2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
已知O为坐标原点，且点A(1,3)，则与OA同向的单位向量的坐标为? (??? )
A. 12,32 B. ?12,32 C. 12,?32 D. ?12,?32
如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反，那么k的值为? (??? )
A. ?3 B. 0 C. ?12 D. ?2
已知OA=(1,?3)，OB=(2,?1)，OC=(k+1,k?2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是??? (????)
A. k=?2 B. k=12 C. k=1 D. k=?1
已知向量a=cosθ,sinθ，b=1,?2，若a//b，则代数式2sinθ?cosθsinθ+cosθ的值是(????)
A. 52 B. 34 C. 5 D. 32
已知△ABC中，A(2,3)，B(8,?4)，点G(2,?1)在中线AD上，且，则点C的坐标是(? ?)
A. (?4,2) B. (?4,?2) C. (4,?2) D. (4,2)
向量PA=(k,12)，PB=(4,5)，PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(??? )
A. ?2 B. 11 C. ?2或11 D. 2或11
P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近P1点)，则P点的坐标为? (??? )
A. (2,2) B. (3,?1)
C. (2,2)或(3,?1) D. (2,2)或(3,1)
(多选题)已知向量a=(?1,2)，点A(?2,1)，若AB//a，且|AB|=35，则OB的坐标可能为(其中O为坐标原点)? (??? )
(1,?5) B. (?5,7) C. (?1,5) D. (5,?7)
二．填空题
已知向量a=(?2,1),b=(1,3),c=(3,2)，若(a+λb)//c，则λ=_______．
如图，在长方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，λ1，λ2∈R，则λ1+λ2的值为_______．
在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，则BC=??????????.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐标平面内的一点． ①若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为??????????；
②若PA+PB=2PM，则点M的坐标为??????????．
已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
三．解答题
设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2,?2)，C(4,?1)．
(1)若AB=CD，求D点坐标；
(2)设向量a=AB，b=BC，若ka?b与a+3b平行，求实数k的值．
如图，在平行四边形OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若OM=xOA(0(1)求y关于x的函数解析式y=f(x)；
(2)令F(x)=1f(x)+x，判断F(x)的单调性，并给出证明．
已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?e1+λe2，EC=?2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2,1)，e2=(2,?2)，求BC的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查单位向量的概念，属于基础题．
与OA同向的单位向量为a=OA|OA|，求出|OA|，进而可得结果．
【解析】
解：与OA同向的单位向量为a=OA|OA|．
又|OA|=1+(3)2=2，
故a=12(1,3)=12,32．
故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得(k,1)=λ?(6,k+1)，λ<0，由此解得k?值．
本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到(k,1)=λ?(6,k+1)，λ<0，是解题的关键．
【解答】
解：∵向量a=(k,1)与b=(6,?k+1)共线且方向相反，
∴(k,1)=λ?(6,k+1)，λ<0，
∴k=6λ，且1=(k+1)λ，
解得k=?3，或k=2(不合题意，舍去)，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，属于基础题，
由题意，向量AB与AC共线，求出AB、AC坐标共线的充要条件列出方程求出k．
【解答】
解：若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB与AC共线．
因为AB=OB?OA=(2,?1)?(1,?3)=(1,2)，AC=OC?OA=(k+1,k?2)?(1,?3)=(k,k+1)，
所以1×(k+1)?2k=0，解得k=1．
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，向量共线定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用共线向量的关系，求出正弦函数与余弦函数的关系，代入所求表达式求解即可．
【解答】
解：向量a=(cosθ,sinθ)，b=(1,?2)，若a//b，
可得：sinθ=?2cosθ．
2sinθ?cosθsinθ+cosθ=?4cosθ?cosθ?2cosθ+cosθ=5．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标表示和向量的坐标运算，属基本运算的考查．
设出C点的坐标，由中点坐标公式直接写出D点的坐标，再写出向量AG和2GD的坐标，由向量相等的条件即可求出C的坐标．
【解答】
解：设C点坐标为(x,y)，则D点坐标为8+x2,?4+y2．
由AG=2GD可得(0,?4)=2(8+x2?2,?4+y2+1)
即4+x=0，?2+y=?4，
解得x=?4，y=?2．
故C点坐标为(?4,?2)．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算．属于基础题．
先求出AB和BC的坐标，利用向量共线的性质x1y2?x2y1=0，解方程求出k的值．
【解答】解：由题意可得AB=PB?PA=4?k,?7，
BC=PC?PB=6,k?5，
由于AB和BC共线，
∴4?kk?5+42=0，解得k=11或k=?2．
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量坐标运算，考查平面向量共线的应用，属于基础题．
设P(x,y)，由题意得P1P=13P1P2，进而求出x，y，即可得到结果．
【解答】
解：由题意得P1P=13P1P2，且P1P2=(3,?3)，
设P(x,y)，则(x?1,y?3)=(1,?1)，∴x=2，y=2，
则点P(2,2)．
故选A．
8.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算以及共线向量与模的应用，属于基础题．
由条件可设存在非零实数λ，使AB=λa，求得AB，进而可求得结果．
【解答】
解：由AB//a知存在非零实数λ，使AB=λa=(?λ,2λ).
又|AB|=35，所以λ2+4λ2=45，解得λ=3或?3．
即AB=(?3,6)或(3,?6)．
又点A的坐标为(?2,1)，
所以OB=OA+AB=(?5,7)或(1,?5)．
故选AB．
9.【答案】?1
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，先得出a+λb的坐标，再由向量平行的坐标运算可得λ的值．
【解答】
解：由a=(?2,1),b=(1,3)可得a+λb=(?2+λ,1+3λ)．
又c=(3,2)，(a+λb)//c，
所以3(1+3λ)=2(?2+λ)，解得λ=?1．
故答案为?1．
10.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算及平面向量加减运算与相等的充要条件，属于中档题．
建立坐标系，转化为平面向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立直角坐标系，
设AB=2m，AD=2n，
则A(0,0)，B(2m,0)，M(2m,n)，N(m,2n)，
∵MN=λ1AM+λ2BN，
即(?m,n)=λ1(2m,n)+λ2(?m,2n)，
∴?m=λ1×2m?λ2mn=λ1n+2λ2n，
∴2λ1?λ2=?1λ1+2λ2=1，
解得λ1=?15λ2=35，
∴λ1+λ2=25．
故答案为25．
11.【答案】(?6,21)
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的加减、数乘运算及其坐标的基本运算.解题时在草图上结合点P、Q的位置，得到BC、PC、QC、AQ、PQ、PA间关系式，再进行坐标计算即可．
【解答】
解：PQ?PA=AQ=(1,5)?(4,3)=(?3,2)，
因为点Q是AC的中点，所以AQ=QC，
所以PC=PQ+QC=(1,5)+(?3,2)=(?2,7)．
因为BP=2PC，所以BC=BP+PC=3PC=3(?2,7)=(?6,21)．
12.【答案】(6,3) ，(4,2)?
【解析】
【分析】
考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，属于基础题．
①可设M(x,y)，得出AP=(?1,?2),MB=(5?x,1?y)，根据四边形APBM为平行四边形即可得出AP=MB，从而得出(?1,?2)=(5?x,1?y)，从而得到5?x=?11?y=?2，解出x，y即可；
②可求出PA=(1,2),PB=(3,0),PM=(x?2,y?1)，根据PA+PB=2PM即可得出(4,2)=(2(x?2),2(y?1))，从而得出2(x?2)=42(y?1)=2，解出x，y即可．
【解答】
解：①设M(x,y)，则：AP=(?1,?2),MB=(5?x,1?y)；
∵四边形APBM是平行四边形；
∴AP=MB；
∴(?1,?2)=(5?x,1?y)；
∴5?x=?11?y=?2；
解得x=6y=3；
∴点M的坐标为(6,3)；
②PA=(1,2),PB=(3,0),PM=(x?2,y?1)；
∵PA+PB=2PM；
∴(1,2)+(3,0)=2(x?2,y?1)；
∴(4,2)=(2(x?2),2(y?1))；
∴2(x?2)=42(y?1)=2；
解得x=4y=2；
∴点M的坐标为(4,2)．
故答案为(6,3)；(4,2)．
13.【答案】(3,3)
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题．根据题意可以得到O、P、B三点共线，利用向量共线得OP=λOB， ?再根据向量的运算法则求出AP?，AC，由AP与AC共线，利用向量的共线定理列方程求出坐标即可．
【解答】
解：由O，P，B三点共线，可设OP=λOB=(4λ,4λ)，
则AP=OP?OA=(4λ?4,4λ)．
又AC=OC?OA=(?2,6)，
由AP与AC共线，得(4λ?4)×6?4λ×(?2)=0，解得λ=34，
所以OP=34OB=(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
14.【答案】解：(1)设D(x,y)，
由AB=CD得：(2,?2)?(1,3)=(x,y)?(4,?1)，
则(1,?5)=(x?4,y+1)，
所以x?4=1,y+1=?5,解得x=5,y=?6.
所以点D的坐标为(5,?6)．
(2)因为a=AB=(2,?2)?(1,3)=(1,?5)，b=BC=(4,?1)?(2,?2)=(2,1)，
所以ka?b=k(1,?5)?(2,1)=(k?2,?5k?1)，a+3b=(1,?5)+3(2,1)=(7,?2)．
由ka?b与a+3b平行，得：(k?2)×(?2)?(?5k?1)×7=0，
所以k=?13．
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加法、减法、数乘运算，考查平面向量共线的条件，属于中档题．
(1)由条件可得(1,?5)=(x?4,y+1)，求得x，y，即可得解；
(2)分别求出ka?b与a+3b，根据平面向量共线的充要条件得到(k?2)×(?2)?(?5k?1)×7=0，进而得解．
15.【答案】解：(1)由题知OP=AB=OB?OA，则NM=OM?ON=xOA?yOB，
MP=OP?OM=(OB?OA)?xOA=?(1+x)OA+OB，
因为P，N，M三点共线，所以NM//MP，得x?y(1+x)=0，
即y=f(x)=xx+1(0(2)由(1)得F(x)=x+1x+x=x+1x+1(0?F(x)在(0,1)上为减函数．
证明如下：? 设0则F(x1)?F(x2)=(x1+1x1+1)?(x2+1x2+1)=(x1?x2)+(1x1?1x2)=
(x1?x2)(1?1x1x2)=(x1?x2)x1x2?1x1x2，?
由00，?
所以F(x1)?F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)，?
所以F(x)在(0,1)上为减函数．
【解析】本题考查平面向量的基本定理向量平行的判断与证明，以及利用函数单调性的定义证明函数的单调性．
(1)利用平面向量的基本定理，找准基底将向量NM,MP分别利用基底表示，再结合向量的共线即可求解；
(2)首先利用(1)的结论将F(x)进行化简，然后利用函数单调性的定义即可求解．
16.【答案】解：(1)∵AE=AB+BE=(2e1+e2)+(?e1+λe2)
=e1+(1+λ)e2，?
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得AE=kEC.?
即e1+(1+λ)e2=k(?2e1+e2)，?
得(1+2k)e1=(k?1?λ)e2.?
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，?
∴1+2k=0λ=k?1，?
解得k=?12，λ=?32；
(2)∴BC=BE+EC=?3e1?12e2=(?6,?3)+(?1,1)=(?7,?2)；
(3)∵A、B、C、D四点构成平行四边形，?
∴AD=BC.?
设A(x,y)，
则AD=(3?x,5?y)，?
又BC=(?7,?2)，?
∴3?x=?75?y=?2，?
解得x=10y=7，?
∴点A(10,7)．
【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件．
(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(?e1+λe2)=e1+(1+λ)e2，因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE=kEC.再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
(2)由已知几何条件得到BC→=BE→+EC→再坐标化得到BC→的坐标；
(3)因为A、B、C、D四点构成平行四边形，所以AD=BC.?设A(x,y)，则AD=(3?x,5?y)，?又BC=(?7,?2)，列方程组可求点A的坐标．