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22.4矩形的判定
01 基础题
知识点1 有三个角是直角的四边形是矩形
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形AEDF是矩形．
知识点2 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2．(2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：
(1)△BDE≌△FAE.
(2)四边形ADCF为矩形．
知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形
3．(2020·十堰)已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(
)
A．①
B．②
C．③
D．④
4．(2019·石家庄高邑县期末)在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(
)
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
5．已知?ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(
)
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O.若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
7．(教材P139练习T2变式)(2020·聊城)如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
02 中档题
8．如图，有一个用木条钉成的平行四边形玩具，对角线AC，BD之间用抻直的皮筋连接，已知AB＝1，BC＝.若推动这个玩具，当∠ABC＝90°时，皮筋BD的长是(
)
A．1
B．2
C.
D．2
9．(2019·临沂)如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(
)
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
10．(2019·石家庄新华区二模)如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是(
)
A．①④
B．①②
C．①②③
D．②③④
11．(2019·唐山古冶区期中)如图，为了检查矩形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅在检测四边形ABCD是平行四边形的基础上用一根绳子比较其对角线AC，BD的长度．若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，其中的数学原理是：①
；②
．
12．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∠PQD的平分线，则四边形PMQN是（
）
13．【转化思想】(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为
．
14．(2019·秦皇岛卢龙县期末)王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，
．
求证：平行四边形ABCD是
．
(1)在横线上填空，以补全已知和求证．
(2)按王晓的想法写出证明过程．
22.4矩形的判定
01 基础题
知识点1 有三个角是直角的四边形是矩形
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形AEDF是矩形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
知识点2 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2．(2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：
(1)△BDE≌△FAE.
(2)四边形ADCF为矩形．
证明：(1)∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE(AAS)．
(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.
∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是线段BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形．
知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形
3．(2020·十堰)已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(B)
A．①
B．②
C．③
D．④
4．(2019·石家庄高邑县期末)在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(D)
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
5．已知?ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(C)
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O.若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(C)
A．4
B．5
C．6
D．7
7．(教材P139练习T2变式)(2020·聊城)如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC.
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC.
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AD＝AF，AD＝BC，∴BC＝AF.
∴四边形ABFC是矩形．
02 中档题
8．如图，有一个用木条钉成的平行四边形玩具，对角线AC，BD之间用抻直的皮筋连接，已知AB＝1，BC＝.若推动这个玩具，当∠ABC＝90°时，皮筋BD的长是(B)
A．1
B．2
C.
D．2
9．(2019·临沂)如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A)
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
10．(2019·石家庄新华区二模)如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是(A)
A．①④
B．①②
C．①②③
D．②③④
11．(2019·唐山古冶区期中)如图，为了检查矩形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅在检测四边形ABCD是平行四边形的基础上用一根绳子比较其对角线AC，BD的长度．若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，其中的数学原理是：①对角线相等的平行四边形是矩形；②矩形的四个角都是直角．
12．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∠PQD的平分线，则四边形PMQN是矩形．
13．【转化思想】(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．
14．(2019·秦皇岛卢龙县期末)王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC＝BD．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
(1)在横线上填空，以补全已知和求证．
(2)按王晓的想法写出证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝BC.
在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD(SSS)．
∴∠ADC＝∠BCD.
∵AD∥CB，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°.
∴∠ADC＝∠BCD＝90°.
∴平行四边形ABCD是矩形．
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22.4矩形的判定
冀教版
八年级下
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
复习回顾
边
对角线
角
A
B
C
D
O
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
情境一：工人师傅在检测一个四边形门框是否为矩形时，测量出这个门框的四个内角中有三个角是直角，他说这就是一个矩形，他的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
。
你能证明上述结论吗？
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
。
A
B
C
D
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
跟踪练习：
如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图
ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD=180°
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
???????????????????????????????????????
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
情境二：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
∵
AB=CD,
BC=BC,
AC=BD
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠DCB
对角线相等的平行四边形是矩形
。
矩形的判定定理2：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
√
√
√
√
X
√
例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
(教材第138页例2)已知:如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点.
求证四边形EFGH是矩形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF.
∴四边形EFGH是矩形.
想一想:在上述问题中,如果四边形ABCD是平行四边形,那么四边形EFGH是平行四边形吗?
当堂检测
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（
）
A
对角线相等
B
对角线垂直
C对角线互相平分且相等
D对角线垂直且相等
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是
cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠
EAC、
∠
MCA、
∠
ACN、
∠
CAF的角平分线，则四边形ABCD是（
）
A
菱形
B
平行四边形
C
矩形
D
不能确定
C
5
C
4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是
.?
解析:连接BD,AC.∵H,G分别是AD,CD的中点,∴HG是△DAC的中位线,∴HG∥AC,同理可得EF∥AC,HE∥BD∥FG.∵四边形EHGF是矩形,∴∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴DB⊥AC.故填对角线互相垂直.
对角线互相垂直
4、在平行四边形ABCD中,对角线AC
BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC,
求证:四边形AFCE是矩形
A
B
C
D
O
F
E
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
布置作业
课本139页A组题和B组题
谢谢
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