2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1 平面向量基本定理 同步练习word含解析

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.3.1 平面向量基本定理 同步练习
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 学号：___________
一．选择题
设点D为△ABC中边BC上的中点，O为AD上靠近点A的三等分点，则(? ? )
A. BO=?16AB+12AC B. BO=16AB?12AC
C. BO=56AB?16AC D. BO=?56AB+16AC
已知点P是△ABC所在平面内一点，若AP=23AB+13AC，则△ABP与△ACP的面积之比是? (??? )
A. 3:1 B. 2:1 C. 1:3 D. 1:2
如图所示，|OA|=|OB|=1，|OC|=3，∠AOB=60°，OB⊥OC，设OC=xOA+yOB，则? (??? )
A. x=?2，y=?1 B. x=?2，y=1
C. x=2，y=?1 D. x=2，y=1
已知A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA=a，OB=b，点P在平面ABO内，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR=? (??? )
A. a?b B. 2(b?a) C. 2(a?b) D. b?a
如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是(????)
A. a+b与a?b B. a+2b与2a+b
C. a+b与?a?b D. a与?b
如图，在△ABC中，BD=12DC，AE=3ED，若AB=a，AC=b，则BE=? (??? )
A. 13a+13b B. ?12a+14b
C. 12a+14b D. ?13a+13b
已知点G为△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC分别交于M，N，若AM=xAB，AN=yAC，x，y∈R，则1x+1y=? (??? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，圆O为△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交圆O于点D，设AB=a，AC=b，则向量AD=? (??? )
A. a+b B. 12a+b
C. a+12b D. a+23b
(多选题)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，EF=λAB+μDC(λ,μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合条件的是? (??? )
AE=14AD，BF=34BC B. AE=12AD，BF=12BC
C. AE=13AD，BF=23BC D. AE=23AD，BF=23BC
二．填空题
已知a，b是两个不共线的向量，AB=2a+kb，CB=a+3b，CD=2a?b，若A，B，D三点共线，则实数k=??????????.
在梯形ABCD中，已知AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC+μAN，则λ+μ=_________．
在矩形ABCD中，AB=3，AC=5，e1=AB|AB|，e2=AD|AD|，若AC=xe1+ye2，则x+y的值为_________．
如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足AN=2NM，若AN=xAB+yAC，则x2+9y2的最小值为______．
若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM=34AB+14AC．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO=xBM→+yBN→，求x,y的值．
设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1?2e2，b=e1+3e2．
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c=3e1?e2的分解式；
(3)若4e1?3e2=λa+μb，求λ，μ的值．
如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN=12NC，BN与CM相交于点E，设AB=a，AC=b，试用基底a、b表示向量AE．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减、数乘运算、基本定理的应用，属基础题．
根据平面向量的加减、数乘运算法则即可解答．
【解答】
解：依题意，得：
BO=AO?AB
=13AD?AB
=13×12(AB+AC)?AB
=?56AB+16AC，
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
过P作PE//AC，PF//AB，由AP=23AB+13AC=AE+AF，根据题意，△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，得出结论．
本题考查平面向量的基本定理，共线向量的性质，面积之比与边的比的关系，基础题．
【解答】
解：点P是△ABC所在平面上一点，过P作PE//AC，PF//AB，
由AP=23AB+13AC=AE+AF，
故AE：EB=2：1=PC：PB，
所以△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的应用，属于基础题，解题时要认真审题，运用数形结合是解题的关键．
由题意，过C作CD//OB交AO的延长线于D，连接BC，可推出OB⊥OC，从而可得OC=OD+OB=?2OA+OB，由此得出答案．
【解答】
解：过C作CD//OB交AO的延长线于D，连接BC．
由|OB|=1，|OC|=3，∠AOB=60°，OB⊥OC，得∠COD=30°，
在Rt△OCD中，可得OD=2CD=2，
则OC=OD+OB=?2OA+OB，
故x=?2，y=1．
故选B ．
4.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面向量的线性运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用PR=OR?OP=2b?OQ?(2a?OQ)即可求解．
【解答】解：根据向量的平行四边形法则得2a=OP+OQ，2b=OQ+OR，
∴PR=OR?OP=2b?OQ?(2a?OQ)=2(b?a).
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量共线的充要条件，属于基础题．
根据两个不共线的向量可以作为一组基底即可得结论．
【解答】解：由题意知，a与b不共线，
根据平行四边形法则可知a+b与a?b，a+2b与2a+b，a与?b中的两个向量均不共线，都可以作为基底，
而?a?b=?(a+b)，两者共线，不能作为基底．
6.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面向量的线性运算的知识，属于基础题．
?BE=BD+DE=13BC+14DA=13BC+14(DB+BA)=13BC+14?13BC?AB=14BC?14AB=14(AC?AB)?14AB=14AC?12AB=?12a+14b．
【解答】
解：∵BD=12DC，∴BD=13BC．
∵AE=3ED，∴DE=14DA，
∴BE=BD+DE=13BC+14DA
=13BC+14(DB+BA)
=13BC+14?13BC?AB
=14BC?14AB
=14(AC?AB)?14AB
=14AC?12AB
=?12a+14b．
故选B．
7.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题．
方法一，利用平面向量的基本定理，建立方程组，解得即可；
方法二，取特殊位置，利用平面向量的基本定理，即可得解．
【解答】解：方法一如图，连接AG并延长交BC于点D，由题意可知，点G为△ABC的重心，
所以AG=23AD=13(AB+AC)，
所以MG=AG?AM=13(AB+AC)?xAB=(13?x)AB+13AC．
又MN=AN?AM=yAC?xAB，且MG与MN共线，
所以存在实数λ，使得MG=λMN成立，即(13?x)AB+13AC=λ(yAC?xAB)，
所以13?x=?λx13=λy，消去λ得13?x=?x3y，即x+y=3xy，故1x+1y=3．
故选C．
方法二根据过点G作直线的任意性，可取此直线过点B，则点M与点B重合，点N为AC的中点，
所以有x=1，y=12，故1x+1y=1+2=3．
故选C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题，根据Rt△ABC中的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以AD=AB+AO=a+12b．
【解答】
解：设外接圆的圆心为O，半径为r，连接BD，OD．
在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，
所以∠BAC=π3，∠ACB=π6，AD为∠BAC的平分线，
所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6，
则根据圆的性质知BD=AB．
又因为在Rt△ABC中，AB=12AC=r=OD=OA，
所以四边形ABDO为菱形，
所以AD=AB+AO=a+12b．
故选C．
9.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．
由题意，设AE=xAD，BF=yBC，利用向量的加法，加法，数乘运算得出
EF=(1?y)AB+(y?x)AD+yDC，利用向量的基本定理得出x=y，即可得出选项．
【解答】
解：由题意，设AE=xAD，BF=yBC
则EF=EA+AB+BF=AB+yBC?xAD
=AB+y(BA+AD+DC)?xAD=(1?y)AB+(y?x)AD+yDC，?
又EF=λAB+μDC(λ,μ∈R)，?
则y?x=0，即x=y，满足题意的有BD．
故选BD．
10.【答案】?8
【解析】
【分析】
本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A，B，D三点共线，可得存在实数λ，使得AB=λBD，利用平面向量的基本定理即可得出．
【解答】
解：∵CB=a+3b，CD=2a?b，
∴BD=BC+CD=?a?3b+2a?b=a?4b．
又AB=2a+kb，且A，B，D三点共线，
∴一定存在实数λ，使AB=λBD，
∴2a+kb=λ(a?4b)，
∴λ=2,k=?4λ,
∴k=?8．
故答案为?8．
11.【答案】34
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的几何表示，加减法，数乘运算以及平面向量的基本定理，.属于基础题．
数形结合根据平面向量的基本定理，向量的几何表示，加减法以及数乘运算将AM用AC,AN表示，求出λ，μ的值即可得出结果．
【解答】
解：如图示：∵梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB．
∴AM=AC+CM
=AC+14BA
=AC+14(BN+NA)
=AC+14(12NC+NA)
=AC+18NC+14NA
=AC+18AC?18AN?14AN
=98AC?38AN．
又∵AM=λAC+μAN，
∴λ=98，μ=?38．
故λ+μ=98+(?38)=34．
12.【答案】7
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，属于基础题．
根据平面向量的基本定理结合题设把AC表示为AB+BC，再由e1=AB|AB|，e2=AD|AD|得AB=3e1，BC=AD=4e2，即AC=3e1+4e2从而求得x=3，y=4，x+y=7．
【解答】
解：在矩形ABCD中，AB=3，AC=5．
利用勾股定理可得AD=4．
∵e1=AB|AB|，e2=AD|AD|，
∴AB=3e1，BC=AD=4e2，
故AC=AB+BC=3e1+4e2．
∴x=3，y=4．
故x+y=7．
13.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题．
不妨设BM=λBC，0<λ<1，根据向量的加减的几何意义可得x=2?2λ3，y=2λ3，代入得到x2+9y2=409(λ?110)2+25，即可求出最值．
【解答】
解：不妨设BM=λBC，0<λ<1，
∴AN=23AM=23(AB+BM)
=23AB+2λ3BC
=23AB+2λ3(AC?AB)
=2?2λ3AB+2λ3AC，
∵AN=xAB+yAC，
∴x=2?2λ3，y=2λ3，
∴x2+9y2=(2?2λ)29+4λ2
=409λ2?8λ9+49
=409(λ?110)2+25，
当λ=110时，x2+9y2有最小值，最小值为25．
故答案为：25．
14.【答案】解(1)由AM=34AB+14AC，可知M、B、C三点共线，
如图令BM=λBC?AM=AB+BM
=AB+λBC=AB+λ(AC?AB)
=(1?λ)AB+λAC?λ=14，
∴S△ABMS△ABC=14，即面积之比为1：4?;
(2)由BO=xBM+yBN，得BO→=xBM→+y2BA→，BO=x4BC+yBN，
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线得：x+y2=1x4+y=1?，
解得x=47y=67? ，
所以x、y的值分别为：47?，?67．
【解析】(1)由AM=34AB+14AC，可知M、B、C三点共线．可得BM=14BC，即可求答案；
(2)由BO=xBM+yBN?BO=xBM+y2BA，BO=x4BC+yBN，利用共线向量定理可得答案．
本题考查向量共线定理和共面向量定理、三角形的面积之比，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb，
则e1?2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线，得得λ=1,3λ=?2?λ=1,λ=?23.
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底；
(2)设c=ma+nb，则3e1?e2=m(e1?2e2)+n(e1+3e2)，
可得m+n=3?2m+3n=?1，得m=2n=1，故c=2a+b；
(3)由4e1?3e2=λa+μb，
得4e1?3e2=λ(e1?2e2)+μ(e1+3e2)，
可得λ+μ=4?2λ+3μ=?3，解得λ=3,μ=1．
【解析】本题考查平面向量基本定理、向量共线条件，是基础题．
(1)证明a，b不共线即可，假设存在λ∈R，使a=λb，求λ无解，即λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底；
(2)设c=ma+nb，由向量相等列不等式组，求出m，n即可；
(3)由4e1?3e2=λa+μb，由向量相等列不等式组，求出λ，μ即可．
16.【答案】解：由已知，在△ABC中，AM=MB，且AN=12NC，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM与D，
在三角形ACM中，CN：CA=ND：AM=2：3，
所以ND：MB=NE：EB=DE：EM=2：3，
所以NE=25NB，
AE=AN+NE=13AC+25NB=13AC+25(NA+AB)=13AC+25(?13AC+AB)=25AB+15AC=25a+15b．
【解析】过N作AB的平行线，交CM与D，利用平行线的性质得到线段的比例关系，结合向量的线性表示得到解答．
本题考查了向量的三角形法则和平面向量基本定理，属于基础题．