2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.3.2 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 同步练习(Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.3.2 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题
已知向量AB=(1,1)，BC=(?2,1)，DC=(0,3)，则AD=? (??? )
A. (?1,5) B. (?1,?1) C. (3,3) D. (1,1)
在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AB=(2,4)，AC=(1,3)，则BD等于(????)
A. (?2,?4) B. (?3,?5) C. (3,5) D. (2,4)
已知向量AB与a=(6,?8)的夹角为π，且|AB|=|a|，若A点的坐标为(?1,2)，则B点的坐标为? (??? )
A. (?7,10) B. (7,10) C. (5,?6) D. (?5,6)
给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上任意一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是? (??? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如果将OA=32,12绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则OB的坐标是(? ? )
A. ?12,32 B. 32,?12 C. (?1,3) D. ?32,12
如图，我们在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|=2，θ=45°，则向量a的坐标为? (??? )
A. (1,1) B. 22,22
C. (2,2) D. (2i,2j)
已知两点A4,1，B7,?3，则与向量AB同向的单位向量是
A. 35,?45 B. ?35,45 C. ?45,35 D. 45,?35
若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i,j}作为基底，设a=(x2+x+1)i?(x2?x+1)j(其中x∈R)，则向量a的坐标对应的点位于? (??? )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(多选题)在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，则与BC同向平行的有? (??? )
(?2,7) B. (?6,21) C. (2,?7) D. (6,?21)
二．填空题
在△ABC中，点P在边BC上，且BP=PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，则BC=_______．
已知向量i=(1,0)，j=(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，a=(x,y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x,y)，则a=(x,y)．
其中正确的结论有_______个．
如图所示，A，B是单位圆O上的点，C是单位圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为12,32，△AOB为等边三角形，则点B的坐标为??????????，BC=??????????．
已知A(2,0)，a=(x+3,x?3y?5)，若a=OA，其中O为原点，则x=??????????，y=??????????．
三．解答题
如图，在边长为1的正方形ABCD中，A与原点O重合，AB与x轴的正半轴成30°角，求点B和点D的坐标、AB与AD的坐标．
已知向量AB=(4,3)，AD=(?3,?1)，点A(?1,?2)．
(1)求点B和点D的坐标；
(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R)，求y与λ的值．
已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP=OA+tAB．
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
答案和解析
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法和坐标运算，属于基础题．
先由向量的加法运算的AD=AB+BC+CD，再通过坐标运算求解即可．
【解答】
解：∵DC=(0,3)，
∴CD=(0,?3)．
又∵AB=(1,1)，BC=(?2,1)，AD=AB+BC+CD，
∴AD=AB+BC+CD=1?2+0,1+1?3=?1,?1．
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，先得出AD=AC?AB，再由BD=AD?AB得出结果．
【解答】
解：∵AC=AB+AD，
∴AD=AC?AB=(?1,?1)．
∴BD=AD?AB=(?3,?5)．
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
由题设可知，继而得到，由此即可解出B点坐标．
【解答】
解：由题意知，AB与a的长度相等，方向相反，
∴AB=?a=(?6,8)，又因为A(?1,2)，
设B(x,y)，则AB=(x+1,y?2)=(?6,8)，
∴x+1=?6,y?2=8,解得x=?7,y=10,
故点B的坐标为(?7,10)．
故选A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量的定义及表示，属于基础题．
熟练掌握向量的定义及表示是做题的关键．
【解答】
解：由向量的坐标定义不难看出一个坐标可以对应无数个相等的向量，所以③错误，其余都正确．
所以正确的个数有3个．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，是基础题．
求出OA所在直线的倾斜角，进而得到OB所在直线的倾斜角，再结合已知条件即可求出答案．
【解答】
解：因为OA=32,12所在直线的倾斜角为30°，
绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB所在直线的倾斜角为150°，
所以A，B两点关于y轴对称，
由此可知B点坐标为?32,12，
故OB的坐标是?32,12，
故选D．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标求解，涉及三角函数的概念，属于基础题．
结合三角函数的概念分别求出向量的纵横坐标即可．
【解答】
解：设向量a=(x,y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ，
由三角函数的定义，可知x=|a|cosθ=2×22=2，y=|a|sinθ=2×22=2，
即向量a=2,2，
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查单位向量的定义和求法，考查平面向量的模及坐标运算，属于基础题．
由条件求得AB→=(3,?4)，|AB→|=5，再根据与向量AB→同方向的单位向量为AB→AB→，求得结果．
【解答】
解：因为已知点A(4,1)，B(7,?3)，
AB→=(7,?3)?(4,1)=(3,?4)，
|AB→|=9+16=5，
则与向量AB→同方向的单位向量为AB→AB→=35,?45．
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的概念及几何表示，考查了点在象限的特点，属于基础题．
由x2+x+1=(x+?12??)2+?3?4?>0,x2?x+1=(x??12??)2+?34??>0，恒成立，故问题得以解决．
【解答】
解：向量a的坐标为(x2+x+1,?x2+x?1)，∵x2+x+1=x+122+34>0，?x2+x?1
=?x?122?34<0，∴向量a的坐标对应的点位于第四象限．
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的坐标运算与平面向量的加、减、数乘运算，以及平面共线的条件你，属于基础题．
由AQ=PQ?PA=(?3,2)，再求得AC，由PC=PA+AC,BC=3PC可得答案．
【解答】
解：∵PA=(4,3)，PQ=(1,5)，
∴AQ=PQ?PA=(?3,2)．
∵点Q是AC的中点，
∴AC=2AQ=(?6,4)，
∴PC=PA+AC=(?2,7)．
又BP=2PC，
∴BC=3PC=(?6,21)．
故选AB．
10.【答案】(?4,14)
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的加减、数乘运算及其坐标的基本运算.解题时在草图上结合点P、Q的位置，得到BC、PC、QC、AQ、PQ、PA间关系式，再进行坐标计算即可．
【解答】
解：AQ=PQ?PA=(1,5)?(4,3)=(?3,2)．
因为点Q是AC的中点，所以AQ=QC，
所以PC=PQ+QC=(1,5)+(?3,2)=(?2,7)．
因为BP=PC，
所以BC=BP+PC=PC+PC=(?2,7)+(?2,7)=(?4,14)．
故答案为(?4,14)．
11.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，属于基础题．
根据题意对四个选项逐一分析即可．
【解答】
解：由平面向量基本定理，可知①正确；
a=(1,0)≠(1,3)，但1=1，故②错误；
因为向量可以平移，所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；
当a的终点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
故正确的结论有1个，
故答案为1．
12.【答案】?12,32? ， 32,?32?
【解析】
【分析】
本题考查了任意角三角函数的定义，特殊角的三角函数值以及向量的坐标表示，属于中档题．
解题的关键由点A的坐标结合任意角的三角函数的定义和单位圆求得∠COA，再结合已知条件求得∠COB和sin∠COB，cos∠COB的值即B点坐标，最后容易求得BC．
【解答】
解：∵点A12,32在单位圆O上，
，
又∵△AOB为等边三角形，
，
则B(cos?2π3,sin?2π3)即B(?12,32)．
又∵C是单位圆与x轴正半轴的交点
∴C(1,0)，
故BC=(32,?32)．
所以填(?12,32);(32,?32)．
13.【答案】?1 ， ?2
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量相等的坐标运算，属于基础题．
由a=OA可得x+3=2x?3y?5=0，可求得x，y的值．
【解答】
解：由题意知x+3=2,x?3y?5=0,解得x=?1,y=?2.
故答案为?1；?2．
14.【答案】
解：由题知，∠BAx=30°，
∴∠DAx=90°+30°=120°．
设B(x1,y1)，D(x2,y2).
则x1=|AB|cos?30°=1×32=32，
y1=|AB|sin?30°=1×12=12，
∴B32,12．
x2=|AD|cos?120°=1×?12=?12，
y2=|AD|sin?120°=1×32=32，
∴D?12,32．
∴AB=32,12，AD=?12,32．
【解析】本题主要考查向量的坐标运算.关键是根据AB与x轴的夹角为30°，
可得∠DAx=120°，进一步可求出点B和点D的坐标以及AB与AD
的坐标．属于基础题．
15.【答案】解：(1)设B(x,y).∵A(?1,?2)，
∴AB=(x+1,y+2)=(4,3)，
∴x+1=4y+2=3，解得x=3y=1
∴B(3,1)．
同理可得D(?4,?3)．
(2)∵PB=(1,1?y)，BD=(?7,?4)，
∴由PB=λBD得(1,1?y)=λ(?7,?4)，
∴解得y=37，λ=?17．
【解析】本题考查了向量的坐标运算以及向量的共线，属于基础题．
(1)由向量的相等，构造方程组，求解即可；
(2)由向量的共线，转化为坐标的相等，可得y与λ的值．
16.【答案】解：(1)OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)．
若点P在x轴上，则2+3t=0，所以t=?23．
若点P在y轴上，则1+3t=0，所以t=?13．
若点P在第二象限，则1+3t<0,2+3t>0,
所以?23(2)OA=(1,2)，PB=OB?OP=(3?3t,3?3t)．
若四边形OABP为平行四边形，
则OA=PB，
所以3?3t=1,3?3t=2,该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
【解析】本题考查向量的几何意义、x，y轴上点坐标的特点及第二象限点坐标的特点、向量相等的坐标表示．
?(1)利用向量的坐标运算得到点P的坐标，据x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；第二象限的点横坐标小于0、纵坐标大于0，得t的范围．
(2)据平行四边形的对边对应的向量相等，再据相等向量的坐标对应相等列出方程组，求解．