第七章 复数 单元测试B卷（含解析）

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高一数学必修二 第七章 复 数B卷
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　　)
A．1－i　　　　　　　　 B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
2．(2019·山西晋城二模)若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B. 2
C. 3 D．－3
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2019·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a∥b B．θ＝0
C．θ＝ D．θ＝π
5．设i是虚数单位，复数(a＋i)·(1＋2i)为纯虚数，则实数a为(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
6．(2019·湖南长沙一中一模)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1,2)，B(－1,3)，则的虚部为(　　)
A．1 B．－i
C．i D．－
7．(2019·宜宾高三第三次诊断性考试)欧拉公式：eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
8．(2019·厦门二模)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
9．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
12．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是(　　)
A．z<|z2|2
B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R
D.∈R
13．设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　　)
A．z为纯虚数
B．z的虚部为－i
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限
D．|z|＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
16．(2019·天津高考)i是虚数单位，则的值为________．
17．设复数z＝2 018＋2 019，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________.
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
19．(本小题满分14分)计算：(1)＋2 020；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
20．(本小题满分14分)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为.求m的值．
21．(本小题满分14分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
22．(本小题满分14分)给定两个单位向量，，且·＝－，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，＝x＋y(x，y∈R)．求x－y的最小值．
23．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
高一数学必修二 第七章 复 数B卷
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　　)
A．1－i　　　　　　　　 B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
解析：选B　(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.故选B.
2．(2019·山西晋城二模)若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B. 2
C. 3 D．－3
解析：选D　∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴解得m＝－3.故选D.
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．故选C.
4．(2019·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a∥b B．θ＝0
C．θ＝ D．θ＝π
解析：选B　＝等价于非零向量a与b同向共线．即θ＝0.故选B.
5．设i是虚数单位，复数(a＋i)·(1＋2i)为纯虚数，则实数a为(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选B　∵复数(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i为纯虚数，
∴解得a＝2.故选B.
6．(2019·湖南长沙一中一模)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1,2)，B(－1,3)，则的虚部为(　　)
A．1 B．－i
C．i D．－
解析：选D　由复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，B(－1,3)，得z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，则＝＝＝＝＝－i.所以的虚部为－.故选D.
7．(2019·宜宾高三第三次诊断性考试)欧拉公式：eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选B　由eix＝cos x＋isin x，得＝2＝i2＝－1.故选B.
8．(2019·厦门二模)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选C　i为虚数单位，＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝a＋bi，根据复数相等得到所以ab＝＝.故选C.
9．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选C　由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：选C　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，
∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与对应的点关于实轴对称．∴C项正确．故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选ABD　设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，
对于A，z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；
对于B，z2<0，则a＝0，且b≠0，所以z是虚数；所以B为真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题；
对于D，z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0是真命题．故选A、B、D.
12．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是(　　)
A．z<|z2|2
B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R
D.∈R
解析：选BC　z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)．
z<|z2|2；z＝a2－b2＋2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝＋i不一定是实数，因此D不一定正确．故选B、C.
13．设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　　)
A．z为纯虚数
B．z的虚部为－i
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限
D．|z|＝
解析：选ABC　∵z＋1＝zi，设z＝a＋bi，则(a＋1)＋bi＝－b＋ai，
∴解得
∴z＝－－i.
∴|z|＝，复数z的虚部为－.故选A、B、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为其实部为0，故a＝2.
答案：2
15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
16．(2019·天津高考)i是虚数单位，则的值为________．
解析：法一：∵ ＝＝2－3i，
∴ ＝|2－3i|＝＝.
法二：＝＝＝＝.
答案：
17．设复数z＝2 018＋2 019，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________.
解析：∵＝＝－i，＝＝i，
∴z＝2 018＋2 019＝(－i)2 018＋i2 019＝i2＋i3＝－1－i，
∴＝－1＋i，则的虚部为1，|z|＝.
答案：1　
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解：∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，x，y∈R，
∴解得
∴实数x，y的值分别为，2.
19．(本小题满分14分)计算：(1)＋2 020；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：(1)＋2 020＝＋1 010
＝i(1＋i)＋1 010＝－1＋i＋(－i)1 010
＝－1＋i－1＝－2＋i.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
20．(本小题满分14分)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为.求m的值．
解：∵a·b＝0，∴|a＋b|＝|a－b|，∵|a＋b|＝m|a|，
∴(a＋b)2＝m2a2，∴b2＝(m2－1)a2.
又a＋b与a－b的夹角，∴＝cos，
∴＝＝＝－.
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
21．(本小题满分14分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：因为z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝ ，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1,7)．
22．(本小题满分14分)给定两个单位向量，，且·＝－，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，＝x＋y(x，y∈R)．求x－y的最小值．
解：∵，是两个单位向量，且·＝－，
∴∠AOB＝，建立如图所示的坐标系，
则A(1,0)，B，即B，
设∠AOC＝α，
则＝(cos α，sin α)，∵＝x＋y，
∴(cos α，sin α)＝，
则
∴
∴x＝x＝(cos α＋sin α)－2sin α
＝cos α＋sin α＝2sin，
∵0≤α≤，
∴≤α＋≤，
∴sin∈，∴x－y∈[－1,2]，
∴x－y的最小值为－1.
23．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
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