北师大版2021年八年级下册第五章《分式与分式方程》章末题型分类训练卷（Word版含解析）

北师大版2021年八年级下册第五章《分式与分式方程》章末题型分类训练卷
一．分式方程的定义
1．下列方程是分式方程的是（　　）
A． B． C．x2﹣1＝0 D．2x+1＝3x
2．下列方程中，是分式方程的是（　　）
A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1
3．下列关于x的方程是分式方程的为（　　）
A．﹣x＝ B．＝1﹣
C．+1＝ D．＝
4．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．﹣3＝ B．﹣﹣
C．＝3﹣x D．＝1
5．下列关于x的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．分式的方程的解
6．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　 　．
7．若关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是　 　．
8．若关于x的方程＝+1无解，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或2
9．已知关于x的分式方程+﹣1＝0有整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣8
三．解分式方程、换元法
11．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
12．解分式方程：﹣＝．
13．解分式方程：﹣＝1．
14．解分式方程：﹣1＝．
15．解分式方程：．
16．用换元法解分式方程x2﹣x+＝1时，如果设x2﹣x＝y，则原方程可化为关于y的整式方程是（　　）
A．y2+2y+1＝0 B．y2+2y﹣1＝0 C．y2﹣y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
17．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
18．已知实数x满足x2++x﹣＝4，则x﹣的值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1
19．已知方程，如果设，那么原方程可以变形为　 　．
20．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．
四．分式方程的增根
21．若关于x的方程有增根，则k的值为（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
22．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝0或m＝3 D．m＝3
23．若关于x的方程＝有增根，则m的值与增根x的值分别是（　　）
A．m＝﹣4，x＝2 B．m＝4，x＝2 C．m＝﹣4，x＝﹣2 D．m＝4，x＝﹣2
24．关于x的方程：﹣＝1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
25．m为何值时，关于x的方程 +＝会产生增根？
五．由实际问题抽象出分式方程
26．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
27．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
28．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．＝
B．＝
C．+1＝﹣
D．+1＝+
29．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（　　）
A．＝+ B．＝﹣
C．＝+ D．＝﹣
30．甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为　 　．
31．甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？
32．学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
33．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度．
34．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
35．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
36．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
37．某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完，由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售，卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余的20件以售价的九折全部出售．问：
（1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？
（2）两次出售服装共盈利多少元？
38．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
39．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
40．“阅读陪伴成长，书香润泽人生．”某校为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同．
（1）求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
（2）根据学校实际情况，需从书店一次性购买A、B两类图书共300册，购买时得知：一次性购买A、B两类图书超过100册时，A类图书九折优惠（B类图书按原价销售），若该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元，那么最多可以购买多少本A类图书？
参考答案
一．分式方程的定义
1．解：A、该方程属于一元一次方程，不符合题意．
B、该方程属于分式方程，符合题意．
C、该方程属于一元二次方程，不符合题意．
D、该方程属于一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
2．解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
C、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：B．
4．解：A、C选项项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B选项不是方程．
D选项中的方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：D．
5．解：关于x的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程；
关于x的方程①，④中，分母中不含未知数，故不是分式方程．
综上所述，是分式方程的有②、③，共2个．
故选：C．
二．分式的方程的解
6．解：分式方程去分母得：2x﹣m＝x﹣1，
解得：x＝m﹣1，
由分式方程的解为正数，得到m﹣1＞0，且m﹣1≠1，
解得：m＞1且m≠2，
故答案为：m＞1且m≠2．
7．解：去分母得：2x+a＝x+1，
解得：x＝1﹣a，
由解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，
解得：a＞1且a≠2，
故答案为：a＞1且a≠2
8．解：方程去分母得：ax＝4+x﹣2
解得：（a﹣1）x＝2，
∴当a﹣1＝0即a＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
当a≠1时，x＝
x＝2时分母为0，方程无解，
即＝2，
∴a＝2时方程无解．
故选：C．
9．解：分式方程去分母得：1﹣ax﹣3﹣2+x＝0，即（1﹣a）x＝4，
由分式方程有整数解，得到1﹣a≠0，
解得：x＝，
不等式组整理得：，即﹣3≤x＜，
由不等式组有且只有3个整数解，得到﹣1＜≤0，
解得：﹣1＜a≤，
由x为整数，且≠2，得到1﹣a＝±1，﹣2，±4，
解得：a＝0，
则符合条件的所有整数a的个数为1，
故选：A．
10．解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到﹣5≤x＜a，
解得：a＞﹣5，
，
分式方程去分母得：ax﹣x+2＝﹣3x，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0，解得a≤1，
当a＝﹣1时，x＝1（不合题意舍去）
∴﹣5＜a≤1，
∵a为整数，
∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，0，1，
则满足题意的整数a的值的和是﹣2﹣3﹣4+0+1＝﹣8．
故选：D．
三．解分式方程、换元法
11．解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
12．解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，
去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，
移项合并得：﹣3x＝0，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
13．解：﹣＝1
（x+1）2﹣4＝x2﹣1
x2+2x+1﹣4＝x2﹣1
x＝1，
检验：把x＝1代入x2﹣1＝1﹣1＝0，
∴x＝1不是原方程的根，原方程无解．
14．解：原方程变形为：﹣1＝，
方程两边同乘以3（x+1），得3x﹣3x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣1.5，
经检验，x＝﹣1.5是原方程的根．
15．解：＝方程的两边同乘（x﹣1）（x﹣3）得，
2（x﹣1）＝x﹣3解得，
x＝﹣1
检验：把x＝﹣1代入（x﹣1）（x﹣3）≠0
∴原方程的解为：x＝﹣1
16．解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1+＝0，
两边都乘以y，得
y2﹣y+2＝0，
故选：C．
17．解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
18．解：x2+﹣2+x﹣﹣2＝0
∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2＝0
解得x﹣＝﹣2或1．
经检验，x﹣＝1和x﹣＝﹣2均有实数根．
所以x﹣＝﹣2或1．
故选：D．
19．解：根据题意得：设，
则＝，
∴原方程可变为；
故答案为．
20．解：根据等式的性质原方程可整理为x2﹣3x++4＝0．
把y＝x2﹣3x代入可得y++4＝0，
去分母得y2+4y+3＝0．
四．分式方程的增根
21．解：方程两边都乘x﹣1，
得：3＝x﹣1+k，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，k＝3．
故k的值为3．
故选：A．
22．解：方程两边都乘x﹣4，
得3﹣（x+m）＝x﹣4，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，3﹣（4+m）＝4﹣4，
m＝﹣1，
故选：B．
23．解：去分母得：x+2＝m，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝4，
则m的值与增根x的值分别是m＝4，x＝2，
故选：B．
24．解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
25．解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10＝0，
∵关于x的方程 +＝会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2 或x＝2，
∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，
∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．
五．由实际问题抽象出分式方程
26．解：若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
27．解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
28．解：设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：+1，
∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，
∴+1＝﹣，
故选：C．
29．解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得：＝+，
故选：A．
30．解：顺流所用的时间为：，逆流所用的时间为：．所列方程为：＝9．
31．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，
根据题意得：，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝18．
答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．
32．解：设规定日期为x天，
根据题意，得2（+）+×（x﹣2）＝1
解这个方程，得x＝6
经检验，x＝6
是原方程的解．
∴原方程的解是x＝6．
答：规定日期是6天．
33．解：设前一小时的行驶速度为xkm/h，根据题意可得：
+1＝﹣，
解得：x＝60，
检验得：x＝60是原方程的根，
答：前一小时的行驶速度为60km/h．
34．解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
35．解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，
根据题意，可得：，
解得：x＝360，
经检验x＝360是原方程的根，
1.5×360＝540（元），
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；
（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，
根据题意，可得：360m+540（50﹣m）≤21000，
解得：m≥33，
因此，A种型号健身器材至少购买34套．
36．解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米，
由题意，得﹣＝2．
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每天铺设管道60米．
37．解：（1）设第一次购买了此种服装x件，那么第二次购进2x件，
依题意得，
解之得x＝30，
经检验x＝30是方程的解，
答：第一次购买了此种服装30件；
（2）∵第一次购买了此种服装30件，盈利46×30﹣960＝420元；
∴第二次购买了此种服装60件，46×（60﹣20）+46×0.9×20﹣2220＝448元；
∴两次出售服装共盈利420+448＝868元．
38．解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．
（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
39．解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
40．解：（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x﹣5）元，根据题意可得：
，
解得：x＝20，
经检验x＝20是方程的解，所以x﹣5＝20﹣5＝15，
答：每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；
（2）设该校A类图书y本，则B类图书（300﹣y），
根据题意可得：20×90%y+15×（300﹣y）≤5100，
解得：y≤200，
答：最多可以购买200本A类图书．