变化率及导数(教案大赛一等奖)
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文档简介
§1.1.2导数的概念
教学目标：
知识与技能：通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．
过程与方法：⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；
⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；
⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．
情感、态度、价值观：通过运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系，从而激发学生学习的兴趣．
教学重、难点：
重点：利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解；
难点：导数概念的形成，导数内涵的理解．
学法与教学用具：
教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；
教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等数学工具演示逼近过程；
教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（导数概念）的建构过程；
教学用具：乒乓球（两枚）、几何画板课件、实物投影等．
教学设想：
教学基本情境 设计意图与评述 师生活动
激趣激疑，引出课题情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？回答：一枚是静止的，一枚是运动的T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0．那怎样求一个物体的瞬时速度呢？引例分析，思想奠基引例1：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t) =－4.9t 2＋6.5t＋10．计算运动员在这段时间里的平均速度．解答：平均速度为0．点评：平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？回答：利用平均速度逼近瞬时速度问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？回顾点拨：利用有理指数幂逼近无理指数幂，利用“二分法”逼近函数零点．师生合作，共同探究情境二：小组活动，计算平均速度-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001……………………问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049生甲（口答）：完成表格左边数据生乙（口答）：完成表格右边数据生丙：（观察并口答）在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度．练习：求在t=1及1.5时刻，运动员的瞬时速度．解：；．问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？回答：．问题拓展，深化概念T：由上节课我们知道，速度是位移的变化率，那么瞬时速度就是位移的瞬时变化率，你能求出一般情况下的瞬时变化率吗？引例2：气球体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系是当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率为你能写出气球在体积时的瞬时膨胀率吗？回答：．一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称之为函数在处的导数，记作或，即．T：导数就是瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的逼近．古希腊大哲学家芝诺无法理解这种逼近，他只知道瞬间可以堆积成永恒，殊不知永恒也可以通过逼近来表现瞬间，这就是唯物辨证论；人类用了几千年，直到17世纪的工业革命，人们才逐渐认识到这种逼近．一旦认识到这种逼近，我们才定义了导数的概念——导数是研究变化的一种强有力的工具！例题分析，练习巩固例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：）为．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，；它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油问答大约以5℃/h的速率上升．练习：计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，意义同上．点评：导数即瞬时变化率，可刻画物体变化的快慢．课堂小结，布置作业1°平均速度逼近瞬时速度2°瞬时变化率即导数的概念3°公式：课后练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度⑵求物体在t时刻的瞬时速度⑶求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？作业（必做）：P10，3、4作业（选做）：P11，A组，5；P11，B组，1 利用芝诺“飞矢不动”悖论，吸引眼球，激发学生学习兴趣，并提出瞬时速度问题．通过具体问题，引导学生利用平均速度逼近瞬时速度．回顾无理指数幂及“二分法”中的逼近，引导学生自主探究，逼近瞬时速度．组织学生分组计算、填写速度逼近表格，感受平均速度逼近瞬时速度的过程．好一个两边夹逼！巩固逼近的思想方法，为后面的推广埋下伏笔！为瞬时变化率打下基础！速度是位移关于时间的变化率！从瞬时速度向瞬时变化率过渡！从特殊到一般，提出导数概念！承前起后，指出芝诺悖论的根源在于无法理解“瞬时与永恒”之间的辨证关系，升华学生的认识，并继续激发学习兴趣！巩固导数概念！导数的概念及其符号表示！作业体现层次性和选择性！ 教师结合数学史实提出问题，引出课题．教师引导学生回顾必修1中的两个逼近案例．学生分小组计算，教师适当引进激励机制，让学生又快又准计算平均速度并发现数据特征．学生练习，教师纠错．类比、推广！学生接受导数符号，了解极限符号的意义！教师不失时机的进行数学文化渗透！学生练习！学生小结本节课所学内容！
板书设计§1.1.2导数的概念一、引例1二、逼近思想（无理指数幂与“二分法”）三、导数的概念四、归纳小结
评价设计本节课的教学安排是按照建构主义展开的，笔者力求让导数概念的生成符合螺旋上升特征！这尤其体现在本节课的例习题安排上，可以说适时的例习题演练是对学生学习情况最好反馈和评价．引例1的前三个问题，一环扣一环，力求让学生理解瞬时速度、理解逼近过程；问题三后的练习就是针对这种学习情况的评价，教师以此检阅学生对逼近过程的理解程度，要求学生至少在形式上知道这种逼近方法（实质是取极限）．引例2是对引例1的推广，也就是将瞬时速度推广到瞬时变化率，这是本节课的第二次思维提升；例1及后面的练习则是在给出导数概念后，进一步巩固所学知识．课后练习是对本节课的又一次小结，教师通过习题揭示导数的内涵；必做的作业是对导数概念的基本要求，选做的作业则提出更高的要求，为后面的几何意义及进一步推广埋下伏笔！
课后反思：
从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。
新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合。灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标。
在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识导数及发明导数的现实意义，这对接受和理解导数这个概念大有裨益！
本节课内容较多，一课时难以完成，教师可以根据教学实际删减该课例中的某些环节，比如后面的例1及练习题等！
电脑投影屏幕
列表（实物投影）
课后练习
作业：
教学目标：
知识与技能：通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．
过程与方法：⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；
⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；
⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．
情感、态度、价值观：通过运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系，从而激发学生学习的兴趣．
教学重、难点：
重点：利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解；
难点：导数概念的形成，导数内涵的理解．
学法与教学用具：
教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；
教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等数学工具演示逼近过程；
教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（导数概念）的建构过程；
教学用具：乒乓球（两枚）、几何画板课件、实物投影等．
教学设想：
教学基本情境 设计意图与评述 师生活动
激趣激疑，引出课题情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？回答：一枚是静止的，一枚是运动的T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0．那怎样求一个物体的瞬时速度呢？引例分析，思想奠基引例1：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t) =－4.9t 2＋6.5t＋10．计算运动员在这段时间里的平均速度．解答：平均速度为0．点评：平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？回答：利用平均速度逼近瞬时速度问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？回顾点拨：利用有理指数幂逼近无理指数幂，利用“二分法”逼近函数零点．师生合作，共同探究情境二：小组活动，计算平均速度-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001……………………问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049生甲（口答）：完成表格左边数据生乙（口答）：完成表格右边数据生丙：（观察并口答）在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度．练习：求在t=1及1.5时刻，运动员的瞬时速度．解：；．问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？回答：．问题拓展，深化概念T：由上节课我们知道，速度是位移的变化率，那么瞬时速度就是位移的瞬时变化率，你能求出一般情况下的瞬时变化率吗？引例2：气球体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系是当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率为你能写出气球在体积时的瞬时膨胀率吗？回答：．一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称之为函数在处的导数，记作或，即．T：导数就是瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的逼近．古希腊大哲学家芝诺无法理解这种逼近，他只知道瞬间可以堆积成永恒，殊不知永恒也可以通过逼近来表现瞬间，这就是唯物辨证论；人类用了几千年，直到17世纪的工业革命，人们才逐渐认识到这种逼近．一旦认识到这种逼近，我们才定义了导数的概念——导数是研究变化的一种强有力的工具！例题分析，练习巩固例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：）为．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，；它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油问答大约以5℃/h的速率上升．练习：计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，意义同上．点评：导数即瞬时变化率，可刻画物体变化的快慢．课堂小结，布置作业1°平均速度逼近瞬时速度2°瞬时变化率即导数的概念3°公式：课后练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度⑵求物体在t时刻的瞬时速度⑶求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？作业（必做）：P10，3、4作业（选做）：P11，A组，5；P11，B组，1 利用芝诺“飞矢不动”悖论，吸引眼球，激发学生学习兴趣，并提出瞬时速度问题．通过具体问题，引导学生利用平均速度逼近瞬时速度．回顾无理指数幂及“二分法”中的逼近，引导学生自主探究，逼近瞬时速度．组织学生分组计算、填写速度逼近表格，感受平均速度逼近瞬时速度的过程．好一个两边夹逼！巩固逼近的思想方法，为后面的推广埋下伏笔！为瞬时变化率打下基础！速度是位移关于时间的变化率！从瞬时速度向瞬时变化率过渡！从特殊到一般，提出导数概念！承前起后，指出芝诺悖论的根源在于无法理解“瞬时与永恒”之间的辨证关系，升华学生的认识，并继续激发学习兴趣！巩固导数概念！导数的概念及其符号表示！作业体现层次性和选择性！ 教师结合数学史实提出问题，引出课题．教师引导学生回顾必修1中的两个逼近案例．学生分小组计算，教师适当引进激励机制，让学生又快又准计算平均速度并发现数据特征．学生练习，教师纠错．类比、推广！学生接受导数符号，了解极限符号的意义！教师不失时机的进行数学文化渗透！学生练习！学生小结本节课所学内容！
板书设计§1.1.2导数的概念一、引例1二、逼近思想（无理指数幂与“二分法”）三、导数的概念四、归纳小结
评价设计本节课的教学安排是按照建构主义展开的，笔者力求让导数概念的生成符合螺旋上升特征！这尤其体现在本节课的例习题安排上，可以说适时的例习题演练是对学生学习情况最好反馈和评价．引例1的前三个问题，一环扣一环，力求让学生理解瞬时速度、理解逼近过程；问题三后的练习就是针对这种学习情况的评价，教师以此检阅学生对逼近过程的理解程度，要求学生至少在形式上知道这种逼近方法（实质是取极限）．引例2是对引例1的推广，也就是将瞬时速度推广到瞬时变化率，这是本节课的第二次思维提升；例1及后面的练习则是在给出导数概念后，进一步巩固所学知识．课后练习是对本节课的又一次小结，教师通过习题揭示导数的内涵；必做的作业是对导数概念的基本要求，选做的作业则提出更高的要求，为后面的几何意义及进一步推广埋下伏笔！
课后反思：
从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。
新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合。灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标。
在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识导数及发明导数的现实意义，这对接受和理解导数这个概念大有裨益！
本节课内容较多，一课时难以完成，教师可以根据教学实际删减该课例中的某些环节，比如后面的例1及练习题等！
电脑投影屏幕
列表（实物投影）
课后练习
作业：