2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章 6.1 平面向量的概念 同步练习Word含解析

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.1 平面向量的概念 同步练习
班级 姓名 学号
一．选择题
下列说法中错误的是(????)
A. 零向量与任一向量平行
B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 零向量的长度为0
D. 方向相反的两个非零向量必不相等
设a，b为非零向量，则“a//b”是“a，b的方向相同”的? (??? )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为? (??? )
A. BA
B. CD
C. AD
D. OD
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a=b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是(????)
A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②
已知向量a，b是两个非零向量，AO，BC分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式一定正确的是? (??? )
A. AO=BO B. AO=BO或AO=?BO
C. AO=1 D. |AO|=|BO|
如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有____.(填序号)
? ①AO=OC; ②AO//AC; ③AB与CD共线; ④AO=BO．
已知集合A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列结论中错误的是? (??? )
A. C?A B. A?B={a} C. C?B D. A∩B?{a}
如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF//AB，则下列等式中成立的是(? ? ? ?)
A. AD=BC
B. AC=BD
C. PE=PF
D. EP=PF
已知向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的是? (??? )
A. 向量AC与向量AB一定同向 B. 向量BC，AB，AC一定共线
C. 向量AC与向量BC一定相等 D. 以上说法都不正确
如图，网格纸上小正方形的边长为1，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则(? ? ?)
A. |AB|=5且|BC|=2.5|DE|
B. |AB|=5且|BC|=2|DE|
C. |AB|=6且|BC|=2|DE|
D. |AB|=6且|BC|=3|DE|
二.填空题
给出下列说法：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同、终点相同时才相等;
②若AB=DC，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点;
③若四边形ABCD为平行四边形，则AB=DC;
④若a≠b，则a与b一定不共线．
其中正确说法的序号是____.
如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为??????????；与向量OA共线的向量为??????????_；与向量OA的模相等的向量为??????????.(填图中所画出的向量)
已知在四边形ABCD中，BC=AD且|AB|=|BD|=|BC|=2，则四边形ABCD的内切圆的面积是_______．
若在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC上运动)，则向量AD的模的最小值为________．
三.解答题
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB=60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点作为向量的起点与终点．
(1)写出与DA平行的向量；
(2)写出与DA的模相等的向量．
如图，网格纸上小正方形的边长为1，已知向量a．
(1)试以B为终点画一个向量b，使b=a．
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使得|c|=5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD上的点，AB=DC且CN=MA，求证：DN=MB．
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在图中画出AD，DC，CB，AB；
(2)求B地相对于A地的位移．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的基本概念，是基础题．
根据平面向量的基本概念，分析正误即可．
【解答】
解：对于A，零向量的方向是任意的，
零向量与任一向量平行，A正确；
对于B，方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；
对于C，零向量的模长为0，C正确；
对于D，根据向量相等的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D正确．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判定方法，考查向量共线的概念，属于基础题．
由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案．
【解答】
解：对于非零向量a，b，由a//b可得：a与b方向相同或相反，
反之，a与b方向相同?a//b，
则“a//b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查向量相等的定义，属于基础题．
由向量相等的定义，模相等，方向相同即可求解．
【解答】
解：根据图形可知四边形BCDO是平行四边形，∴BC?//?OD，BC=OD，∴BC=OD，
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的基本概念，属于基础题．
根据零向量、单位向量、相等向量的概念可一一判断．
【解答】
解：根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向量AB与BA互为相反向量，故③错误．
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的有关概念，属基础题，
由a，b只是模相等，方向不一定相同，可判断．
【解答】
解：由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．
又AO与BO均为单位向量，∴|AO|=|BO|，故C错，D对．
故选D．
6.【答案】①②③
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量相等与共线定理的应用问题，是基础题.根据题意画出图形，结合图形对选项中的命题，判断正误即可．
【解答】
解：如图所示，
点O是正方形ABCD的中心，
根据正方形的特征，结合相等向量、平行向量的定义可知，①②③正确，
AO与BO只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量，④是错误的．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的基本概念，以及向量与集合的综合.属于基础题．
由向量的基本概念以及集合间的基本关系可求得．
【解答】
解：∵A={与a→共线的向量}，B={与a→长度相等的向量}，C={与a→长度相等，方向相反的向量}，其中a→是非零向量，
A.C?A，正确；
B.A∩B?{a→}，所以不正确；
C.C?B，正确；
D.A∩B?{a→}，正确；
故选B．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量相等的概念，是一个基础题．
根据相等向量的定义：大小相等，方向相同的向量为相等向量，逐项进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：根据相等向量的定义，
A中，AD与BC的方向不同，故A错误；
B中，AC与BD的方向不同，故B错误；
C中，PE与PF的方向相反，故C错误；
D中，EP与PF的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查共线向量的定义，属于基础题．
由共线向量定义可直接判断．
【解答】
解：根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量模的计算及平面向量几何表示，属基础题目．
结合图形可求向量的模长及平面向量几何表示，
【解答】
解：由题意AB=32+42=5，
因为D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
所以?BC=2DE，
故选B．
11.【答案】③
【解析】
【分析】本题考查向量相等定义、向量共线定义，属于基础题．
根据向量相等定义可得故①错，②错，③正确，向量共线，只要满足方向相同或相反，a≠b，a与b可能共线．
【解答】解：起点和终点都相同的向量一定相等，但相等的向量只要求长度相等、方向相同，并不要求起点相同，故①错;
若AB=DC，则A，B，C，D四点还可能共线，②错；
当四边形ABCD为平行四边形时，AB=DC，③正确;
当a=b时，a与b一定共线，但当a与b共线时，不一定有a=b，故a≠b时，a与b可能共线，④错．
故填③．
12.【答案】OC
DC，EB
OB，OC，DC，EB，AD
【解析】∵ O是正三角形ABC的中心，∴ OA= OB= OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与AD相等的向量为OC；与OA共线的向量为DC，EB；与OA的模相等的向量为OB，OC，DC，EB，AD．
13.【答案】3π4
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的几何应用，相等向量与共线向量，圆的面积计算公式，属于中档题．由向量相等与模相等的意义，将向量关系转化出几何关系，易知四边形ABCD为菱形，其内切圆半径为12|BD|sin?60°，即可得其面积．
【解答】解：由BC=AD知四边形ABCD为平行四边形，
由|AB|=|BD|=|BC|知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，
故∠ABC=120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD、AC的交点处，
令其半径为r，则r=12|BD|sin?60°=32，
所以S圆=πr2=π×322=3π4．
故答案为3π4．
14.【答案】532
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．
由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量AD长度最小，问题得以解决．
【解答】根据题意，在等边△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为等边△ABC的高，为532．
故答案为532．
15.【答案】解：(1)与DA平行的向量有AD，BC，CB；
(2)与DA的模相等的向量有：
AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB．
【解析】本题考查向量平行的概念、向量的模，属于基础题．
(1)根据向量平行的概念直接求即可；
(2)根据向量模的概念求解..
16.【答案】解：(1)图形如下，
(2)图形如下，
C的终点是以A为圆心，5为半径的圆．
【解析】本题考查向量的几何表示．
(1)画出图形即可;
(2)画出图形，并指出终点的轨迹即可．
17.【答案】证明∵AB=DC，∴|AB|=|CD|且AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴|DA|=|CB|，且DA//CB．
又∵DA与CB的方向相同，∴CB=DA．
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
∴CM=NA．∵|CB|=|DA|，|CM|=|NA|，
∴|DN|=|MB|.
∵DN//MB且DN与MB的方向相同，∴DN=MB．
【解析】本题考查了相等向量与共线向量.属于基础题．
先证得四边形ABCD、四边形CNAM是平行四边形，由相等向量与共线向量定义证得DN=MB．
18.【答案】解：(1)向量AD，DC，CB，AB，如图所示：
(2)由题意知AD=BC，
所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，
所以AB=DC，
则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
【解析】本题考查向量的概念及几何表示、向量相等的概念，属于基础题．
(1)根据题意直接画即可；
(2)由题意知AD=BC.所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，得出AB=DC，即可求出结果．