河北省衡水中学2012届高三下学期二调考试（数学理）

2011—2012学年度下学期二调考试
高三理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知，, ,则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知为实数，条件p：2<，条件q：≥1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知等差数列1，，等比数列3，，则该等差数列的公差为 （ ）
A．3或 B．3或 C．3 D．
4．定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，
是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如右框图，当x1=6,x2=9,p=8.5时，x3等于（ ）
A．11
B．10
C．8
D．7
6. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
A.13,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,123
7.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ）
A. B. C. D.
8.　 已知函数的图象与直线y = b (0B.
C. D. 无法确定
9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为，又(A)表示集合的元素个数，A={|2 ++3=1，∈R}，则(A)=4的概率为（ ）
A. B． c． D．
10.　 设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若·=6， △OAB的重心是G，则|| 的最小值是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
11.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
12.　已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝( )
A． B． C．45 D．55
第Ⅱ卷?
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、　填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设函数，则的值为________.
14.正四面体ABCD的外接球的球心为0,E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切
值为 .
15．已知曲线在点（）处的切线斜率为-2，且是的极值点，则a-b= .
16.关于有以下命题：
①若则； ②图象与图象相同；
③在区间上是减函数； ④图象关于点对称。
其中正确的命题是 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17.　（本小题满分12分）
设数列{}的前n项和满足:＝n－2n（n－1）．等比数列{}的前n项和为，公比为，且＝＋2．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为，求证：≤<．
18.　（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F分别是BC,PC的中点。
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E-AF-C的余弦值．
19.（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中
①摸出3个白球的概率；②获奖的概率。
(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(x)。
20.　（本小题满分12分）
已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
21.　（本小题满分12分）
设， ．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22.　（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．
（I）求证：直线是⊙的切线；
（II）若⊙的半径为，求的长．
23.　（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ-sinθ)=6.
（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
24.　（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。
2011—2012学年度下学期二调考试答案 理科数学
一、选择题?
1.D　2.A　3.C　4.A　5.C　6.B　7.C　8.C　9.D　10.B　11.A　12. C
6.解析：观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选B
二、填空题?
13. 　 14. 　 15. 10　 16. ②③④
三、解答题
18.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），
所以?=（，-1，-a），且?=(，0，0）为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，
由sinθ=|cos＜?，?＞|===……8分
解得a=2 所以?＝（,0,0），?＝（，，1）
设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1)，则，因此取z1=-1，则m=(0,2,-1),……10分 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），
所以cos＜m,＞=.
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.……12分
　19.（1） ① 设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件（i = 0 , 1, 2, 3）, 则
P() = ……………………3分
② 设“在1次游戏中获奖为事件B” 则B =
又P() = 且 , 互斥，
所以………………6分
（2）由题意可知X的所有可能取值为0， 1，2
所以x 的分布列是
x 0 1 2
P
X的数学期望是E(X) = …………………………12分
20.解：（Ⅰ）由题意知e==，所以e2===．即a2=b2．
又因为b==，所以a2=4，b2=3．故椭圆的方程为=1.…4分
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．
由,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0． ①…6分
设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,-y1)．直线AE的方程为y-y2=(x-x2)．令y=0，得x=x2-．将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，
整理，得x=． ②…8分
由①得x1+x2=，x1x2=…10分 代入②整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．……12分
　21.　 解：（1）当时，，，，，
所以曲线在处的切线方程为； 4分
（2）存在，使得成立
等价于：，
考察， ，
递减 极（最）小值 递增
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数； 8分
3）当时，恒成立，等价于恒成立，
记，， 。
记，，由于，
, 所以在上递减，又h/（1）=0，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以。 12分
（3）另解：对任意的，都有成立
等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在区间上，的最大值为。
，下证当时，在区间上，函数恒成立。
当且时，，
记，，
当，；当，
，
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
，即，
所以当且时，成立，
即对任意，都有。 12分
23.　解：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0.
∵C2：（=1　∴C2：的参数方程为：（θ为参数）……5分
（Ⅱ）设P（cosθ，2sinθ），则点P到l的距离为：
d=，
∴当sin(60°-θ)＝-1即点P（-,1）时，此时dwax=[=2……10分
A
C
B
E
O
D
17.