课后素养落实(一) 集合的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10
cm的三角形
B [因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．]
2．(多选题)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．π
C．
D．
BD [由题意知a应为无理数，故a可以为，也可以为π.]
3．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
A [N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2?N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.]
4．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是( )
A．3∈A且－3?A
B．3∈A且－3∈A
C．3?A且－3?A
D．3?A且－3∈A
D [∵3－1＝2>，∴3?A，又－3－1＝－4<，
∴－3∈A.]
5．(多选题)设不等式x－a>0的解集为集合P，若2?P，则a的取值可能是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
BCD [因为2?P，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.故
所以实数a的取值可能是2,3,4.]
二、填空题
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B由奇数组成的．若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或?)
? ∈ [∵a是偶数，b是奇数．∴a＋b是奇数，ab是偶数．
故a＋b?A，ab∈A.]
7．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1,5)与集合P的关系是________，点(2,6)与集合P的关系是________．
(1,5)∈P (2,6)?P [点(1,5)在直线y＝2x＋3上，
点(2,6)不在直线y＝2x＋3上．]
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
6 [∵x∈N,2三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
[解] ∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
[解] (1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.
1．(多选题)已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值组成的集合为M，则M中的元素可能为( )
A．1
B．3
C．－1
D．－3
BC [①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1,3.]
2．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M
B．0∈M
C．－1∈M
D．－2∈M
C [由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.
所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
故方程的另一根为－1.选C.]
3．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
x≠0,1,2， [由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.]
4．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“?”)
[答案] ∈ ∈
设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a∈A，则∈A.
∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中还有另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．课后素养落实(二) 集合的表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)已知集合A＝{x|x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是( )
A．0∈A
B．1.5?A
C．－2?A
D．6∈A
ABC [A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}∴A、B、C均正确．]
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
B [方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．]
3．下列各组集合中，满足P＝Q的是( )
A．P＝{(1,2)}，Q＝{1,2}
B．P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}
C．P＝{1,2,3}，Q＝{3,2,1}
D．P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}
C [A中P为坐标，Q为数．
B中P，Q都是坐标，但两坐标不同．
C中P＝Q.
D中P为直线y＝x－1上点的坐标，而Q表示直线y＝x－1上点的纵坐标．]
4．不等式|8－2x|>0的解集是( )
A．?
B．R
C．{x|x≠4}
D．{4}
C [由|8－2x|>0可知，8－2x≠0.即x≠4.故不等式的解集为{x|x≠4}．]
5．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
D [由得，又交点组成的集合为点集，所以选D.]
二、填空题
6．集合A＝{x|x＝2n－3，n∈N
，n<5}，用列举法表示为________．
{－1,1,3,5} [集合中的元素满足x＝2n－3，n∈N
，n<5.则满足条件的x值为n＝1，x＝－1，n＝2，x＝1，n＝3，x＝3，n＝4，x＝5，则集合A＝{－1,1,3,5}．]
7．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4,7}，若A＝B，则x＋y＝________.
－5或－ [∵A＝B，∴或解得或∴x＋y＝－5或－.]
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则a＝________.设集合B＝{x|x2＋ax＋3＝0}，则集合B＝________.
－4 {1,3} [由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根．所以(－5)2＋5a－5＝0得a＝－4.则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0.解得x＝1或x＝3，所以集合B＝{1,3}．]
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
[解] (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){a|a是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3)．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}．若A＝{－3,1}．试用列举法表示集合B.
[解] 将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0，
因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3,1，由根与系数的关系得，
解得所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B的方程并整理，得x2＋6x－3＝0.
解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．
1．(多选题)设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有( )
A．a∈A
B．－a∈A
C．a2∈A
D．a2＋1∈A
ABC [由题意，当k＝2时，x＝5，当k＝－3时，x＝－5，当k＝12时，x＝52＝25，a2＋1＝26?A.]
2．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2
020＋b2
020的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．0或1
B [由题知 (1)或 (2)
解(1)得此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．解(2)得a＝－1或1(舍)，此时b＝0，
∴a2
020＋b2
020＝1.]
3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．
4 [1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．]
4．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
不是 [由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．]
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(4)若A＝?，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为?；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．故当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当A中有两个元素时，a≠0且Δ>0，得a<1且a≠0，结合(1)可知，a≤1.
(4)A＝?时，由(2)知，a>1.课后素养落实(三) 子集、真子集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．空集是任何集合的真子集
B．若AB，BC，则AC
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．?＝{0}
B [空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，{0}中有一个元素0.]
2．集合{1,2}的子集有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A [集合{1,2}的子集有?，{1}，{2}，{1,2}共4个．]
3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N
B．N
M
C．M
N
D．N?M
C [解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M?N.又因为0∈N但0?M，所以M
N.]
4．(多选题)已知集合M＝{x|－A．P＝{－2,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤
，x∈N}
AD [集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，集合Q中2?M，
集合R中的元素－3?M，A、D正确．]
5．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P－Q＝{x|x＝p—q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32
B．31
C．30
D．29
B [由所定义的运算，知P－Q＝{1,2,3,4,5}．则P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.]
二、填空题
6．集合A＝{x|1{a|a≥6} [∵A＝{x|1]
7．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
6 [集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．]
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若?A，则实数a的取值范围为________．若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
－1≤a≤1 {0，－1,1} [因为A，所以A≠?，所以ax2＋2x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝4－4a2≥0，得－1≤a≤1.若集合A有且仅有2个子集，则A中仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0仅有一个根．当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，?，符合题意．当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，得a＝±1，当a＝1时，集合A的两个子集为{－1}，?，符合题意；当a＝－1时，集合A的两个子集为{1}，?.∴a＝0或a＝±1.]
三、解答题
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
[解] 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
[解] (1)若AB，由图可知，a>2.
故实数a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
1．(多选题)已知非空集合M满足：①M?{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M，则满足上述要求的集合M有( )
A．{－1,1,2,4}
B．{1，－2,2,4}
C．{－1,1}
D．{1}
CD [对于A，若M＝{－1,1,2,4}，其中4∈M，则42?M，B中4∈M,42?M.C中对任意x∈M，则x2∈M，D中也满足．]
2．集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N
B．M
N
C．M
N
D．M与N没有相同元素
C [∵＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，∴M
N.]
3．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
M＝P
S [M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，∴M?P，
同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，∴P?M，
∴M＝P.
S中的z＝3×(2m)＋1，∵2m∈偶数，∴SP＝M.]
4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝________.若集合B满足{0}B?A，则集合B＝________.
{－1,0} {－1,0} [∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0}，
∵集合B满足{0}B?A，
∴集合B＝{－1,0}．]
已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A?B成立，求出对应的实数对(a，b)．
[解] (1)对于任意实数b都有A?B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4)，
∴或
解方程组可知无解．
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B.
(2)由(1)易知，若A?B，
则或
或或
解得或
或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．课后素养落实(四) 全集、补集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|1A．?
B．{1,2,5}
C．{1,5}
D．{1,4,5}
C [由于12．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，则实数a＝( )
A．3
B．5
C．7
D．8
D [由题知a－5＝3，a＝8.]
3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵?U(?UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.]
4．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则?UP等于( )
A．{x|0≤x<1或x>1}
B．{x|x<1}
C．{x|x<1或x>1}
D．{x|x>1}
A [因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}．所以?UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]
5．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合的个数是( )
A.
4
B．
5
C.
6
D．
7
D [依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有3个．而S＝{1,2,3,4,5}的三个元素的子集有10个，所以含“孤立元”的集合共有7个．故选D.]
二、填空题
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．则?UA与?UB的包含关系是________．
?UA?UB [由题意?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故?UA?UB.]
7．已知全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．则集合B＝________，?AB＝________.
{－2，－1} {0,1,2} [全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．
∴?AB＝{0,1,2}．]
8．已知全集U＝{2,
0,
3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，则实数a的值为________．
2 [由已知，得－1∈U，且－1?P，因此解得a＝2.
当a＝2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，?UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2.]
三、解答题
9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}．且集合A、B均是U的子集．
(1)若?U(?UB)＝{0,1}，求实数a的值；
(2)若?UA＝{3,4}，求实数a的值．
[解] (1)∵?U(?UB)＝{0,1}，
∴B＝{0,1}，且B?U，
∴得a无解；
或得a＝2.
∴a＝2.
(2)∵?UA＝{3,4}，
又?UA?U，
∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，
∴a＝4或a＝－2或a＝.
经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．
∴所求实数a的值为－2或.
10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1[解] 由题意知，?UB＝{x|x≥3或x≤－1}．
(1)若A?UB，且A≠?时，则3m－1≥3或2m≤－1，
∴m≥或m≤－.
又A≠?，
∴3m－1<2m，
∴m<1，即m≤－.
(2)若A＝?，则3m－1≥2m，得m≥1.
综上所述，m≤－或m≥1.
1．(多选题)已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若?RA?C，则a的可能取值为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
AC [由题知?RA＝{x|－1≤x≤5}，要使?RA?C，则a<－1，故选AC.]
2．设全集U和集合A，B，P，满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是( )
A．A＝P
B．A?P
C．P?A
D．A≠P
A [由A＝?UB，得?UA＝B.
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA，
即A＝P.]
3．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则?UA＝________.
{2} [若x＝2，则x2－2＝2与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则?UA＝{2}．]
4．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．
{1} [阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．
由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．∴?AC＝{1}．]
对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
[解] (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．课后素养落实(五) 交集、并集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4}
B．{1,2,3}
C．{2,3,4}
D．{1,3,4}
A [∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．故选A.]
2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．
∴A∩B中元素的个数为2.故选B.]
3．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则集合A∩?UB＝( )
A．{1,2,5,6}
B．{1}
C．{2}
D．{1,2,3,4}
B [∵U＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,3,4}，∴?UB＝{1,5,6}．又∵A＝{1,2}，∴A∩?UB＝{1}．]
4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，2]
B [∵A∪B＝A，即B?A，∴实数m的取值范围为[2，＋∞)．]
5．(多选题)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A、B是U的两个子集，且满足A∪B＝U，A∩(?UB)＝{1,4}．(?UA)∩B＝{5,6,7}，则( )
A．2∈A
B．2?B
C．A∩B＝{2,3}
D．A∪(?UB)＝{1,2,3,4}
ACD [∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A、B是U的两个子集．
满足A∪B＝U，A∩(?UB)＝{1,4}，(?UA)∩B＝{5,6,7}，
∴A∩B＝{2,3}，故C正确，∴A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,5,6,7}，
∴2∈A，故A正确；2∈B，故B错误；A∪(?UB)＝{1,2,3,4}，故D正确．]
二、填空题
6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
{1,3} [A∩B＝{1,2,3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}
＝{1,2,3}∩{1,3,5}
＝{1,3}．]
7．若集合A＝{x|－1R {x|－1A∪B＝R，A∩B＝{x|－18．已知集合A＝{x|xa≥2 [?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图，要使A∪(?RB)＝R，则B?A，故a≥2.
]
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．
[解] 因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．
又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，
所以B＝{2,3}．
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
10．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤a－2或x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2}．
(1)若a＝0，求(?UM)∩(?UN)；
(2)若M∩N＝?，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，M＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以?UM＝{x|－2＜x＜3}，?UN＝{x|x＜－1或x＞2}，
所以(?UM)∩(?UN)＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}．
(2)若M∩N＝?，则解得－1＜a＜1.
故当M∩N＝?时，实数a的取值范围是{a|－1＜a＜1}．
1．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意，故选B.]
2．(多选题)已知全集U＝R，集合A、B满足AB，则下列选项正确的有( )
A．A∩B＝B
B．A∪B＝B
C．(?UA)∩B＝?
D．A∩(?UB)＝?
BD [如图所示，∵全集U＝R，集合A，B满足AB，
则A∩B＝A，A∪B＝B，(?UA)∩B≠?，A∩(?UB)＝?.故选BD.]
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，集合B＝{x|x<1}．则集合(?UA)∩(?UB)＝________，集合(?UA)∪B＝________.
{x|x≥2} {x|x<1或x≥2} [∵A＝{x|x<2}，B＝{x|x<1}，U＝R，
∴?UA＝{x|x≥2}，?UB＝{x|x≥1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x≥2}，
(?UA)∪B＝{x|x<1或x≥2}．]
4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合{1,2,3}的不同分拆种数是________．
27 [若A1＝?，则A2＝{1,2,3}；
若A1＝{1}，则A2＝{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{2}，则A2＝{1,3}或{1,2,3}；
若A1＝{3}，则A2＝{1,2}或{1,2,3}；
若A1＝{1,2}，则A2＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{2,3}，则A2＝{1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}；
若A1＝{1,3}，则A2＝{2}或{1,2}或{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{1,2,3}，则A2＝?或{1}或{2}或{3}或{1,2}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，共有27种不同的分拆方法．]
已知集合A＝{x|x5}．
(1)若a＝－2，求A∩?RB；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
[解] (1)∵B＝{x|x<－1或x>5}，∴?RB＝{x|－1≤x≤5}，
当a＝－2时，A＝{x|x<1}，因此，A∩?RB＝{x|－1≤x<1}．
(2)∵A∩B＝A，∴A?B，又A＝{x|x5}．
∴a＋3≤－1，解得a≤－4.
因此，实数a的取值范围是{a|a≤－4}．章末综合测评(一) 集合
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B
B．A∩B＝?
C．AB
D．BA
D [因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1?B，所以BA.]
2．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于( )
A．{－2}
B．{2}
C．{－2,2}
D．?
A [∵A＝{x|x＋2＝0}，∴A＝{－2}．
∵B＝{x|x2－4＝0}，∴B＝{－2,2}．
∴A∩B＝{－2}．故选A.]
3．满足{1}?X
{1,2,3,4}的集合X有( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
D [集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．]
4．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥－1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
B [由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}，∴A∪(?RB)＝{x|x≥－1}．]
5．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3
B．6
C．8
D．10
D [由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B有10个元素．]
6．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x∈A且－x∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由于集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x∈A且－x∈A}，
∵－1∈A且1∈A,0的相反数是0,0∈A，∴－1∈B,1∈B,0∈B.
∴B＝{－1,0,1}，
故B中元素个数为3个．]
7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．(－∞，2]
B．(2,4]
C．[2,4]
D．(－∞，4]
D [∵B?A，
∴①B＝?时，即m＋1≥2m－1；
∴m≤2；
②B≠?时，有
∴2综上得，m≤4.]
8．向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．那么，对A，B都赞成的学生数是( )
A．20
B．21
C．30
D．33
B [赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M；赞成事件B的学生全体为集合N.设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1.赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，解得x＝21.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则( )
A．A∩B＝{0,1}
B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0,1,3,4}
D．集合A的真子集个数为8
AC [∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，
∴A∩B＝{0,1}，故A正确，
?UB＝{2,4}，故B错误，
A∪B＝{0,1,3,4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23－1＝7，故D错误．]
10．集合A＝{2,0,1,7}，B＝{x|x2－2∈A，x－2?A}，则集合B可以为( )
A．{2}
B．{－3}
C．{}
D．{－}
BCD [由x2－2∈A，可得x2＝4,2,3,9，即x＝±2，±，±，±3.
又x－2?A，所以x≠2，x≠3，故x＝－2，±，±，－3.
因此，集合B＝{－2，－，，－，，－3}．
所以，BCD都正确，故选BCD.]
11．已知集合P＝{x|－2?RQ＝P恒成立，则集合M可以为( )
A．(－∞，－3]
B．[6，＋∞)
C．{8，－8}
D．(－∞，－3]∪(6，＋∞)
ACD [要使得P∩?RQ＝P，必有P??RQ，即Q??RP＝{x|x≤－2或x>5}，
即k＋1≤－2或k－1>5，所以k≤－3或k>6时，P∩?RQ＝P恒成立，故选ACD.]
12．已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝?
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪?RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩?RB＝{x|2BD [∵A＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－1∵?RB＝{x|x<－2或x>2}，
∴A∪?RB＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，故C不正确；
A∩?RB＝{x|－12}＝{x|2∴正确的是BD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知集合A?C，其中C＝{x|16 [C＝{2,3,5,7}．A?C，因为A含有两个元素，
所以A＝{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,5}，{3,7}，{5,7}，共6个．
故答案为6.]
14．设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}且B?A，则a＝________.
－1或4 [∵集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}且B?A，
∴a2－3a＋4＝a，或者a2－3a＋4＝8，
当a2－3a＋4＝a时，a＝2，此时与A中已有元素2矛盾，不满足互异性，舍去．当a2－3a＋4＝8时，a＝－1或4，当a＝－1时，A＝{2,8，－1}，B＝{2,8}，符合题意；当a＝4时，A＝{2,8,4}，B＝{2,8}，符合题意；故a＝－1或4.]
15．设全集U＝{x|x<5，x∈N
}，集合A＝{1,3}，B＝{3,4}，则?U(A∪B)＝________.?A∪B(A∩B)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
{2} {1,4} [∵集合A＝{1,3}，B＝{3,4}，
∴A∪B＝{1,3,4}，A∩B＝{3}，
∵全集U＝{x|x<5，x∈N
}，
∴U＝{1,2,3,4}，
∴?U(A∪B)＝{2}，?A∪B(A∩B)＝{1,4}．]
16．已知集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B?A，则实数m组成的集合为________．
[因为A＝{x|x2－5x－6＝0}＝{6，－1}，且B?A，所以B＝
{－1}或B＝{6}或B＝?，
当B＝{－1}时，－m＋1＝0?m＝1；
当B＝{6}时，6m＋1＝0?m＝－；
当B＝?时，m＝0.
所以综上可得，实数m组成的集合为.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{a,2,2a－1}．
(1)求集合A；
(2)若A?B，求实数a的值．
[解] (1)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}．
(2)若A?B，即{2,3}?{a,2,2a－1}．
所以a＝3，或2a－1＝3.
当a＝3时，2a－1＝5，B＝{3,2,5}，满足A?B.
当2a－1＝3时，a＝2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
综上，a＝3.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－7x＋6＜0}，B＝{x|4－t＜x＜t}，R为实数集．
(1)当t＝4时，求A∪B及A∩?RB；
(2)若A∩B＝A，求实数t的取值范围．
[解] (1)由x2－7x＋6<0得1当t＝4时，B＝(0,4)，?RB＝(－∞，0]∪[4，＋∞)，
所以A∪B＝(0,6)，A∩?RB＝[4,6)．
(2)由A∩B＝A得A?B，
所以
所以t≥6，实数t的取值范围为[6，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.
(1)当a＝2时，求A∪B和(?UA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R，
∴A∪B＝{x|－2≤x≤7}，
(?UA)∩B＝{x|－2≤x<1}．
(2)∵集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，A∩B＝A，
∴A?B，
当A＝?时，a－1>2a＋3，解得a<－4，
当A≠?时，，解得－1≤a≤.
综上，实数a的取值范围是.
20．(本小题满分12分)已知集合A＝{3,4，m2－3m－1}，B＝{2m，－3}，若A∩B＝{－3}，求实数m的值并求A∪B.
[解] 因为A∩B＝{－3}，所以－3∈A.
又A＝{3,4，m2－3m－1}，
所以m2－3m－1＝－3，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，B＝{2，－3}，A＝{3,4，－3}，满足A∩B＝{－3}，
所以A∪B＝{－3,2,3,4}．
当m＝2时，B＝{4，－3}，A＝{3,4，－3}，不满足A∩B＝{－3}，舍去．
综上知m＝1，A∪B＝{－3,2,3,4}．
21．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．
[解] 根据题意，集合A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
若A∩B＝B，则B是A的子集，
且B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解集，
分4种情况讨论：
①B＝?，Δ＝[2(a＋1)]2－4(a2－1)＝8a＋8<0，即a<－1时，方程无解，满足题意；
②B＝{0}，即x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实根0，
则有a＋1＝0且a2－1＝0，解可得a＝－1，满足题意．
③B＝{－4}，即x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实根－4，
则有a＋1＝4且a2－1＝16此时无解．
④B＝{0,4}，即x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个实数根0或－4.
则有a＋1＝2且a2－1＝0，解可得a＝1.
综合可得a＝1或a≤－1.
22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2(2)由A?B知，解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝?，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝?，符合题意．
②若2m<1－m，即m<时，需或
得0≤m<或?，即0≤m<，
综上知m≥0，
即实数m的取值范围为[0，＋∞)．