三角函数检测卷（含答案）

三角函数检测卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于(　　)
A．－3　　　　　　　 B．－
C．3 D.
2．已知cos(α－)＝，则sin2α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
3．sin6°·cos24°·sin78°·cos48°的值为(　　)
A. B．－
C. D.
4．2－等于(　　)
A．－2sin40° B．2cos40°
C．4cos40°－2sin40° D．2sin40°－4cos40°
5.等于(　　)
A. B.
6．若θ是第二象限角，且sinA．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C．2 D.
7．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于(　　)
A．－ B.
C. D．－π
8．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
9．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为(　　)
A．±4 B．4
C．－4 D．1
10．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是(　　)
A．1 B.
C. D．1＋
11．函数y＝sin(3x＋)cos(x－)＋cos(3x＋)cos(x＋)的图象的一条对称轴是直线(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
12．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若－2π＜α＜－，则 化简结果是_______
14．若α、β为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α＋β＝
______.
15．若sinβ＝，sin(α＋β)＝1，则sin(2α＋β)＝________.
16．函数y＝的最小正周期为____．
三、解答题(本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（满分10分）已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cosβ的值．
18．（满分12分）已知sin－cos＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，求tan(α－2β)的值．
19．（满分12分）设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω＞0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间[－，]上的最小值为，求a的值．
20．（满分12分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，且α∈(0，)，求sin(2α＋)的值．
21．（满分12分）求证：··＝tan.
22．（满分12分）若函数f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，试确定常数a的值．
答案：
1.解析：选D.tan(α－β)＝＝＝.
2. 解析：选B.sin2α＝cos(2α－)
＝2cos2(α－)－1＝－.
3. 解析：选A.原式＝sin6°·cos12°·cos24°·cos48°
＝
＝
＝
＝＝＝＝.
4.解析：选A.原式＝2|cos40°－sin40°|－2|cos40°|
＝－2sin40°.
5. 解析：选C.＝
＝＝2.
6. 解析：选C.∵θ在第二象限，
∴∈(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.①
又∵sin∴sin－cos<0.
即sin(－)<0.
∴2kπ－π<－<2kπ.
∴2kπ－<<2kπ＋，k∈Z.②
由①②求交集，得在第三象限．
7. 解析：选A.原式＝2(sinx－cosx)
＝2sin(x－)，∴φ＝－.
8.解析：选B.cos(＋α)＝sin(－－α)
＝sin(－α)＝－sin(α－)＝－.
9. 解析：选C.3cos[(α＋β)＋α]＋5cosβ＝0，
即3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cosβ＝0.
3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos[(α＋β)－α]＝0，
3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)·cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，
8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα＝0，
8＋2tan(α＋β)tanα＝0，
∴tan(α＋β)tanα＝－4.
10. 解析：选C.f(x)＝sin2x＋sinxcosx
＝＋sin2x＝sin(2x－)＋.
∵≤x≤，
∴≤2x－≤π，
∴≤sin(2x－)≤1.
∴f(x)max＝1＋＝.
11. 解析：选D.y＝sin(3x＋)cos(－x)＋cos(3x＋)·sin(－x)＝sin(3x＋＋－x)
＝sin(2x＋)＝cos2x.
令2x＝kπ(k∈Z)，∴x＝，k∈Z，
令k＝－1，得x＝－.
12. 解析：选C.cos(α－)＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，
(cosα＋sinα)＝，
∴sin(＋α)＝，
∴sin(＋α)＝，
故sin(α＋π)＝－sin(＋α)＝－.
13. 解析：原式＝＝|cos|.
因为－2π＜α＜－，－π＜＜－，
所以cos＜0，故原式＝－cos.
答案：－cos
14. 解析：∵α、β为锐角，∴sinα＝，cosβ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝－<0，
又0<α＜，0＜β<，
∴<α＋β<π.
∴α＋β＝.
答案：
15. 解析：由sin(α＋β)＝1，得
α＋β＝2kπ＋，k∈Z，
∴sin(2α＋β)＝sin[2(α＋β)－β]＝sinβ＝.
答案：
16. 解析：∵y＝
＝tan(2x＋)，∴T＝.
答案：
17. 解：因为α，β均为锐角，
所以0＜α＋β＜π.又cos(α＋β)＝－，
所以＜α＋β＜π，
且sin(α＋β)＝.因为tanα＝4，
所以sinα＝，cosα＝.
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
18. 解：∵sin－cos＝，
两边平方，得1－2sincos＝，即sinα＝.
而α∈(，π)，∴cosα＝－，则tanα＝－.
又tan(π－β)＝，得tanβ＝－，
∴tan2β＝＝＝－，
∴tan(α－2β)＝＝＝.
19. 解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a
＝sin(2ωx＋)＋＋a.
依题意得2ω·＋＝，解得ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(x＋)＋＋a.
又当x∈[－，]时，x＋∈[0，]，
故－≤sin(x＋)≤1.
从而f(x)在[－，]上取得最小值－＋＋a，因此，由题设知－＋＋a＝，
故a＝.
20. 解：∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，
∴sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，
4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0，
2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，
2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.
又∵α∈(0，)，∴cosα≠0，sinα≠－1，
∴sinα＝，cosα＝.∴α＝，
∴sin(2α＋)＝sin(＋)＝sin＝.
21. 证明：左边＝··
＝
＝＝
＝＝＝tan＝右边
22. 解：f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)
＝＋sinx＋a2sin(x＋)
＝sinx＋cosx＋a2sin(x＋)
＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)
＝(＋a2)sin(x＋)．
∵f(x)的最大值为＋3，sin(x＋)的最大值为1，
∴＋3＝＋a2.
∴a2＝3，∴a＝±.