i?1i=0．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．把已知等式坐标变形，利用复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．
【解答】
解：由(m+ni)(4?2i)=(4m+2n)+(4n?2m)i=3i+5，
得4m+2n=54n?2m=3，解得m=710，n=1110．
∴m+n=710+1110=95．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义先计算z的值，结合复数的几何意义进行化简判断即可．
本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算进行化简是解决本题的关键．
【解答】
解：由1?1zzi=4+2i得zi+z=4+2i，
即z(1+i)=4+2i，
得z=4+2i1+i=(4+2i)(1?i)(1+i)(1?i)=6?2i2=3?i，
对应点的坐标为(3,?1)，位于第四象限，
故选：D．
8.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点，属于基础题．依据两个复数代数形式的除法法则，化简
1+i
1?i
?和
1?i
1+i
，得到f(n)=in+(?i)n，分n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3这四种情况，分别求出f(n)的值，即得结论．
【解答】
解：∵1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=2i2=i，
1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?i，
∴f(n)=1+i1?in+1?i1+in=in+?in，
根据i的性质当n=4k(k∈N)时，f(n)=2；
当n=4k+1(k∈N)时，f(n)=0；
当n=4k+2(k∈N)时，f(n)=?2；
当n=4k+3(k∈N)时，f(n)=0．
所以集合中共有?2，0，2这3个元素．
故选ABC．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数相等和复数的求模，
本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．
【解答】
解：∵(1+2ai)i=1?bi，
∴i?2a=1?bi，
∴?2a=1，b=?1，
∴a=?12，b=?1，??
∴|a+bi|=52，
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算以及复数的基本概念，属于基础题．
先化简已知复数，再根据其为实数，得到a的方程，求得a的值．
【解答】
解：∵a+3i1?3i=(a+3i)(1+3i)(1?3i)(1+3i)=a?34+3(a+1)4i为实数，
∴a+1=0，即a=?1．
故选B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由(1?i)?z=2i，
可得z=2i1?i=2i(1+i)(1?i)(1+i)=2i?22=?1+i，故A错误；
∴|z|=2，故B错误；
易知z=?1?i，则z?z=(?1+i)(?1?i)=2，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为(?1,1)，位于第二象限，故D错误．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简z1，z2然后求得OP，OQ，再由向量数量积的计算公式求解．
【解答】
解：z1=i1+i=i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i2，
z2=z1i=i?12
z1，z2在复平面内所对应的向量分别为OP，OQ，
∴OP=12,12，OQ=?12,12
则OP?OQ=12×?12+12×12=0
故选B．
13.【答案】?1±2i
【解析】
【分析】
本题考查复数范围内一元二次方程的求解，属于基础题．
运用配方法，并根据i2=?1，即可得到答案．
【解答】
解：由x2+2x+5=0得(x+1)2=?4，所以x=?1±2i．
故答案为?1±2i．
14.【答案】1
?2
【解析】
【分析】
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．利用复数代数形式的除法运算化简x，代入y=4ixi2x+i后直接利用定义得答案．?
【解答】
解：x=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?2i2=?i，x=1；
由定义可知，
y=4ixi2x+i=4i120=4i×0?1×2=?2；
故答案为1，?2．
15.【答案】22
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念和复数相等，属于基础题．
由共轭复数和复数相等可得a2=1，b2=1，代入要求的式子化简即可．
【解答】
解：∵x、y为共轭复数，
∴设x=a+bi，y=a?bi，a，b∈R，
则x+y=2a，xy=a2+b2，
∴由(x+y)2?3xyi=4?6i，
得4a2?3(a2+b2)i=4?6i，
即4a2=4，且3(a2+b2)=6，
解得a2=1，b2=1，
∴|x|+|y|=a2+b2+a2+b2=2+2=22，
故答案为22．
16.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义、复数模的计算，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z1，进一步得到z2,通过模的公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：∵z1(1?i)=3?i，
所以z1=3?i1?i=3?i(1+i)(1?i)(1+i)=4+2i2=2+i，
∴z1在复平面内的对应点的坐标为A(2,1)，
∵z1，z2在复平面内的对应点关于x轴对称，
则z2在复平面内的对应点B(2,?1)，
∴z2=2?i．
所以|z2|=22+(?1)2=5，
故答案为5．
17.【答案】解：(1)原式
=8+8?16?16i
=?16i．
(2)原式
=162(?1+i)?14?i
=?(162+14)+(162?1)i．
(3)方法1：原式
=i6+6+2i+3i?65=?1+i．
方法2：原式
．
【解析】本题考查复数的四则运算，属于基础题
根据复数的四则运算法则和i的幂运算的周期性，分母实数化，高次方变低次方依次计算即可．
18.【答案】解：(1)复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)?z为纯虚数．
即(1+3i)?(3+bi)=3?3b+(9+b)i为纯虚数，
∴3?3b=0，9+b≠0，
解得b=1．
∴z=3+i．
(2)w=z2+i=3+i2+i=(3+i)(2?i)(2+i)(2?i)=7?i5，
∴复数w的模|w|=(75)2+(?15)2=2．
【解析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
(2)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
19.【答案】解：(1)由题意可知z2=5+3i，z3=3+33i，
∴z2z3=5+3i3+33i=(5+3i)·(3?33i)(3+33i)·(3?33i)
=24?123i36=23?33i，
|z2z3|=(23)2+(?33)2=73；
(2)由题意可知OA=(4,0)，BC=(?2,23)，
设向量BC和OA的夹角为α，?
则|BC|·cos?α=BC?OA|OA|=?84=?2，
∴向量BC在向量OA上的投影向量是?12OA．
【解析】本题主要考查复数的除法运算及复数的模，平面向量的投影向量及数量积运算，属于基础题．
(1)由题意可知z2=5+3i，z3=3+33i，根据复数的除法可得z2z3=23?33i，根据求复数模的公式可得|z2z3|；
(2)由题意可知OA及BC的坐标，设向量BC和OA的夹角为α，根据数量积运算可得?
|BC|·cos?α=?2，即可求出向量BC在向量OA上的投影向量．