集合
图片预览
文档简介
(共45张PPT)
本章概览
一、内容概述
本章的主要内容有两部分：1.集合：主要包括集合的概念、表示方法、集合之间的关系及其基本运算.2.函数：主要包括函数的概念及表示方法；映射的概念以及映射与函数的区别与联系；函数的单调性及奇偶性．
二、地位作用
本章中集合部分内容是近、现代数学的一个重要基本理论．一方面，许多重要的数学分支(如高等数学等)都建立在集合理论基础上；另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．本章中函数部分内容是中学数学的重点内容，函数知识和函数思想贯穿中学数学的始终．高考对集合的考查，一般以客观题形式出现，难度中等偏下，对“函数及其性质”的考查是重点，选择、填空、解答题齐全．
三、学法指导
本章是高中学习的起点，学好本章对以后的学习有着重要的意义，在学习中要注意：1.和初中相关的数学知识做好衔接，为新知识的学习做好准备.2.认真思考，准确理解本章各知识点，注意相近知识的区别.
3.在学习过程中，要养成从实验出发，由感性到理性的学习习惯，逐步培养观察、比较、抽象、概括的能力，培养科学严谨的学习态度．另外，新课标还要求同学们要学会运用计算机等现代技术工具探索和研究新问题，通过对本章的学习，探索高中数学的学习方法和数学思想(如集合思想，函数思想，数形结合思想，转化思想等).
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
目 标 要 求
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．
2.了解集合中元素的三个特性(确定性、
互异性、无序性).
热 点 提 示
1.本小节新概念、新符号较多，在学习时，应通过反复阅读教材并在与同学的交流中理解概念，在反复练习中熟悉新符号的使用．
2．集合的概念比较抽象，应联系实际透彻地理解它.
在日常生活中，我们常常需要将一些事物放在一起考虑，并且给它们一个总称，俗语如“物以类聚，人以群分”便是其形象说法．具体如苹果、香蕉、桔子、桃、荔枝等总称为水果；还有如班长、学习委员、文娱委员、体育委员、劳动委员、生活委员等组成班委会．我们能否用一种新的语言来表示这种“类”或“群”呢？“一些事物”具体指什么以及该如何表示呢？
我们可以用以下要学的“集合”来表示这种“类”或“群”的问题．
1．集合
(1)一般地，我们把 统称为元素，把一些元素组成的 叫做集合．
(2)集合相等
只要构成两个集合的元素是 的，我们就称这两个集合是相等的．
(3)集合与元素的表示
通常用 表示集合．
通常用 表示集合中的元素．
研究对象
总体
一样
大写拉丁字母A，B，C，…
小写拉丁字母a，b，c，…
(4)集合元素的特性： 、 、 ．
确定性
互异性
无序性
2．元素与集合的关系
关系 文字语言 符号
属于 a属于集合A a∈A
不属于 a不属于集合A a A
3.常用数集及表示符号
名称 非负整数集
(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符合 N N*或N＋ Z Q R
1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( )
A．与0非常接近的数
B．我班喜欢唱歌的同学
C．我校学生中的团员
D．我班的高个子学生
解析：我校学生中的团员是确定的．
答案：C
2．集合A只含有元素a，则下列各式中正确的是
( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
解析：a是集合A中的元素，∴a∈A.
答案：C
解析：三个均正确．
答案：3
解：∵方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素．
类型一 集合元素的特性及应用
【例1】 下列所给的对象能构成集合的是________．
(1)所有的正三角形；
(2)高一数学必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
(6)参加北京奥运会的年轻运动员．
解：(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；
(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合；
(3)不能构成集合，因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；
(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点距离等于1的点”；
(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．
温馨提示：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键．而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到是否有一个衡量标准．同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性．
解：∵当a＋2＝1时，a＝－1，当(a＋1)2＝1时，a＝0或－2，当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或－2，据元素互异性排除－1，－2，∴a＝0.
温馨提示：注意分类讨论思想在解题中的应用，同时要验证所求值是否满足要求．
类型二 常见数集及其表示
【例3】 给出下列命题：
①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系，自然数集中最小的元素是0，故①③不正确，对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍然为自然数，所以②也不正确．
答案：A
温馨提示：判断命题正误时举反例是一种好办法；对于常用的一些数集的记法要牢记，其中要特别注意自然数集的概念，0∈N，自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N*或N＋.
温馨提示：判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
解析：A中元素不确定；B中两个集合元素相同，因集合元素具有无序性，所以两个集合相等；C中元素明确、具体，可以组成集合；D中元素0.5和 是一个元素，由元素互异性知，元素个数应为三．
答案：C
由实数x2,1,0，x来构成三元素集合，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0，不符合题意．
若x2＝1则x＝±1，当x＝1时不符合题意，当x＝－1时适合．
若x2＝x，则x＝0，x＝1，都不符合．
综上：x＝－1.
解析：考查元素与集合之间的关系及常用数集的记法．①正确；②正确；③不正确；④不正确．故选B.
答案：B
1．集合中元素的基本特征
集合的元素有如下特性：确定性、互异性、无序性．
(1)确定性：即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了；它要么是这个集合的元素，要么不是，二者必居其一．如“著名的科学家”等不能构成一个集合．
(2)互异性：即集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素，也就是说，重复的元素只能保留一个．如{a，b，b，c}这种表示方法是错误的，应改为{a，b，c}，并且从这种表示法中我们应知道a≠b，b≠c，c≠a.
(3)无序性：即集合中的元素是没有先后顺序的，如{a，b，c}与{b，a，c}是同一个集合．
2．元素与集合的关系
元素a与集合A之间是属于或不属于关系，即要么a A，要么a∈A.关键看元素是否满足集合元素所适合的条件．
3．特殊集合的符号记法
常用数集的符号，应注意两点：
(1)自然数集与非负整数集是相同的，即自然数集N中含有元素0；
(2)非负整数集内排除0的集，表示成N*或N＋这就是常说的正整数集．
本章概览
一、内容概述
本章的主要内容有两部分：1.集合：主要包括集合的概念、表示方法、集合之间的关系及其基本运算.2.函数：主要包括函数的概念及表示方法；映射的概念以及映射与函数的区别与联系；函数的单调性及奇偶性．
二、地位作用
本章中集合部分内容是近、现代数学的一个重要基本理论．一方面，许多重要的数学分支(如高等数学等)都建立在集合理论基础上；另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．本章中函数部分内容是中学数学的重点内容，函数知识和函数思想贯穿中学数学的始终．高考对集合的考查，一般以客观题形式出现，难度中等偏下，对“函数及其性质”的考查是重点，选择、填空、解答题齐全．
三、学法指导
本章是高中学习的起点，学好本章对以后的学习有着重要的意义，在学习中要注意：1.和初中相关的数学知识做好衔接，为新知识的学习做好准备.2.认真思考，准确理解本章各知识点，注意相近知识的区别.
3.在学习过程中，要养成从实验出发，由感性到理性的学习习惯，逐步培养观察、比较、抽象、概括的能力，培养科学严谨的学习态度．另外，新课标还要求同学们要学会运用计算机等现代技术工具探索和研究新问题，通过对本章的学习，探索高中数学的学习方法和数学思想(如集合思想，函数思想，数形结合思想，转化思想等).
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
目 标 要 求
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．
2.了解集合中元素的三个特性(确定性、
互异性、无序性).
热 点 提 示
1.本小节新概念、新符号较多，在学习时，应通过反复阅读教材并在与同学的交流中理解概念，在反复练习中熟悉新符号的使用．
2．集合的概念比较抽象，应联系实际透彻地理解它.
在日常生活中，我们常常需要将一些事物放在一起考虑，并且给它们一个总称，俗语如“物以类聚，人以群分”便是其形象说法．具体如苹果、香蕉、桔子、桃、荔枝等总称为水果；还有如班长、学习委员、文娱委员、体育委员、劳动委员、生活委员等组成班委会．我们能否用一种新的语言来表示这种“类”或“群”呢？“一些事物”具体指什么以及该如何表示呢？
我们可以用以下要学的“集合”来表示这种“类”或“群”的问题．
1．集合
(1)一般地，我们把 统称为元素，把一些元素组成的 叫做集合．
(2)集合相等
只要构成两个集合的元素是 的，我们就称这两个集合是相等的．
(3)集合与元素的表示
通常用 表示集合．
通常用 表示集合中的元素．
研究对象
总体
一样
大写拉丁字母A，B，C，…
小写拉丁字母a，b，c，…
(4)集合元素的特性： 、 、 ．
确定性
互异性
无序性
2．元素与集合的关系
关系 文字语言 符号
属于 a属于集合A a∈A
不属于 a不属于集合A a A
3.常用数集及表示符号
名称 非负整数集
(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符合 N N*或N＋ Z Q R
1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( )
A．与0非常接近的数
B．我班喜欢唱歌的同学
C．我校学生中的团员
D．我班的高个子学生
解析：我校学生中的团员是确定的．
答案：C
2．集合A只含有元素a，则下列各式中正确的是
( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
解析：a是集合A中的元素，∴a∈A.
答案：C
解析：三个均正确．
答案：3
解：∵方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素．
类型一 集合元素的特性及应用
【例1】 下列所给的对象能构成集合的是________．
(1)所有的正三角形；
(2)高一数学必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
(6)参加北京奥运会的年轻运动员．
解：(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；
(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合；
(3)不能构成集合，因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；
(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点距离等于1的点”；
(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．
温馨提示：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键．而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到是否有一个衡量标准．同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性．
解：∵当a＋2＝1时，a＝－1，当(a＋1)2＝1时，a＝0或－2，当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或－2，据元素互异性排除－1，－2，∴a＝0.
温馨提示：注意分类讨论思想在解题中的应用，同时要验证所求值是否满足要求．
类型二 常见数集及其表示
【例3】 给出下列命题：
①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系，自然数集中最小的元素是0，故①③不正确，对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍然为自然数，所以②也不正确．
答案：A
温馨提示：判断命题正误时举反例是一种好办法；对于常用的一些数集的记法要牢记，其中要特别注意自然数集的概念，0∈N，自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N*或N＋.
温馨提示：判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
解析：A中元素不确定；B中两个集合元素相同，因集合元素具有无序性，所以两个集合相等；C中元素明确、具体，可以组成集合；D中元素0.5和 是一个元素，由元素互异性知，元素个数应为三．
答案：C
由实数x2,1,0，x来构成三元素集合，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0，不符合题意．
若x2＝1则x＝±1，当x＝1时不符合题意，当x＝－1时适合．
若x2＝x，则x＝0，x＝1，都不符合．
综上：x＝－1.
解析：考查元素与集合之间的关系及常用数集的记法．①正确；②正确；③不正确；④不正确．故选B.
答案：B
1．集合中元素的基本特征
集合的元素有如下特性：确定性、互异性、无序性．
(1)确定性：即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了；它要么是这个集合的元素，要么不是，二者必居其一．如“著名的科学家”等不能构成一个集合．
(2)互异性：即集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素，也就是说，重复的元素只能保留一个．如{a，b，b，c}这种表示方法是错误的，应改为{a，b，c}，并且从这种表示法中我们应知道a≠b，b≠c，c≠a.
(3)无序性：即集合中的元素是没有先后顺序的，如{a，b，c}与{b，a，c}是同一个集合．
2．元素与集合的关系
元素a与集合A之间是属于或不属于关系，即要么a A，要么a∈A.关键看元素是否满足集合元素所适合的条件．
3．特殊集合的符号记法
常用数集的符号，应注意两点：
(1)自然数集与非负整数集是相同的，即自然数集N中含有元素0；
(2)非负整数集内排除0的集，表示成N*或N＋这就是常说的正整数集．