人教版2019选修二第二单元导数单元测试卷（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版2019选修二第二单元导数单元测试卷
一、单选题
1.设曲线f(x)＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（???
）
A.?2???????????????????????????????????????B.?－
???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?－1
2.已知函数
，则
的单调减区间是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
3.已知函数
的图象如下所示，
为
的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（???
）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
4.已知
是
的极值点，则
在
上的最大值是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
5.已知奇函数
，当
时，
，则
的图象与函数
的图象所有交点的横坐标之和等于（?
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?11??????????????????????????????????????????D.?17
6.函数
的图象大致为（??
）
A.??B.?C.?D.?
7.设函数
在区间
上总存在零点，则
的最小值为（???
）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?e??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，函数
，若关于
的函数
恰有2个零点，则实数
的取值范围为（
??）．
A.????????B.????????C.????????D.?
二、多选题
9.函数
（k为常数）的图象可能是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
10.已知函数
，其中
是自然对数的底数，下列说法中正确的是（???
）
A.?函数
的周期为
???????????????????????????????????????B.?
在区间
上是减函数
C.?
是奇函数?????????????????????????????????????????????D.?
在区间
上有且仅有一个极值点
11.函数
，则下列说法正确的是（???
）
A.?
B.?
C.?若
有两个不相等的实根
，则
D.?若
均为正数，则
12.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数
，我们可以作变形：
，所以
可看作是由函数
和
复合而成的，即
为初等函数.根据以上材料，对于初等函数
的说法正确的是（???
）
A.?无极小值?????????????????????????B.?有极小值
?????????????????????????C.?无极大值?????????????????????????D.?有极大值
三、填空题
13.已知
在
时有极值0，则
的值为________．
14.若函数
在区间
内存在极大值，则a的取值范围是________.
15.已知
，直线
与函数
的图象在
处相切，设
，若在区间
上，不等式
恒成立，则实数
的最大值是________.
16.定义在
上的函数
，如果存在函数
（
为常数），使得
对一切实数
都成立，则称
为函数
的一个承托函数．给出如下命题：
①
函数
是函数
的一个承托函数；
②
函数
是函数
的一个承托函数；
③
若函数
是函数
的一个承托函数，则a的取值范围是
；
④
值域是
的函数
不存在承托函数．??
其中，所有正确命题的序号是________．
四、解答题
17.已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求实数
的取值范围．
18.已知
，
，（
为自然对数的底数，
…）.
（Ⅰ）当
时，若函数
与直线
相切于点
，求
，
的值；
（Ⅱ）当
时，若对任意的正实数
，
有且只有一个极值点，求负实数
的取值范围.
19.设
.
（1）证明：
；
（2）若
，求
的取值范围.
20.已知函数
（1）若
为定义域内的单调递增函数，求
的取值范围；
（2）当
时，证明：
.
21.已知函数
．
（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）设
，若
有三个不同的零点，求
的取值范围．
22.已知函数
.
（1）若
，求
的极值；
（2）讨论函数
的单调区间；
（3）若
有两个极值点
，且不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：f(x)＝ax2
，
则
因为在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以
所以
故答案为：B
2.【答案】
C
解：由题意，得：
，
∴
：即
，
单调递减；
故答案为：C.
3.【答案】
B
解：由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：
，而
，
故答案为：B.
4.【答案】
A
解：由题意，
且
，
∴
，则
，
∴当
时，
，
单调递减；当
或
时，
，
单调递增；
∴在
上，
单调递增；
，
单调递减；
∵
，
∴
在
上最大值是
.
故答案为：A.
5.【答案】
B
解：解析：由于
时，
，
可知当
时，
，函数单调递增，
当
时，
，函数单调递减，当
时函数有最大值
，
又由于当
时，
，
因此可以画出函数
与
的图象如图，
由图象可知，在区间
内两图象有4个交点，
根据对称性，在区间
内也有4个与它们关于点
对称的交点，
这四对点的横坐标之和为
，再加
点横坐标，故各交点横坐标之和为9.
故答案为：B
6.【答案】
C
解：解：函数的定义域为
，
所以AB错误；求导得
，
当0当x>e时，y'>0，所以C正确，D错误.
故答案为：C
7.【答案】
C
解：由题意，函数
，
设
为函数
在
上的零点，则
，
即
，即点
在直线
上，
又由
表示点
到原点的距离的平方，
则
，即
，
令
，则
，
因为
，所以
，
可得函数
在区间
上单调递增，
所以当
时，函数取得最大值，最大值为
，
所以
的最小值为
。
故答案为：C.
8.【答案】
C
解：因为
则
或
，
时，
，
，
时，
，
递减；
时，
，
递增，
∴
的极小值为
，又因为
，因此
无解，
此时
要有两解，则
，
又因为
是奇函数，∴
时，
仍然无解，
要有两解，则
，
综上所述，
。
故答案为：C．
二、多选题
9.【答案】
A,B,C
解：显然
有唯一零点
，D不符合题意；
，
，
∴
在
上单减，
上单增，
∴
，且
时
，
时
，
故当
时，
，
单增，A可能；
当
时，
存在两个零点
，
在
和
上单增，
上单减，B可能；
当
时，
存在唯一零点
，
在
上单增，在
上单减，
C可能．
故答案为：
ABC.
10.【答案】
A,C,D
解：对于A：
，
A符合题意；
对于B：由
，
得
，
当
时，
，
所以
在区间
上是增函数，
B不正确；
对于C：
，
设
，
则
?
，
所以函数
即
是奇函数；
C符合题意；
对于D：由
，
得
，
而
，
（1）当
时，
，
所以
，
即
在区间
单调递减，
又
，
，
所以
在区间
上存在唯一零点；
（2）当
时，
，
又
，
则
，
则
在区间
上无零点，
综上可得：
在区间
上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.
11.【答案】
B,D
解：由
得：
令
得，
当x变化时，
变化如下表：
x
0
单调递增
极大值
单调递减
故，
在
上递增，在
上递减，
是极大值也是最大值，
时，
时，
，且
时
，
时，
，
，
A．
，A不符合题意
B．
，且
在
单调递增
，故：B符合题意
C．
有两个不相等的零点
不妨设
要证：
，即要证：
在
单调递增，∴只需证：
即：
只需证：
……①
令
，则
当
时，
在
单调递增
，即：
这与①矛盾，C不符合题意
D．设
，且
均为正数，则
且
，D符合题意．
故答案为：BD．
12.【答案】
A,D
解：根据材料知：
，
所以
，
令
得
，当
时，
，此时函数
单调递增；
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以
有极大值且为
，无极小值。
故答案为：AD.
三、填空题
13.【答案】
11
解：由题知
，
且
，
所以
，
得
或
，
①当
时，
，此时，
，
所以函数
单调递增无极值，
舍去．
②当
时，
，此时
，
是函数的极值点，符合题意，
∴
．
14.【答案】
解：依题意得：
，由
得x=0，x=2，
x<0或x>2时，
，
0，
所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数
在区间
内存在极大值，
所以
，即
.
故答案为：
15.【答案】
e+1
解：∵
，∴
，∴
，又点
在直线
上，∴
，
∴
，
，设
，则
，
当
时，
，∴
在
上单调递增，∴
，
∴
在
上单调递增，
，解得
或
，∴m的最大值为
.
故答案为：e+1.
16.【答案】
②③
解：解：①,∵x>0时,f(x)=lnx∈(?∞,+∞)，
∴不能使得f(x)?g(x)=?2对一切实数x都成立，故①错误；
②,令t(x)=f(x)?g(x),则t(x)=x+sinx?(x?1)=sinx+1?0恒成立,故函数g(x)=x?1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数，②正确；
③,令h(x)=ex?ax,则h′(x)=ex?a，
由题意，a=0时，结论成立；
a≠0时,令h′(x)=ex?a=0，则x=lna，
∴函数h(x)在(?∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数，
∴x=lna时，函数取得最小值a?alna；
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数，
∴a?alna?0，
∴lna?1，
∴0综上，0?a?e，故③正确；
④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x?1,则f(x)?g(x)=1?0恒成立,故g(x)=2x?1是f(x)=2x的一个承托函数，④错误；
综上所述，所有正确命题的序号是②③．
答案：②③．
四、解答题
17.【答案】
（1）解：由题知
，
的定义域为
，
∴
．
（对函数
求导后．由于
恒大于0，故对
进行正负分类讨论，从而判断函数
的单调性）
当
时，
在
上恒成立，故
在
上是增函数：
当
时，令
得
，
在
上有
，在
上有
，
∴
在
上是减函数，在
上是增函数
（2）解：当
时，
，
即
，?
（
）
令
，
则
．
①若
，由（1）知，当
时，
在
上是增函数，
故有
，
即
，得
，故有
．
（由（1）可判断
，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）
（当且仅当
，即
，且
时取等号）
（根据
及基本不等式可知需对
和
的大小分类讨论）
∴函数
在区间
上单调递增，
∴
，∴（
）式成立．
②若
，令
，
则
，当且仅当
时等号成立．
∴函数
在区间
上单调递增．
∵
，
，
∴
，使得
，
则当
时，
，即
．
∴函数
在区间
上单调递减，
（构造函数
，对其求导并根据零点存在性定理判断
的单调性）
∴
，即（
）式不恒成立．
综上所述，实数
的取值范围是
18.【答案】
（Ⅰ）当
时，
，
，
由题知
且
，所以
，解得
，
（Ⅱ）当
时，
，则
令
，
则
，令
，
则
，
当
时
，
在
上单调递减，
当
时
，
在
上单调递增，所以
.
⑴当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，
故
在
上有唯一解，所以
有且只有一个极值点.
⑵当
时，
，所以
有两个零点
，
，
即方程
有两根
，
，
又因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以要使
只有一个变号零点只需
或
.
首先考虑：
，
令
，
，
即
在
上单调递增，所以
，
要使
恒成立，只需
即可，即
.
其次考虑：
，因为
在
上单调递减，
同理可得，所以要使得
恒成立不可能，即
无解.
综上可知：
的取值范围为
.
19.【答案】
（1）由题意可设
，有
，所以
在（0，1）单减，
所以
，即
，
设
，
，
，则有
，
单调递增，得
，所以
得证；
（2）由（1）可知
时，
成立，
则当
时，设
，则
，
，
单调递增，
则
，
①若
，
，
单调递减，则有
，此时不符合题意；
②若
，
，
，所以
有唯一零点，可记为
，
则
，
，此时
单调递减，有
，则不符合题意；
综上可知
，即
的取值范围为
.
20.【答案】
（1）解：函数
的定义域为
，
，
∵
为
上的单调递增函数，
，即
又
，
，
恒成立，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，解得：
，
的取值范围为
；
（2）解：方法一：设
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
对
，
，即对
，
…①；
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即对
，
，…②；
①②两不等式相加得：
，
，
，即
，
又
，
，即
.
方法二：
，
等价于
，
设
，则
，
∴当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
；
设
，则
，
∴当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
；
，即
，
，
，即
，
又
，
，即
.
方法三：令
，则
，
，
在
上单调递增，又
，
，
，使得
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
时，
，
，即
，
，
，即
，
又
，
，即
.
21.【答案】
（1）解：
，
若
在
上单调递增，则
，即
．
设
，则
，
令
得
，当
时，
，当
时，
，
所以
，
因此
的取值范围为
．
（2）解：题意
，则
．
若
，
，
随
变化的情况如下表：
-1
0
极小值
此时
不可能有三个零点．
若
，令
，得
或
．
①若
，即
，
，
随
变化的情况如下表：
-1
0
0
极大值
极小值
要使
有三个不同的零点，需
得
且
．
②若
，即
，此时
，
单调递增，不可能有三个零点．
③若
，即
，
，
随
变化的情况如下表：
-1
0
0
极大值
极小值
要使
有三个不同的零点，
需
无解．
综上所述：
的取值范围是
．
22.【答案】
（1）解：若
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
∴当
时函数有极小值
，无极大值；
（2）解：
的定义域是
，
，
①
时，
，则
，
在
递增，
②
时，令
，解得：
，令
，解得：
，
故
在
递减，在
递增；
（3）解：
定义域为
，
有两个极值点
，
即
，
则
有两不等实根
，
∴
，
，
.
且
，
.
从而
.
由不等式
恒成立，
得
恒成立.
令
，
当
时，
恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
∴
.
故实数
的取值范围是
.
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