第1课时 等式、不等式与比较大小
课后训练巩固提升
1.下列说法正确的是( )
A.某人月收入x不高于5
000元可表示为“x<5
000”
B.小明的身高为x,小亮的身高为y,则小明比小亮矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案:C
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20
000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是( )
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200
D.5x+4y≤200
解析:由题意,x,y满足的不等关系为500x+400y≤20000,即5x+4y≤200.
答案:D
3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
答案:B
4.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,即①正确;
∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴②错误;
∵x2+y2-xy=y2≥0,
∴③错误,选B.
答案:B
5.若a+b>a+b,则a,b必须满足的条件是( )
A.a>b>0
B.a
C.a>b
D.a≥0,b≥0,且a≠b
解析:a+b-(a+b)=(a-b)()=()()2,又a+b>a+b,则a,b必须满足的条件是a≥0,b≥0,且a≠b.
答案:D
6.用“>”“<”或“=”填空:
(1)已知x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x y;?
(2)已知a>b>0,则 ?.
解析:(1)∵x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=-7<0,
∴x(2)∵<0,
∴.
答案:(1)< (2)>
7.若x∈R,则的大小关系为 .?
解析:∵≤0,
∴.
答案:
8.一辆汽车原来每天行驶x
km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km,那么在8天内它的行程就超过2
200
km,写成不等式为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12
km,那么它原来行驶8天的路程就要花9天多的时间,用不等式表示为 .?
解析:如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程就超过2200km”可以用不等式8(x+19)>2200来表示;如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为,因此,不等关系“它原来行驶8天的路程现在就要花9天多的时间”可以用不等式>9来表示.
答案:8(x+19)>2
200 >9
9.用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18
m,靠墙的一边长为x
m.
(1)若要求菜园的面积不小于110
m2,试用不等式组表示其中的不等关系;
(2)若矩形的长、宽都不能超过11
m,试求x满足的不等关系.
解:(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0所以菜园的面积S=x·,依题意有S≥110,即x≥110,故该题中的不等关系可用不等式组表示为
(2)因为矩形的另一边长15-≤11,所以x≥8,又010.(1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小;
(2)已知a∈R,且a≠1,比较a+2与的大小.
解:(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b).
因为a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.
(2)(a+2)-.
因为a2+a+1=>0,所以当a>1时,>0,即a+2>;
当a<1时,<0,即a+2<.
故当a>1时,a+2>;
当a<1时,a+2<.第2课时 等式性质与不等式性质
课后训练巩固提升
1.若b<0,a+b>0,则a-b的值( )
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
解析:∵b<0,a+b>0,∴a>-b>0,∴a-b>0.
答案:A
2.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0
C.a2-b2<0
D.b+a>0
解析:由a>|b|,得-a∴a+b>0,且a-b>0.
∴b-a<0,A错,D对.
取特殊值,如a=2,b=-1,a3+b3=7>0,故B错.
而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴C错.
答案:D
3.“a+c>b+d”是“a>d,且c>b”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:易得a>b,且c>d时必有a+c>b+d.
若a+c>b+d,则可能有a>d,且c>b.
答案:A
4.若a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是
( )
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
解析:由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0,?ab>ac.
答案:A
5.已知<0,则下列不等式中不正确的是( )
A.a2B.abC.>2
D.|a|+|b|>|a+b|
解析:由<0,知a<0,b<0,且<0,
即<0,则b-a<0,即b由b-a>0?b2>a2,A对;
由bab,B对;
因为-2=>0,所以C对;由a<0,b<0?|a+b|=|a|+|b|,D错.
答案:D
6.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .?
解析:∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1.
又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.
答案:-1≤a-b≤6
7.若-10解析:∵-10∴0≤|a|<10.
又-10答案:-10<|a|+b<18
8.若-2解析:∵-2∴-3∴0<(c-a)(a-b)<6.
答案:0<(c-a)(a-b)<6
9.已知-≤α<β≤,求的取值范围.
解:∵-,-,
将两式相加,得-.
∵-,-≤-,
∴-.
又α<β,∴<0,故-<0.
10.已知a>b>c>1,设M=a-,N=a-,P=2,试比较M,N,P的大小.
解:因为b>c>1,所以,所以-<-,所以a-因为P-N=a+b-2-(a-)=b-2-2+1)=[()+(1-)],又a>b>c>1,所以<0,1-<0,所以P-N<0,所以P综上可知,P课后训练巩固提升
1.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则≥2=2
B.若x>0,则x-1+≥2=2
C.若x<0,则x+≤2=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则=-≤-2=-2
答案:D
2.已知a>0,b>0,则中最小的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:(方法一)特殊值法.
令a=4,b=2,则=3,.
故最小.
(方法二),由,可知最小.
答案:D
3.已知m=a+(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2A.m>n
B.m≥n
C.m=n
D.m≤n
解析:∵m=(a-2)++2≥2+2=4,
n=(2-x)(2+x)≤=4,
∴m≥n.
答案:B
4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有( )
A.最大值25
B.最大值50
C.最小值25
D.最小值50
解析:∵x>0,y>0,x+y=10,
∴x+y≥2,
∴xy≤=25,当且仅当x=y=5时取“=”,
∴xy有最大值25.
答案:A
5.已知a>0,b>0,则+2的最小值是( )
A.2
B.2
C.4
D.5
解析:+2+2≥2=4,
当且仅当时,取“=”,即a=b=1时,原式取得最小值4.
答案:C
6.若x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为 .?
解析:∵x>0,y>0,且xy=10,
∴y=,
∴≥2,
当且仅当x=2,y=5时,取等号.
答案:2
7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是 .?
解析:∵20=x+4y≥2=4,
∴≤5?xy≤25.
等号成立的条件是x=4y=10,即x=10,y=.
∴xy的最大值是25.
答案:25
8.已知a>3,则的最小值为 .?
解析:∵a>3,∴a-3>0,
∴≥2=1,
当且仅当,即a=11时,取等号.
答案:1
9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
证明:∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.
10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥.
证明:a2+b2≥2ab,①
b2+c2≥2bc,②
c2+a2≥2ac,③
a2+b2+c2=a2+b2+c2,④
由①+②+③+④,得3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2≥.第2课时 基本不等式的实际应用
课后训练巩固提升
A组
1.当x<0时,y=+4x的最大值为( )
A.-4
B.-8
C.-8
D.-16
解析:∵x<0,∴-x>0,
∴y=-≤-2=-8.
答案:C
2.函数y=的最大值为( )
A.
B.
C.
D.1
解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2>0,则y≤,当且仅当x=1时,等号成立.
故函数y=的最大值为.
答案:B
3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是( )
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最小值也有最大值
D.无最小值也无最大值
解析:∵a>0,
∴=1,当且仅当a=,即a=1时,取等号,故a>0,代数式有最大值1,没有最小值.
答案:A
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N
),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:由题意可知,=-+12≤-2+12,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.
答案:C
5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≤8
B.m>8
C.m<0
D.m≤4
解析:∵(x+2y)=2++2≥4+2=8,∴m≤8.
答案:A
6.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a= .?
解析:y=x+=x-2++2.
∵x>2,∴x-2>0.
∴y=x-2++2≥2+2=4,
当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立.
又y在x=a处取最小值,∴a=3.
答案:3
7.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为 .?
解析:∵a>0,b>0,=2,
∴a+2b=(a+2b)5+≥(5+4)=,当且仅当,且=2,即a=b=时,取等号,∴a+2b的最小值为.
答案:
8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 .?
解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,
=×(13+12)=,
当且仅当,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
答案:6 4
9.(1)求函数y=+4x的最小值;
(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;
(3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.
解:(1)∵x>,4x-5>0,
∴y=+4x=+(4x-5)+5≥7,
当且仅当4x-5=,即x=时,取等号.
∴y的最小值为7.
(2)∵x>0,a>2x,
∴y=x(a-2x)=·2x·(a-2x)≤,
当且仅当x=时取等号,∴y的最大值为.
(3)方法一:∵=1,
∴x+y=(x+y)=10+.
∵x>0,y>0,∴≥2=6.
当且仅当,即y=3x时,取等号.
又=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
方法二:由=1,得x=.
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.
∵y>9,∴y-9>0,
∴y-9++10≥2+10=16,
当且仅当y-9=,即y=12时,取等号.
又=1,∴x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4
000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=.
则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160
=80+4160(x>1).
(2)80+4160≥80×2+4160
=1600+4160=5760.
当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.
B组
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.
B.≤1
C.≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,故,选项A,C不成立;
≥1,选项B不成立;
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.
答案:D
2.已知x,y>0,x+y=1,若4xyA.t>1
B.t<1
C.t<2
D.t>2
解析:由基本不等式,得4xy≤4·=1,当且仅当x=y=时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1.
因此实数t的取值范围是t>1.
答案:A
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A.
B.
C.5
D.6
解析:由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)+2=5,当且仅当x=1,y=时,取等号.
故3x+4y的最小值是5.
答案:C
4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1
B.3
C.6
D.12
解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=,
∴2x+y=2x+≥2=3.
当且仅当,即x=1时,取等号.
答案:B
5.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是 .?
解析:由题意得,y==(x+1)+≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).
答案:(0,2)
6.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为 .?
解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,
则[(a-1)+b]=3+≥3+2=3+2,
当且仅当,且a+b=2,即a=3-,b=-1时取得最小值3+2.
答案:3+2
7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.
解:∵x+y=(x+y)=a+b+≥a+b+2=()2,∴()2=18.
又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.
8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为×150%+×50%,
所以年销售收入为
·Q=(32Q+3)+x.
所以年利润
W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0).
(2)令x+1=t(t≥1),则W==50-.
因为t≥1,所以≥2=8,即W≤42,当且仅当,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.
故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
课后训练巩固提升
A组
1.已知集合M={x|x2-3x-4≥0},N={x|1A.{x|1B.{x|1C.{x|-1D.{x|-1≤x≤5}
解析:∵x2-3x-4≥0,∴(x+1)(x-4)≥0,
∴x≥4或x≤-1,∴M={x|x≥4,或x≤-1},
∴?RM={x|-1∴(?RM)∩N={x|1答案:A
2.如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( )
A.{x|x>3,或x<-2}
B.{x|x>2,或x<-3}
C.{x|-2D.{x|-3解析:由已知得a(x+2)(x-3)>0,
∵a<0,
∴(x+2)(x-3)<0,
∴-2答案:C
3.不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D.{x|x<2}
解析:≥1?-1≥0?≥0?≤0?解得≤x<2.
答案:B
4.已知00的解集为( )
A.
B.{x|x>a}
C.
D.
解析:方程的两根为x1=a,x2=,∵0a.
相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为.
答案:A
5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n,或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m,或x>n}
D.{x|-m解析:方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,
∵m+n>0,
∴m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解集是{x|-n答案:B
6.不等式x(4-x)≤5的解集是 .?
解析:x(4-x)≤5?x2-4x+5≥0,因为Δ=(-4)2-4×5<0,所以方程x2-4x+5=0无实根,结合y=x2-4x+5的图象得原不等式的解集为实数集R.
答案:R
7.式子有意义时,x的取值集合是 .?
解析:要使式子有意义,则2-x-x2≥0.
即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.
故x的取值集合是{x|-2≤x≤1}.
答案:{x|-2≤x≤1}
8.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1,或x>4},则实数a= .?
解析:>0等价于(x-a)(x+1)>0,而解集为{x|x<-1,或x>4},从而a=4.
答案:4
9.解下列不等式.
(1)4x2+4x+1>0; (2)x2+25≤10x;
(3)2x2-4x+7≥0.
解:(1)因为4x2+4x+1=(2x+1)2>0,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2-10x+25≤0,即(x-5)2≤0,故原不等式的解集为{x|x=5}.
(3)因为Δ=-40<0,所以方程2x2-4x+7=0无实根,而函数y=2x2-4x+7的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
10.已知实数a满足不等式-30.
解:方程(x-a)(x+1)=0的两根为-1,a.
①当a<-1,即-3-1};
②当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1};
③当a>-1,即-1a}.
B组
1.设x满足不等式组则点P(x+2,x-2)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:原不等式组可变形为
∴原不等式组的解集为{x|x<-6}.
∴x+2<0,且x-2<0,
∴点P(x+2,x-2)在第三象限.
答案:C
2.下面四个不等式的解集为R的是( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+5>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<0
解析:利用“Δ”判断,在不等式x2+6x+10>0中,Δ=62-40<0,故不等式x2+6x+10>0的解集为R,故选C.
答案:C
3.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )
A.{x|x<5a,或x>-a}
B.{x|x>5a,或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a解析:方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.
∵2a+1<0,∴a<-.
∴-a>5a,结合y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集是{x|x<5a,或x>-a}.故选A.
答案:A
4.不等式>0的解集是( )
A.{x|-2B.{x|x>2}
C.{x|-22}
D.{x|x<-2,或x>1}
解析:>0?(x-1)(x2-4)>0?(x-1)(x-2)(x+2)>0.
设y=(x-1)(x-2)(x+2),则y的三个零点是-2,1,2.
其示意图如图,
故原不等式的解集为{x|-22}.故选C.
答案:C
5.不等式组-1解析:原不等式组等价于
即
由①得x(x+2)>0,解得x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1.
故原不等式组的解集为{x|-3≤x<-2,或0答案:{x|-3≤x<-2,或06.关于x的不等式x(x-a2-1)≤0的解集是 .?
解析:方程x(x-a2-1)=0的两根为0,a2+1,且a2+1>0,故不等式x(x-a2-1)≤0的解集是{x|0≤x≤a2+1}.
答案:{x|0≤x≤a2+1}
7.已知y=-3x2+a(6-a)x+3,解x=1时关于a的不等式y≥0.
解:当x=1时,y=-3+a(6-a)+3=a(6-a).
∵y≥0,
∴a(6-a)≥0,a(a-6)≤0,方程a(a-6)=0有两个不等实根a1=0,a2=6,由y=a(a-6)的图象,得不等式y≥0的解集为{a|0≤a≤6}.
8.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0(a<1).
解:当a=0时,原不等式化为x-2<0,解集为{x|x<2}.
当a<0时,原不等式化为(x-2)<0,
这时两根的大小顺序为2>,所以解集为.
当00,这时两根的大小顺序为2<,
所以原不等式的解集为.
综上所述,当a=0时,解集为{x|x<2};
当a<0时,解集为;
当0课后训练巩固提升
A组
1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,则( )
A.a<0,Δ>0
B.a<0,Δ<0
C.a>0,Δ<0
D.a>0,Δ>0
解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象均在x轴下方,故a<0,Δ<0.
答案:B
2.若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤4}
B.{a|-4C.{a|a≤-4,或a≥4}
D.{a|a<-4,或a>4}
解析:由题意,需满足Δ=a2-16≤0,即-4≤a≤4.
答案:A
3.已知不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2A.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
B.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
C.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
D.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
解析:由y=ax2-x-c>0的解集为{x|-2答案:C
4.已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3,或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的解析式是( )
A.y=2x2+2x+12
B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12
D.y=2x2-2x-12
解析:由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得-2+3=-,-2×3=,解得m=-2,n=-12.
因此二次函数的解析式是y=2x2-2x-12.
答案:D
5.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的集合为
( )
A.{a|0B.{a|0≤a<4}
C.{a|0D.{a|0≤a≤4}
解析:当a=0时,有1<0,故A=?;
当a≠0时,若A=?,
则有?0综上所述,a∈{a|0≤a≤4}.
答案:D
6.若关于x的不等式(x+1)(x-3)解析:由题意可知,0和n是关于x的方程(x+1)(x-3)=m的两个实数根,即方程x2-2x-3-m=0的两根,由根与系数的关系可得0+n=2,解得n=2.
答案:2
7.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是 .?
解析:不等式组可化为由题意可知a2+1<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1答案:{a|-18.若式子(k为常数)在实数集R上恒有意义,则k的取值范围是 .?
解析:式子在实数集R上恒有意义,即kx2-6kx+(k+8)≥0对一切x∈R恒成立.
当k=0时,显然8>0恒成立;
当k≠0时,k满足
即解得0所以k的取值范围是{k|0≤k≤1}.
答案:{k|0≤k≤1}
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5故A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5得解得
即2x2+x-15<0,
故不等式的解集为.
10.设函数y=x2-ax+b.
(1)若不等式y<0的解集是{x|20的解集;
(2)当b=3-a时,y≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为不等式x2-ax+b<0的解集是{x|20为6x2-5x+1>0.
解不等式6x2-5x+1>0得其解集为x或x>.
(2)根据题意,y=x2-ax+3-a≥0恒成立,
则Δ=a2-4(3-a)≤0,解得-6≤a≤2.
所以实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
B组
1.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A.
B.
C.{x|-2D.{x|x<-2,或x>1}
解析:由题意得解得故不等式为2x2+x-1<0,其解集为.
答案:A
2.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( )
A.-3B.-3≤k<0
C.-3≤k≤0
D.-3解析:∵2kx2+kx-<0为一元二次不等式,
∴k≠0.
∵2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,
∴解得-3答案:D
3.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是1005x+1-元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,则x的取值范围为( )
A.{x|x≥3}
B.
C.{x|3≤x≤10}
D.{x|1≤x≤3}
解析:根据题意,得200≥3000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
答案:C
4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是{x|-4≤x≤3}的子集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤1}
B.{a|-4≤a≤3}
C.{a|1≤a≤3}
D.{a|-1≤a≤3}
解析:原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1},此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a},此时只要a≤3即可,即1综上可得-4≤a≤3.
答案:B
5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为{x|1解析:由题意可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且m>1,a>0,∴解得m=2,∴m的值为2.
答案:2
6.若x∈R,不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析:不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,
?(a+2)x2+4x+3≥0恒成立
??a≥-,
故所求实数a的取值范围是.
答案:
7.已知ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},求不等式cx2-bx+a>0的解集.
解:∵不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},
∴a<0,x=3,x=1是方程ax2+bx+c=0的根,
即
∴b=-4a,c=3a.
∴cx2-bx+a>0变形为3ax2+4ax+a>0.
∵a<0,
∴3x2+4x+1<0,
∴-1∴不等式的解集是.
8.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门全年的收益y与实际电价x的函数解析式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,
依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有
整理得
解此不等式,得0.6≤x≤0.75.
即电价最低定为0.6元/千瓦时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3,或x≤2}
D.{x|x≥1,或x≤-6}
解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,故不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.
答案:A
2.已知A={x|x2-2x>0},B=,则A∪B=( )
A.{x|1B.{x|2C.{x|x<0,或x>1}
D.{x|x<0,或1解析:∵A={x|x>2,或x<0},B={x|1∴A∪B={x|x<0,或x>1}.
答案:C
3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存有60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.30x-60≥400
B.30x+60≥400
C.30x-60≤400
D.30x+40≤400
解析:设x月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60≥400.
答案:B
4.若a<1A.
B.>1
C.a2D.ab解析:对于A,若a=-2,b=2,则不成立,
对于B,若a=-2,b=2,则不成立,
对于C,若a=-2,b=2,则不成立,
对于D,∵a<10,
∴(a-1)(b-1)<0,即ab-a-b+1<0,
∴ab+1答案:D
5.设函数y=4x+-1(x<0),则y( )
A.有最大值3
B.有最小值3
C.有最小值-5
D.有最大值-5
解析:∵x<0,∴-x>0.
∴y=4x+-1=--1≤-4-1=-5,当且仅当x=-时,等号成立.∴y有最大值-5.
答案:D
6.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a的大小关系为
( )
A.a2>a>-a
B.-a>a2>a
C.-a>a>a2
D.a2>-a>a
解析:因为a2+a<0,即a(a+1)<0,所以-1a2>0,有-a>a2>a.故选B.
答案:B
7.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab的最大值为( )
A.
B.
C.1
D.
解析:∵a>0,b>0,且2a+b=2,
∴ab=×(2a·b)≤,
当且仅当2a=b,且2a+b=2,即a=,b=1时,取得最大值.故选A.
答案:A
8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.v=
B.v=
C.aD.解析:设甲、乙两地的距离为S,往返的速度分别为a=,b=(aa,故a答案:C
9.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得取最小值时,实数对(a,b)是( )
A.(5,10)
B.(6,6)
C.(10,5)
D.(7,2)
解析:∵a,b>0,
∴(4a+b)5+≥(5+2)=,当且仅当时,取“=”.
这时a=5,b=10.
答案:A
10.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|20的解集是( )
A.
B.
C.{x|x<-3,或x>-2}
D.{x|-3解析:因为不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2所以不等式bx2-x-a>0为-6x2-x+1>0,
即6x2+x-1<0,解得-所以不等式bx2-x-a>0的解集是x答案:A
11.已知函数y=(x<-2),则函数y( )
A.有最小值-2
B.有最小值2
C.有最大值-2
D.有最大值-6
解析:∵x<-2,
∴x+2<0,令x+2=t,则t<0.
∵y=,
∴y==t+-4
=--4≤-2-4=-6,
当且仅当t=,且t<0,即t=-1,从而有x=-3时取最大值-6.故选D.
答案:D
12.设a>0,b>0,则下列不等式中不一定成立的是( )
A.a+b+≥2
B.
C.≥a+b
D.(a+b)≥4
解析:∵a>0,b>0,
∴a+b+≥2≥2,当且仅当a=b,且2,即a=b=时,取等号,故A成立;
∵a+b≥2>0,∴,当且仅当a=b时,取等号,
∴不一定成立,故B不成立;
∵,当且仅当a=b时,取等号,
∴=a+b-≥2,当且仅当a=b时,取等号,
∴,∴≥a+b,故C一定成立;
∵(a+b)=2+≥4,当且仅当a=b时,取等号,故D一定成立.故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.设M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,则M,N的大小关系为 .?
解析:∵M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,∴M>N.
答案:M>N
14.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥.
答案:a≥
15.已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则不等式ax2+bx+1>0的解集为 .?
解析:根据题意,方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则有×3=,解得a=-<0,
则ax2+bx+1>0?-即不等式的解集为.
答案:
16.下列命题:
①设a,b是非零实数,若aa2b;②若a其中正确的是 .(填序号)?
解析:①中ab2-a2b=ab(b-a).
由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故①不对.
②中在a③中y=≥2,但由,得x2+2=1无解,故③不对.
④中,∵=1≥2,∴xy≥16,即④对.
答案:②④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较与a+b的大小.
解:∵-(a+b)=-b+-a
==(a2-b2)
=(a2-b2),
又a>0,b>0,a≠b,
∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,
∴-(a+b)>0,∴>a+b.
18.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,
即<0.
①当-,即a>0时,-②当-,即a=0时,原不等式的解集为?;
③当-,即a<0时,综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为?;
当a<0时,原不等式的解集为xx<-.
19.(本小题满分12分)(1)已知式子,
求使式子有意义的x的取值集合;
(2)已知函数y=x2-4ax+a2(a∈R),关于x的不等式y≥x的解集为R,求实数a的取值范围.
解:(1)由≥0,得3+2x-x2>0,解得-1(2)∵y≥x的解集为R,
∴当x∈R时,x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立.
∴Δ=(4a+1)2-4a2≤0,即12a2+8a+1≤0,
即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-≤a≤-,
∴a的取值范围为.
20.(本小题满分12分)已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)若3∈M,且5?M,求实数a的取值范围.
(2)当a=4时,求集合M.
解:(1)由3∈M,知<0,解得a<或a>9;
若5∈M,则<0,解得a<1或a>25.
则由5?M,知1≤a≤25,因此所求a的取值范围是1≤a<或9(2)当a=4时,<0.
<0?
?
?故M=.
21.(本小题满分12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
证明:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
22.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用y;
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值20x.
由题意,y=·4+k·20x,
由x=4时,y=52,
得k=.
故y=+4x(0).
(2)可以使资金够用.理由如下:
由(1)知y=+4x(0),
则y≥2=48(元).
当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.第2课时 一元二次函数、方程和不等式
课后训练巩固提升
1.若a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( )
A.a>
B.>a
C.>a
D.>a>
解析:取a=-2,b=-2,则=1,=-,从而>a.
答案:C
2.不等式x2-x+≥0的解集是( )
A.R
B.
C.
D.?
解析:不等式x2-x+≥0可化为≥0,解得x∈R,故选A.
答案:A
3.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.-1B.0C.-D.-解析:由题意知(x-a)(x+a)<1?(x-a)(1-x-a)<1?x2-x-a2+a+1>0在R上恒成立,则Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-答案:C
4.若正数a,b满足ab-(a+b)=1,则a+b的最小值为( )
A.2+2
B.2-2
C.+2
D.-2
解析:∵a+b=ab-1≤-1,
∴(a+b)2-4(a+b)-4≥0,
又a,b均为正数,∴a+b≥2+2.
答案:A
5.若不等式组的整数解只有-2,则k的取值范围是( )
A.-3≤k<2
B.-3C.k<-2
D.k≥-3
解析:x2-x-2>0?x<-1或x>2.
2x2+(5+2k)x+5k<0?(2x+5)(x+k)<0.
在数轴上考察它们的交集可得-3≤k<2.
答案:A
6.当式子有意义时,x的取值集合是 .?
解析:要使式子有意义,只需6-x-x2>0,
∴x2+x-6<0,∴-3∴x的取值集合为{x|-3答案:{x|-37.设0解析:∵02>0,
∴y==4,
当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号.
∴当x=时,y=有最大值4.
答案:4
8.设x∈R,比较与1-x的大小.
解:作差:-(1-x)=.
①当x=0时,∵=0,∴=1-x;
②当1+x<0,即x<-1时,
∵<0,∴<1-x;
③当1+x>0,且x≠0,即-10时,
∵>0,∴>1-x.
9.如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x米墙.
(1)求x的取值范围;
(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)
解:(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x米,则另一边长为米,则矩形草地所需铁丝网长度为y=x+2×.
令y=x+2×≤44(x>0),解得8≤x≤36.
(2)由基本不等式,得y=x+≥24,
当且仅当x=,即x≈17.0时,等号成立,
则ymin=24≈34.0,故最少需要约34.0米铁丝网.
10.已知不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为?,求k的取值范围.
解:(1)∵不等式的解集为{x|x<-3,或x>-2},
∴k<0,且x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根.
∴x1x2=6,x1+x2==-5,
∴k=-.
(2)由于k≠0,要使不等式的解集为?,只需解得k≥.