第七章 复 数 单元测试A卷（含解析）

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高一数学必修二
第七章
复
数A,B卷
(时间：100分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数i－2的虚部是(　　)
A．i　　　　　　　　　　
B．－2
C．1
D．2
解析：选C　i－2＝－2＋i，因此虚部是1.故选C.
2．复数(2＋i)2等于(　　)
A．3＋4i
B．5＋4i
C．3＋2i
D．5＋2i
解析：选A　
(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i
B．－＋i
C．2＋i
D.＋i
解析：选A　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　)
A．－
B.
C．－2
D．2
解析：选D　(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，
因为它为纯虚数，所以解得a＝2.故选D.
5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋y的值为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选D　依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2.故选D.
6．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2
B．4
C．3
D．－4
解析：选B　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.
7．i是虚数单位，复数＝(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
解析：选B　＝＝＝2－i.故选B.
8．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3
B．1
C．3
D．2
解析：选A　依题意可得
＝2，解得m＝1或3.故选A.
9．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)
A．1
B．2
C．－2
D．－1
解析：选A　z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即　∴x＝y＝1，则xy＝1.故选A.
10．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
解析：选C　z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知解得a＝－2.故选C.
11．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：选B　因为x＋yi的共轭复数为x－yi.故选B.
12．若z＝4＋3i，则＝(　　)
A．1
B．－1
C.＋i
D.－i
解析：选D　|z|＝
＝5，＝4－3i，则＝－i.故选D.
13．已知z1＝3－4i，z2＝－1＋2i，则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D　z＝z1＋z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．故选D.
14．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝(　　)
A．－2i
B．－i
C．i
D．2i
解析：选B　
依题意得z·－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.故选B.
15．已知i为虚数单位，则2
021等于(　　)
A．－i
B．－1
C．i
D．1
解析：选C　2
021＝i
2
021＝i505×4＋1＝i.故选C.
16．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)
A．－－i
B．－＋i
C.＋i
D.－i
解析：选D　因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋
＝－i.故选D.
17．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)
A．1－3i
B．－2＋11i
C．－2＋i
D．5＋5i
解析：选D　∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，又∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故选D.
18．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4
B．－3
C．3
D．4
解析：选D　＝＝＋i＝3＋i，所以解得a＝4.故选D.
19．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：选A　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
代入z＋＋z·＝0，得x＋yi＋x－yi＋x2＋y2＝0，
即x2＋y2＋2x＝0，整理得(x＋1)2＋y2＝1.
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.
20．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：选B　根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．故选B.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)
21．(2019·北京东城区二模)复数的实部为______
；虚部为________．
解析：＝＝－＋i.实部为－，虚部为.
答案：－　
22．(2019·江苏淮安模拟)已知复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______．
解析：∵复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点(m2－2，m－1)位于第二象限，∴m2－2＜0，且
m－1＞0，
∴1＜m＜.
答案：(1，)
23．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
24．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.
解析：因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.
答案：1
25．计算＋的值是________．
解析：原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝2i.
答案：2i
三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
26．(本小题满分8分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，
求：(1)z1z2；(2).
解：z2＝＝＝
＝＝1－3i，
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
27．(本小题满分8分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
28．(本小题满分9分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
B卷——面向全国卷高考滚动检测卷
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　　)
A．1－i　　　　　　　　
B．1＋3i
C．3＋i
D．3＋3i
解析：选B　(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.故选B.
2．(2019·山西晋城二模)若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2
B.
2
C.
3
D．－3
解析：选D　∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴解得m＝－3.故选D.
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C　z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．故选C.
4．(2019·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a∥b
B．θ＝0
C．θ＝
D．θ＝π
解析：选B　＝等价于非零向量a与b同向共线．即θ＝0.故选B.
5．设i是虚数单位，复数(a＋i)·(1＋2i)为纯虚数，则实数a为(　　)
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：选B　∵复数(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i为纯虚数，
∴解得a＝2.故选B.
6．(2019·湖南长沙一中一模)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1,2)，B(－1,3)，则的虚部为(　　)
A．1
B．－i
C．i
D．－
解析：选D　由复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，B(－1,3)，得z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，则＝＝＝＝＝－i.所以的虚部为－.故选D.
7．(2019·宜宾高三第三次诊断性考试)欧拉公式：eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝(　　)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：选B　由eix＝cos
x＋isin
x，得＝2＝i2＝－1.故选B.
8．(2019·厦门二模)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选C　i为虚数单位，＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝a＋bi，根据复数相等得到所以ab＝＝.故选C.
9．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选C　由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：选C　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，
∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与对应的点关于实轴对称．∴C项正确．故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选ABD　设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，
对于A，z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；
对于B，z2<0，则a＝0，且b≠0，所以z是虚数；所以B为真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题；
对于D，z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0是真命题．故选A、B、D.
12．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是(　　)
A．z<|z2|2
B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R
D.∈R
解析：选BC　z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)．
z<|z2|2；z＝a2－b2＋2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝＋i不一定是实数，因此D不一定正确．故选B、C.
13．设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　　)
A．z为纯虚数
B．z的虚部为－i
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限
D．|z|＝
解析：选ABC　∵z＋1＝zi，设z＝a＋bi，则(a＋1)＋bi＝－b＋ai，
∴解得
∴z＝－－i.
∴|z|＝，复数z的虚部为－.故选A、B、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为其实部为0，故a＝2.
答案：2
15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
16．(2019·天津高考)i是虚数单位，则的值为________．
解析：法一：∵
＝＝2－3i，
∴
＝|2－3i|＝＝.
法二：＝＝＝＝.
答案：
17．设复数z＝2
018＋2
019，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________.
解析：∵＝＝－i，＝＝i，
∴z＝2
018＋2
019＝(－i)2
018＋i2
019＝i2＋i3＝－1－i，
∴＝－1＋i，则的虚部为1，|z|＝.
答案：1　
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解：∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，x，y∈R，
∴解得
∴实数x，y的值分别为，2.
19．(本小题满分14分)计算：(1)＋2
020；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：(1)＋2
020＝＋1
010
＝i(1＋i)＋1
010＝－1＋i＋(－i)1
010
＝－1＋i－1＝－2＋i.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
20．(本小题满分14分)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为.求m的值．
解：∵a·b＝0，∴|a＋b|＝|a－b|，∵|a＋b|＝m|a|，
∴(a＋b)2＝m2a2，∴b2＝(m2－1)a2.
又a＋b与a－b的夹角，∴＝cos，
∴＝＝＝－.
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
21．(本小题满分14分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：因为z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝
，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1,7)．
22．(本小题满分14分)给定两个单位向量，，且·＝－，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，＝x＋y(x，y∈R)．求x－y的最小值．
解：∵，是两个单位向量，且·＝－，
∴∠AOB＝，建立如图所示的坐标系，
则A(1,0)，B，即B，
设∠AOC＝α，
则＝(cos
α，sin
α)，∵＝x＋y，
∴(cos
α，sin
α)＝，
则
∴
∴x＝x＝(cos
α＋sin
α)－2sin
α
＝cos
α＋sin
α＝2sin，
∵0≤α≤，
∴≤α＋≤，
∴sin∈，∴x－y∈[－1,2]，
∴x－y的最小值为－1.
23．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
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精品试卷·第
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