8.4.1 平面 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（word含解析）

2020-2021学年高中数学人教版（2019）必修第二册
8.4.1 平面 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
下列说法正确的是(????)
A. 四边形一定是平面图形 B. 三点确定一个平面
C. 平行四边形一定是平面图形 D. 平面α和平面β可能只有一个交点
下列说法中正确的是(????)
A. 经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B. 经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C. 经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D. 经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
已知平面α∩平面β=l，点A∈α，B∈α，C∈β，C?l，且AB∩l=R，若A，B，C确定的平面记为γ，则β∩γ=?(????)
A. AC B. BC C. CR D. 以上都不对
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(? ? ? )
A. A，M，O三点共线
B. A，M，O，A1不共面
C. A，M，C，O不共面
D. B，B1，O，M共面
给出下列说法(其中A，B表示两个点，a表示直线，α表示平面)：
①因为A?α，B?α，所以AB?α；
②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；
③因为A?a，a?α，所以A?α；
④因为A?α，a?α，所以A?a．
其中正确的说法的序号是? (??? )
A. ①④ B. ②③ C. ④ D. ③
设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，下列说法中正确的是(? ? )
A. 若P∈a，P∈α，则a?α
B. 若a∩b=P，b?β，则a?β
C. 若a//b，a?α，P∈b，P∈α，则b?α
D. 若α∩β=b，P∈α，P∈β，则P∈b
已知空间中不共面的四点A，B，C，D，则到这四点距离相等的平面有(????)
A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 5个
如图，α∩β=l，A∈β，B∈β，AB∩l=D，C∈α，则平面ABC与平面α的交线是(? ? ?)
A. 直线AC B. 直线BC
C. 直线AB D. 直线CD
下列结论中不正确的是(????)
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上
D. 任意两条直线不能确定一个平面
已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(????)
1条或2条 B. 2条或3条 C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条
二．填空题
在空间中，经过一点可作??????????个平面，经过两点可作??????????个平面，经过不共线的三点可作??????????个平面，经过不共面的四点可作??????????个平面．
在长方体ABCD?A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱共有________条．
在空间中，有如下三个命题：
①圆上三点可确定一个平面；
②圆心和圆上两点可确定一个平面；
③四条平行线不能确定五个平面．
其中真命题的序号是??????????．
如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面的面积为S，则当CQ=1时，S=________．
若直线l上有两个点在平面α内，则下列正确说法的序号为________．
①直线l上至少有一个点在平面α外； ②直线l上有无数个点在平面α外；
③直线l上的所有点都在平面α内； ④直线l上至多有两个点在平面α内．
如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG=P，那么点P在直线??????????上；
(2)如果EF∩GH=Q，那么点Q在直线??????????上．
以下四个正方体中，点M为四等分点，其余各点为顶点或者中点，其中四点共面的有______．
三.解答题
如图所示，在直角梯形ABDC中，AB?//?CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平画SBD和平面SAC的交线并写出过程．
如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证：D，E，P三点共线．
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．
求证：(1)E，F，D1，C四点共面;
(2)CE，D1F，DA三线共点．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及其推理，属基础题．
根据平面的基本性质和推论逐一判断即可．
【解答】
解：A.空间四边形不是平面图形，故A错误；
B.不共线的三点确定一个平面，故B错误；
C.平行四边形的对边相互平行，经过两条平行直线，有且只有一个平面，所以平行四边形一定是平面图形，故 C正确；
D.对于选项D，平面α和平面β不可能只有一个交点，故D错误．
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体中直线与直线的位置关系，属于基础题．
根据两条相交直线确定一个平面，逐一判断即可．
【解答】
解：A中正方体任意两条面对角线可能是异面直线，不可能在同一平面内，故A错误；
C中正方体任意两条棱可能是异面直线，不可能在同一平面内，故C错误；
D中正方体任意两条面对角线可能是异面直线，不可能在同一平面内，故D错误；
B中正方体任意体对角线都交于一点，两条相交直线确定一个平面，经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故B正确．
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：由题易知R∈γ，且R∈β，
又C∈γ，且C∈β
∴R，C都在平面γ与平面β的交线上
所以β∩γ=CR
故选：C．
利用图象，结合空间图形的公理，即可得到
考查了平面的基本性质和空间图形的公理，考查数形结合思想．属于中档题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，考查空间想象能力，属于基础题．
利用直接法进行判断，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线，从而判断出选项B，C中A，M，O，A1共面，A，M，C，O也共面，再连接BD，则B，B1，O都在面BB1D1D上，假设M在此平面上，则OM?平面BB1D1D，从而推出A也在平面BB1D1D内，与已知矛盾，故可判断出正确的选项．
【解答】
解：连接A1C1，AC，则A1C1//AC，
∴A1、C1、C、A四点共面，
∴A1C?平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O、A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A、M、O三点共线，故A正确．
由此可判断B，C错误；
连接BD，则B，B1，O都在面BB1D1D上，
若M∈平面BB1D1D，
则直线OM?平面BB1D1D，
∴A∈平面BB1D1D，
显然A?平面BB1D1D，所以D不正确．
故选A．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
【解答】
解：点在平面上，用“∈”表示，不能用“?”表示，故①?不成立；
AB在α内，用“?”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；
由A?a，a?α，得A?α或A∈α，故?③不正确；
由A?α，a?α，知A?a，故?④正确．
故选C．
6.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，属于基础题．
根据平面的基本性质，逐一排除，即可求出结果．
【解答】
解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴A错；
当a∩β=P时，a?β，B错；
如图所示，
∵a//b，P∈b，
∴P?a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a//b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，
∴γ与α重合，
∴b?α，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选CD．
7.【答案】C
【解析】解：一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，这样满足条件的平面有四个，都是中截面
如图：

二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个
如图：

故到这四点距离相等的平面有7个
故选：C
四个点在平面同侧不可能存在与空间不共面四点距离相等的平面，那么可分为一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，中截面满足条件，这样的情形有4个，还有一类是二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，即可求出所有满足条件的平面．
本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、空间距离等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面的基本性质，是基础题．
欲寻找平面ABC与平面α的交线，根据平面的基本性质，只须找出这两个平面的公共点即可．
【解答】
解：由题意知，D∈l，l?α，∴D∈α．
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面α的交线上．
又C∈平面ABC，C∈α，
∴点C在平面α与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面α=CD．
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面的性质的运用，属于基础题．
根据平面基本性质逐一判断可得结果．
【解答】
解：两个平面有一个公共点，则相交于过这一点的一条直线，所以会有无数个公共点，因此A，C正确;
如果存在共线的三点，则四点肯定会共面，所以B正确;
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此D是错误的．
故选D．
10.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面的基本性质及推论、平面与平面的位置关系，属于基础题．
对平面α与平面β，γ位置关系进行讨论，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条、2条或3条．
【解答】解：分类讨论：当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线;
当β与γ没有交线时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线;
当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线，
故选D．
11.【答案】无数
无数
一
4
【解析】
【分析】
本题考查确定平面的依据，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
依据基本事实判断即可得解．
【解答】
解：经过一点可作无数个平面，
经过两点可作无数个平面，
根据基本事实1知，经过不共线的三点可作一个平面；
经过不共面的四点可作4个平面．
故答案为无数；无数；一；4．
12.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查确定立体几何的公理三，及其三条推论，是对基本概念的应用，有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可知，有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，?
【解答】
解：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，?
故答案为? 5．
13.【答案】①③
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质，属于基础题．
由基本事实2及其推论，即可得出结论．
【解答】
解：
对于①，因为圆上三点必不共线，所以可确定一个平面，①为真命题．
对于②，圆心和圆上两点不共线时可确定一个平面，若圆上两点连线经过圆心，则此三点可确定无数个平面，②为假命题．
对于③，四条平行线可确定1个或4个或6个平面，③为真命题．
故答案为①③．
14.【答案】62
【解析】解：当CQ=1时，C1与Q重合，
取A1D1中点E，则菱形APC1E就是过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面，
AC1=3，PE=2，
∴过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为：
S=12×AC1×PE=62．
故答案为：62．
当CQ=1时，C1与Q重合，取A1D1中点E，则菱形APC1E就是过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面，由此能求出过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面的面积．
本题考查正方体的截面面积的求法，考查正方体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】③
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面之间的位置关系，属于基础题.若
直线l上有两个点在平面α内，则直线l在平面α内，所以直线l上所有点都在平面α内．
【解答】
解：若直线l上有两个点在平面α内，则直线l在平面α内，
所以直线l上的所有点都在平面α内，
所以正确说法的序号是③．
故答案为③．
16.【答案】BD；AC
【解析】
【分析】
本题考查点与直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意公理3的合理运用．
(1)若EH∩FG=P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，利用公理3，得点P在直线BD上．
(2)若EF∩GH=Q，则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD=AC，利用公理3，得点Q在直线AC上．
【解答】
解：(1)若EH∩FG=P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD=BD，
由公理3得，P∈BD；
(2)若EF∩GH=Q，
则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，
而平面ABC∩平面ACD=AC，
∴由公理3得，Q∈AC．
故答案为BD；AC．
17.【答案】②
【解析】解：根据异面直线的定义：对于选项①直线PM和DA分别在上底面和右侧面内，又不会相交，所以为异面直线．
对于选项②取如图中的各棱长的中点，所以平面AEDFCB为共面图．
故②正确．
对于选项③直线OC和直线AM为异面直线．对于选项④直线MC和直线AB都是异面直线．
故只有②共面．
故答案为：②
直接利用异面直线的定义和共面直线的定义的应用求出结果．
本题考查的知识要点：异面直线和共面直线的判定的应用，主要考查学生空间想象能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，由于AB>CD，
则分别延长AC和BD交于点E，如图所示：
∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，
连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
【解析】本题考查了点，线，面之间的关系，考查了面面交线的画法，是一道基础题．
先根据题意画出图象，说明时可根据点E在平面SBD上和平面SAC上，从而得出SE是交线．
19.【答案】.解：(1)延长AB交平面α于点P，如图
所示．
(2)证明：平面ABC∩平面α=DE，P∈
AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC，
又P∈α，∴P在平面α与平面ABC的
交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点
共线．
【解析】本题考查平面的基本性质，属于基础题．
(1)延长AB交平面α于点P，即得结果；
(2)只要证明点P在平面ABC与平面α的交线上即可．
20.【答案】证明：(1)分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF=?//12A1B.又A1D1//B1C1//BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形，∴A1B//CD1，
∴EF//CD1，∴EF与CD1确定一个平面，
∴E，F，D1，C四点共面．
(2)∵EF=?//12CD1，
∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE=P，如图，
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，
∴P∈平面ABCD．
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．
【解析】本题考查空间几何体中点共面及线共点知识，属于基础题．
(１)根据EF//CD1进行证明；
(２)设D1F∩CE=P，根据公理３证明P∈AD即可得证．