第九章 统 计 单元测试A卷（含解析）

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高一数学必修二
第九章
统
计A，B卷
(时间：100分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为调查参加运动会的1
000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是(　　)
A．1
000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本量是100
解析：选D　总体是1
000名运动员的年龄，所以A项不正确；个体是每一名运动员的年龄，所以B项不正确；样本是100名运动员的年龄，所以C项不正确；很明显样本量是100.故选D.
2．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为(　　)
A．10组　　　　　　　　
B．9组
C．8组
D．7组
解析：选B　根据列频率分布表的步骤，＝8.9，所以分为9组较为恰当．故选B.
3．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60
m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50
m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为(　　)
A．1.54
m
B．1.55
m
C．1.56
m
D．1.57
m
解析：选C　我国13岁的男孩平均身高为(300×1.60＋200×1.50)/(300＋200)＝1.56(m)．故选C.
4．下列说法错误的是(　　)
A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
解析：选B　平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B.
5．某题的得分情况如下：
得分/分
0
1
2
3
4
频率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是(　　)
A．37.0%
B．20.2%
C．0分
D．4分
解析：选C　根据众数的概念可知C正确．故选C.
6．一个频数分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为(　　)
A．15
B．16
C．17
D．19
解析：选A　20到60之间有30×0.8＝24(个)，20到40之间一共有4＋5＝9(个)，故[40,50)，[50,60)内共有24－9＝15(个)．故选A.
7．在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．总体的容量越大，估计越准确
B．总体的容量越小，估计越准确
C．样本的容量越大，估计越准确
D．样本的容量越小，估计越准确
解析：选C　根据样本的频率分布可知，样本的频率分布反映的是总体中部分个体的频率分布，只有当样本的容量越大时，估计才越准确．故选C.
8．某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分.
对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65,9.70,9.68,9.75,9.72,9.65,9.78，则这个班节目的实际得分是(　　)
A．9.66
B．9.70
C．9.65
D．9.67
解析：选B　这个班节目的实际得分为＝9.70.故选B.
9．以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍，其中正确的是(　　)
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
解析：选A　只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，标准差等于|x2－x1|.故④正确．由定义可知①正确，②③错误．故选A.
10．从某批零件中抽取50个．然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该产品的合格率约为(　　)
A．36%
B．72%
C．90%
D．25%
解析：选C　由题意知，该产品的合格率为×100%＝90%.故选C.
11．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55
km.桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100
km/h，现对大桥某路段上1
000辆汽车的行驶速度进行抽样调查，据此画出频率分布直方图如图，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数和汽车行驶速度超过90
km/h的频率分布为(　　)
A．300,0.25
B．300,0.35
C．60,0.25
D．60,0.35
解析：选B　由频率分布直方图得，在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的频率为0.06×5＝0.3，所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数为0.3×1
000＝300(辆)，汽车行驶速度超过90
km/h的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.
12．某中学有高中生3
500人，初中生1
500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100
B．150
C．200
D．250
解析：选A　由题意得，＝，解得n＝100.故选A.
13．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的样本量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取(　　)
A．12,6,3
B．12,3,6
C．3,6,12
D．3,12,6
解析：选C　由按比例分配的分层随机抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3,21×＝6,21×＝12.故选C.
14．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
解析：选D　只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.故选D.
15．统计某校1
000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是(　　)
A．20%
B．25%
C．6%
D．80%
解析：选D　从左至右，后四个小矩形的面积和等于及格率，则及格率是1－10×(0.005＋0.015)＝0.8＝80%.故选D.
16．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如下表所示：
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人数
2
3
4
9
5
1
据此估计允许参加面试的分数线大约是(　　)
A．90
B．85
C．80
D．75
解析：选C　参加面试的频率为＝0.25，样本中[80,90]的频率为＝0.25，由样本估计总体知，分数线大约为80分．故选C.
17．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)
A．1%
B．2%
C．3%
D．5%
解析：选C　由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.故选C.
18．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分如下：
高一：82　83　85　93　97　98　99
高二：88　88　89　88　97　99　98
则对这组数据分析正确的是(　　)
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
解析：选A　由得分数据可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为，所以高二的平均数大．故选A.
19．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本量为160，则中间一组的频数为(　　)
A．32
B．0.2
C．40
D．0.25
解析：选A　由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，∴x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.故选A.
20．设矩形的长为a，宽为b，若其比满足＝≈0.618，则这种矩形称为黄金矩形．黄金矩形给人以美感，常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639
乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确结论是(　　)
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：选A　甲批次的样本平均数为×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617；乙批次的样本平均数为×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.所以可估计：甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)
21.
一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下：
工资xi(元)
1
600
1
440
1
320
1
220
1
150
980
人数ni
2
4
5
5
2
2
则该班组工人月工资的平均数为________．
解析：平均数＝(1
600×2＋1
440×4＋1
320×5＋1
220×5＋1
150×2＋980×2)÷20＝25
920÷20＝1
296.
答案：1
296
22．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下：
56
62
63
63
65
66
68
69
71
74
76
76
77
78
79
79
82
85
87
88
95
98
则该学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为________．
解析：最大数为98，最小数为56，极差为98－56＝42，中位数为76，所以极差与中位数之和为118.
答案：118
23．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________人．
解析：高三的人数为900－240－260＝400(人)，
所以在高三抽取的人数为×400＝20(人)．
答案：20
24．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.
乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51.
则甲、乙两名运动员得分的25%分位数分别是________，________.
解析：因为两组数据都是12个数，所以12×25%＝3，所以甲运动员得分的25%分位数为＝＝22.5.乙运动员得分的25%分位数为＝＝15.
答案：22.5　15
25．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．
解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
答案：71
三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
26．(本小题满分8分)
20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60]与[60,70]中的学生人数．
解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005.
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2(人)．
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3(人)．
27．(本小题满分8分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．
解：由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为
0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.
而前4组的频率之和为
0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
28．(本小题满分9分)某制造商为运动会生产一批直径为40
mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：
40．02　40.00　39.98　40.00　39.99
40．00　39.98　40.01　39.98　39.99
40．00　39.99　39.95　40.01　40.02
39．98　40.00　39.99　40.00　39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02
mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10
000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数．
解：(1)
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
2
0.10
5
[39.97,39.99)
4
0.20
10
[39.99,40.01)
10
0.50
25
[40.01,40.03]
4
0.20
10
合计
20
1
50
(2)∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只，∴合格率为×100%＝90%，
∴10
000×90%＝9
000(只)．
即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9
000.
B卷——面向全国卷高考滚动检测卷
　　　　　　　　　　　(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某台机床加工的1
000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的众数、平均数依次为(　　)
A．0,1.1　　　　　　
B．0,1
C．4,1
D．0.5,2
解析：选A　数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.故选A.
2．如图所示的几何体的平面展开图是四选项中的(　　)
解析：选D　选项A、C中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；选项B中折叠后三角形和圆的位置不符，所以正确的是D.故选D.
3．某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为(　　)
A．80
B．120
C．160
D．240
解析：选A　因为男生和女生的比例为560∶420＝4∶3，样本量为140，所以应该抽取男生的人数为140×＝80.故选A.
4．某校高二年级有50人参加2019“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为(　　)
分组
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频率
0.2
0.4
0.3
0.1
A．70
B．73
C．78
D．81.5
解析：选C　估计该校学生数学竞赛成绩的平均分＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.1＝78.故选C.
5．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　)
A．20
B．25
C．22.5
D．22.75
解析：选C　产品的中位数出现在频率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5.故选C.
6．如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的柱形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是(　　)
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
解析：选D　利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为40－30＝10万元，故A错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利润不是最少，故C错误，D正确．故选D.
7．(2019·山东、湖北部分重点中学高三冲刺考试(二))已知复数z满足|z|＝，z＋＝2(为z的共轭复数)(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．1＋i或1－i
D．－1＋i或－1－i
解析：选C　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，z＋＝2a，所以得所以z＝1＋i或z＝1－i.故选C.
8．如果数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是(　　)
A.和s2
B．3和9s2
C．3＋2和9s2
D．3＋2和12s2＋4
解析：选C　3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2.故选C.
9．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示
，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为(　　)
A．4∶3∶1
B．5∶3∶1
C．5∶3∶2
D．3∶2∶1
解析：选B　体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1.故选B.
10．从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20
B．抽取的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30
C．抽取的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40
D．抽取的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50
解析：选A　根据频率分布直方图的性质得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04，所以抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100＝20，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D不正确．故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．下列说法正确的是(　　)
A．中位数是50%分位数
B．数据x1，x2，…，xm的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，则x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＋
C．当样本数据全相等时，其样本方差(标准差)为0
D．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，则此时8个数的方差s2＝2
解析：选ABC　由百分位数的定义知，A正确；对于B，x1，x2，…，xm，y1，y1，…，yn的平均数为＝＝＝＋，B正确；选项C显然正确；对于D，因为后来7个数的平均数为4，再加上一个新数据4，这8个数的平均数仍为4，其方差s2＝＝<2，故D错，故选A、B、C.
12．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　)
A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
解析：选AC　对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，<4，故C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选A、C.
13．2018年11月～2019年11月某工厂工业原油产量的月度走势图如图所示，则以下说法错误的是(　　)
A．2019年11月份原油产量约为51.8万吨
B．2019年11月份原油产量相对2018年11月增加1.0%
C．2019年11月份原油产量比上月减少54.9万吨
D．2019年1～11月份原油的总产量不足15
000万吨
解析：选ABD　由题意得，2019年11月份原油的日均产量为51.8吨，则11月份原油产量为51.8×30＝1
554万吨，故A错误；2019年11月份原油产量的同比增速为－1.0%，原油产量相对2018年11月份减少1.0%，则B错误；10月份原油产量为51.9×31＝1
608.9万吨，11月份原油产量比上月减少1
608.9－1
554＝54.9万吨，则C正确；1～11月份共334天，而1～11月份日均原油产量都超过50万吨，故1～11月份原油产量的总产量会超过15
000万吨，故D错误．故选A、B、D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
解析：∵质量不少于120克的频数为14，∴频率为×100%＝70%.
答案：70
15．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲____________，乙____________，丙____________．
解析：甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数为＝8；
丙：该组数据的中位数是＝8.
答案：众数　平均数　中位数
16．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3
000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1
300
样本量
130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
解析：抽样比130∶1
300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A产品的样本量比C产品的多10，故A产品比C产品多100件，故(3
000－1
300－100)＝800(件)为C产品数量．
答案：800
17．某同学10次测评成绩的数据如下：2,2,3,4,10＋x，10＋y，19,19,20,21.已知成绩的中位数为12，若要使标准差最小，则4x＋2y的值是________．
解析：由题意可知，成绩的中位数为12，所以＝12，故x＋y＝4，平均数为(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使标准差最小，即方差最小，只需使(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2最小即可．又(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2＝(x－1.4)2＋(y－1.4)2≥＝0.72，当且仅当x－1.4＝y－1.4时取等号，故x＝y＝2时，标准差最小．此时4x＋2y＝12.
答案：12
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到统计图如图所示．
(1)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
解：(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×＝40(人)．
a＝1－0.10－0.35－0.25－0.15－0.10＝0.05，b＝1－0.10－0.20－0.30＝0.40.
(2)指标检测值不低于5的样本中，
有患病者40×(0.30＋0.40)＝28(人)，未患病者60×(0.10＋0.05)＝9(人)，共37人．
此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为×85
000＝31
450(人)．
19．(本小题满分14分)为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组
频数
频率
一
[60.5,70.5)
a
0.26
二
[70.5,80.5)
15
c
三
[80.5,90.5)
18
0.36
四
[90.5,100.5]
b
d
合计
50
e
(1)求a，b，c，d，e的值；
(2)作出频率分布直方图．
解：(1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频数是b＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5)内的频率是c＝＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率是d＝＝0.08，频率和e＝1.00.
(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．
20．(本小题满分14分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们命中的环数如下表：
甲
9
6
7
6
2
7
7
9
8
9
乙
2
4
6
8
7
8
9
7
9
10
赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？
解：为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示：
平均环数
方差
中位数
命中10环次数
甲
7
4
7
0
乙
7
5.4
7.5
1
规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．
规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．
规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．
以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，那么就不需要先看平均环数了．
21．(本小题满分14分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
25
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．
解：(1)由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25知，
＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，
解得m＝3.
故p＝＝0.075.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
所以a＝＝0.125.
(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，
所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90(人)．
22.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明：(1)在正三棱柱ABC?A1B1C1中，
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
23．(本小题满分14分)
甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：
(1)填写下表：
平均数
中位数
命中9环以上
甲
7
________
1
乙
________
________
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①结合平均数和方差，分析偏离程度；
②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；
③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些；
④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．
解：(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，
∴中位数为7环．
乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，
∴乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)．
乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，
∴中位数是＝7.5(环)．
于是填充后的表格，如表所示：
平均数
中位数
命中9环以上
甲
7
7
1
乙
7
7.5
3
(2)s＝[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，
s＝[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4.
①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．
③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
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精品试卷·第
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