2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例 同步练习（Word含解析)

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
在四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(?4,2)，则该四边形的面积为(? ?)
A. 5 B. 25 C. 5 D. 10
如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不重合的直径，BF=2FO，则FD?FE的值是? (??? )
A. ?34 B. ?89
C. ?14 D. ?49
已知河水的流速大小为5?m/s，若一艘小船沿垂直于河岸的方向以12?m/s的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(????)
A. 13?m/s B. 12?m/s C. 17?m/s D. 15?m/s
如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若DE⊥AC，则|DE|=(????)
A. 52 B. 23
C. 3 D. 22
在△ABC所在平面内有一动点P，令PA2+PB2+PC2=T，当T取得最小值时P为△ABC的(????)
A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心
在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB=1，AD=DC=2，则AC?BD=(????)
A. 2 B. ?2 C. 3 D. 6
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AB的中点，且DE⊥AC，则∣DE|等于? (??? )
A. 52 B. 23
C. 3 D. 22
加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60?，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重(单位：kg)约为(??? )
(参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,3≈1.732)
A. 63 B. 69 C. 75 D. 81
平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB+DC?2DA)?(AB?AC)=0，则△ABC的形状为? (??? )
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=?3a?b，CD=?4a?3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为? (??? )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM?AO的值为(????)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
(多选题)如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP=xOA+yOB，则x+y的取值可能是? (??? )
?6 B. 1 C. 5 D. 9
二．填空题
在四边形ABCD中，若AC=(1,2)，BD=(?4,2)，则向量AC与BD的夹角为??????????，四边形ABCD的面积为??????????．
已知四边形ABCD中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，P为线段AC上任意一点，则PB?PC的取值范围是______．
如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)?PC的最小值是______ ．
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=________．
如图所示，小船被绳索拉向岸边，小船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是_______.(写出所有正确答案的序号)
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三．解答题
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，|OA|=2|AB|=2，∠OAB=2π3，
BC=(?1,3)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且
BD=12DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP=AB．
平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P从P0(?1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(?2,?1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为∣3e1+2e2∣.设P，Q在t=0秒时分别在P0，Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
【解答】
解：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(?4,2)，AC?BD=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，
又|AC|=12+22=5，|BD|=(?4)2+22=25，
该四边形的面积为12|AC|?|BD|=12×5×25=5．
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面几何中的向量方法，向量在平面几何中的应用，属于基础题型．
由FD=FO+OD，FE=FO+OE，且OD=?OE，FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)即可求解．
【解答】
解：FD=FO+OD，FE=FO+OE，且OD=?OE，
所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)=FO2?OD2=19?1=?89．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量在运动学中的应用，属于基础题型，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度?v1?斜向上游方向，河水速度?v2?平行于河岸，
合速度v指向对岸，静水速度大小|?v1?|=|v|2+|v2|2，即可求解．
【解答】
解：设小船在静水中的速度为?v1?，河水的流速为?v2?，
v1?与?v2?的合速度为v，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即小船在静水中的速度?v1?斜向上游方向，河水速度?v2?平行于河岸，合速度v指向对岸，
∴静水速度|?v1?|=|v|2+|v2|2=122+52=13(m/s)．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．
则B(4,0)，E(2,0)．
设D(0,m)，(m>0)，C(4,m)．
∴DE=(2,?m)，AC=(4,m)．
∵DE⊥AC，
∴2×4?m2=0，
解得m2=8．
∴|DE|=22+8=23．
故选：B．
如图所示，建立直角坐标系．利用DE⊥AC，可得DE?AC=0，再利用向量模的计算公式即可得出．
本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：不妨设三角形为直角边边长为1的等腰三角形，
则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，设P(x,y)，
则T=PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x?1)2+y2+x2+(y?1)2=3x2+3y2?2x?2y+2
=3(x?13)2+3(y?13)2+43，
∴当x=y=13时，T取得最小值，
此时P(13,13)，
∵三角形的重心坐标为(0+1+03,0+0+13)，即(13,13)，
∴P(13,13)是三角形的重心，
故选：B．
利用特殊值法建立坐标系，结合向量模长的公式进行判断即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据条件利用特殊值法，建立坐标系将条件转化为向量坐标是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
6.【答案】A
【解析】解：AC?BD=(AD+DC)(BA+AD)=AD?BA+AD?AD+DC?BA+DC?AD，
因为四边形ABCD是直角梯形，
所以AD?BA=0，DC?AD=0，
则AC?BD=AD?AD+DC?BA=|AD|2+|DC|?|BA|cos180°=4+2×1×(?1)=2，
故选：A．
利用平面向量的和差关系，结合梯形的特征可得AC?BD=AD?AD+DC?BA=|AD|2+|DC|?|BA|cos180°=4+2×1×(?1)=2．
本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，根据条件建立适当的坐标系，利用DE⊥AC求出AD的长，即可求出|DE|，属于基础题．
【解答】
解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设|AD|=a(a>0)，
则A(0,0)，C(4,a)，D(0,a)，E(2,0)，
所以DE=(2,?a)，AC=(4,a)．
因为DE⊥AC，
所以DE·AC=0，
所以2×4+(?a)·a=0，即a2=8．
所以a=22，
所以DE=(2,?22)，
所以|DE|=22+(?22)2=23．
8.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了向量在物理中的应用问题，是基础题．
由题意知F1=F2=400(N)，夹角θ=60°，计算G=?(F1+F2)的模长，得到体重．
【解答】
解：由题意，设胳膊的拉力为F1，F2，两只胳膊的夹角为θ，
则F1=F2=400(N)，夹角θ=60°，
所以G+F1+F2=0，
即G=?(F1+F2)；
所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002；
|G|=4003(N)，
则该学生的体重(单位：kg)约为403=40×1.732≈69(kg)，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】?
本题为三角形形状的判断，记准向量的加减法则，并准确化简向量式是解决问题的关键，属中档题．
由向量的运算法则可得(DB?DA+DC?DA)·(AB?AC)=0，即(AB+AC)·(AB?AC)=0，进而得AB=AC，即△ABC是等腰三角形．?
【解答】
解：由(DB+DC?2DA)·(AB?AC)=0，得(DB?DA+DC?DA)·(AB?AC)=0，?
所以(AB+AC)·(AB?AC)=0，
所以AB2?AC2=0，
则AB=AC，
故△ABC是等腰三角形．
故选D ．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的线性运算及向量法研究平面几何问题，属于基础题．
根据向量运算得到AD=2BC，知AD、BC共线且不等，得解．
【解答】
解：AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(?3a?b)+(?4a?3b)=?6a?2b，
故AD=2BC，
∴AD//BC且AD≠BC，
∴四边形ABCD是梯形．
故选D．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．
取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，所求AM→?AO→=AD→?AO→+AE→?AO→，由数量积的定义结合图象可得AD→?AO→=|AD→|2，AE?AO=|AE|2，代入计算即可．
【解答】
解：取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC
∵M是边BC的中点，
∴AM→=12(AB→+AC→)，
∴AM?AO=12(AB+AC)?AO=12AB?AO+12AC?AO=AD→?AO→+AE→?AO→，
由数量积的定义可得AD·AO=|AD||AO|cos?∠OAD，
而AOcos?∠OAD=AD，故AD?AO=|AD|2=4；
同理可得AE→?AO→=|AE→|2=1，
故AD→?AO→+AE→?AO→=5，
故选：B．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题．
根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值．
【解答】
解：求x+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：
当OP=OA=OA+0?OB时，x+y=1，
当OP=OC=OB+OE=OB+OA+AE=3OB+OA时，x+y=4，
当OP=OE=OA+AE=2OB+OA时，x+y=3，
当OP=OD=OA+AF+FD=3OB+2OA时，x+y=5，
当OP=OF=OA+AF=OB+OA时，x+y=2，
当OP=OB时，x+y=1，﹒
∴x+y的最大值为3+2=5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为?5﹒
则x+y的取值范围是[?5,5]，
观察选项，选项B，C均符合题意．
故选BC．
13.【答案】， 5
【解析】解：∵AC?BD=?4+4=0，
∴AC⊥BD.所以向量AC,BD的夹角为；
又|AC|=12+22=5，|BD|=42+22=20．
∴四边形ABCD的面积S=12|AC|?|BD|=12×5×20=5．
故答案为：；5．
由AC?BD=0可得AC⊥BD，求得夹角，再求得向量的模，于是四边形ABCD的面积S=12|AC|?|BD|．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、对角线相互垂直的四边形的面积，属于基础题．
14.【答案】[?94,4]
【解析】解：
由AB=2，AC=4，∠BAC=60°可得
BC=23，AB⊥BC，
以B为原点建立坐标系如图，
作PE⊥BC于E，
设P点横坐标为x，则x∈[0,23]，
EC=23?x，
∴PE=33(23?x)，
∴P(x,33(23?x))，
∴PB?PC
=(?x,33(x?23))?(23?x,33(x?23))
=x(x?23)+13(x?23)2
=43x2?1033x+4，
由二次函数可知，当x=534时得最小值?94，
当x=0时得最大值4，
∴PB?PC的范围为[?94,4]，
故答案为[?94,4]．
利用所给条件容易判定三角形ABC为直角三角形，以B为原点建立坐标系，设P点坐标，得到数量积，利用二次函数可得最值．
此题考查了向量数量积，数形结合，二次函数等，难度适中．
15.【答案】?12
【解析】
【分析】
本题考查数量积的运算，关键是根据O是AB的中点，得到PA+PB=2PO，属于中档题．
由向量的加法，可得PA+PB=2PO，将其代入(PA+PB)?PC中，变形可得(PA+PB)?PC=?2(|PO|?12)2?12，由二次函数的性质，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则PA+PB=2PO，
则(PA+PB)?PC=2PO?PC=2|PO|?|PC|cosπ
=?2|PO|(1?|PO|)=2(|PO|?12)2?12≥?12，
即(PA+PB)?PC的最小值是?12；
故答案为?12．
16.【答案】212
【解析】
【分析】
建立坐标系，设AE→=λAC→，将点E的坐标用λ表示，由BE⊥AC得BE→·AC→=0，进一步得到关于λ的方程从而求出E的坐标，于是可以通过求ED→得出结果．
【解答】
解：以A为坐标原点，AD、AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,3)，C(3,3)，D(3,0)，AC→=3,,3，
设AE→=λAC→，则E的坐标为3λ,,3λ，故BE→=3λ,3λ?3，
∵BE⊥AC，
∴BE→·AC→=0，
即9λ+3λ?3=0，解得λ=14，
∴E34,34，故ED→=94,?34，
∴ED→=942+?342=212．
故答案为212．
17.【答案】?①?③
【解析】
【分析】本题主要考查平面向量的物理运用，涉及到向量的投影，以及正余弦函数的性质，属于中档题.由已知设水的阻力为f，绳的拉力为F，?F与水平方向夹角为θ(0<θ<π2).则
|F|cosθ=|f|，?，结合正余弦函数的单调性可求得．
【解答】
解：设水的阻力为f，绳的拉力为F，?F与水平方向夹角为θ(0<θ<π2).
则|F|cosθ=|f|，?．
∵θ增大，?cosθ减小，?∴|F|增大．
∵|F|sinθ增大，?∴船的浮力减小．
18.【答案】(1)解：连接OB，设B(xB,yB)，
则由已知有xB=|OA→|+|AB→|cos(π?∠OAB)=52,yB=|AB→|sin(π?∠OAB)=32，
所以OC→=OB→+BC→=(32,332)，
所以B(52,32),C(32,332);
(2)证明：因为AB→=(12,32),OC→=(32,332)，
所以3AB→=OC→，
即AB→//OC→，
又OA与BC不平行，|OA→|=|BC→|=2，
所以四边形OABC为等腰梯形．
【解析】本题考查平面向量共线的条件及平面向量的几何运用．
(1)利用已知求出B的坐标，然后利用OC→=OB→+BC→=(32,332)即可求解C的坐标;
(2)利用向量共线的条件即可求解．
19.【答案】解：(1)设AB=a，AC=b，
则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC?AB=23AB+13AC=23a+13b．
所以|AD|2=AD2=(23a+13b)2
=49a2+2×29a?b+19b2
．
故AD=3．
(2)设∠DAC=θ，则θ为AD与AC的夹角．
因为
=13b2+23a?b33=13×9+23×3×3×(?12)33=0，
所以θ=90°，即∠DAC=90°．
【解析】本题考查平面向量的三角形法则以及模的定义及平面向量的数量积的定义及性质，属于基础题．
(1)设出AB=a，AC=b，求得AD=23a+13b.从而由|AD|2=AD2求得AD的长；
(2)设∠DAC=θ，则θ为AD与AC的夹角．
由夹角公式得到cos?θ=AD?AC|AD||AC|=0，从而得到θ=90°，即∠DAC=90°．
20.【答案】证明：(1)如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，
不妨设AB=2，
则A0,0，B2,0，C2,2，E1,2，F0,1．BE=OE?OB=1,2?2,0=?1,2，CF=OF?OC=0,1?2,2=?2,?1，
∵BE?CF=?1×?2+2×?1=0，
∴BE⊥CF．
(2)设Px,y，则FP=x,y?1，CF=?2,?1，
∵FP//CF，
∴?x=?2y?1，即x=2y?2．
同理由BP//BE，
得y=?2x+4，代入x=2y?2.解得x=65，
∴y=85，即P65,85．
∴AP2=652+852=4=AB2，
∴AP=AB，
∴AP=AB．
【解析】本题考查利用平面向量证明线段垂直与线段相等，解题的关键是建立直角坐标系将几何问题转化为代数问题进行计算证明，即利用平面向量的坐标运算及数量积运算证明线段垂直；利用平面向量的坐标运算及计算平面向量模相等证明线段相等.属中档试题．
(1)解题的关键是将线段垂直转化为平面向量数量积为0，即BE·CF=0，得到BE⊥CF．
(2)解题的关键是将线段相等转化为平面向量的模相等，即AP=AB，得到AP=AB．
21.【答案】?解：因为?P0?1,2，Q0?2,?1，所以?P0Q0=?1,?3，又因为?e1+e2=1,1，所以?∣e1+e2∣=2.因为?3e1+2e2=3,2，所以?∣3e1+2e2∣=13，所以当?t?时刻时，点?P?的位置为??1+t,2+t，点?Q?位置为??2+3t,?1+2t，
所以?PQ=?1+2t,?3+t，
因为?P0Q0⊥PQ，所以??1×?1+2t+?3×?3+t=0，
所以?t=2，
即当?PQ⊥P0Q0?时所需时间为?2?秒．
【解析】本题考查向量的平移、向量的大小以及向量的应用，难度一般．
由?P0?1,2，Q0?2,?1，得?P0Q0=?1,?3，又?∣3e1+2e2∣=13，所以当?t?时刻时，点?P?的位置为??1+t,2+t，点?Q?位置为??2+3t,?1+2t，所以?PQ=?1+2t,?3+t，再根据?P0Q0⊥PQ，得t=2．