【八下优化训练】第十八章 平行四边形（含解析）

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2020－2021学年度人教版八年级数学下册优化全方位训练
第十八章
平行四边形
题号
一
二
三
总分
得分
考试时间:100分钟
满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题的4个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.下列语句正确的是
(
)
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C.矩形的对角线相等
D.平行四边形是轴对称图形
2.在□ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则□ABCD的周长是
(
)
A.22
B.20
C.22或20
D.18
3.如图,在□ABCD中,AD＝8,点E,F分别是BD,CD的中点,直则EF等于
(
)
A.
2
B.3
C.4
D.5
4.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF＝12,AB＝10,则AE的长为
(
)
A.13
B.14
C.15
D.16
5.如图,四边形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为
(
)
A.(－5,4)
B.(－5,5)
C.(－4,4)
D.(－4,3)
6.如图,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE＝ED,则∠EBF等于
(
)
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
7.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝8,BC＝6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为0的
(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
8.如图,过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是
(
)
A.S1>S2
B.S1＝S2
C.S1D.不能确定
9.如图,菱形ABCD的对角线相交于坐标原点,点A的坐标为(a,2),点B的坐标为(－1,－),点C的坐标为(2,c),那么a,c的值分别是
(
)
A.a＝－1,c＝－
B.a＝－2,c＝－2
C.a＝1,c＝
D.a＝2,c＝2
10.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE＝DF,AE,BF相交于点,下列结论①AE＝BF；AE⊥BF；AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中,错误的有
(
)
A.1个
B.2个
C.3个8
D.4个
二、填空题(每小题2分,共16分)
11.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO＝1,那么BD________。
12.如图,在□ABCD中,点P是对角线BD上的一个动点(点P与点B、点D不重合),过点P作EF∥BC,GH∥AB,则图中面积始终相等的平行四边形有________对
13.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是________
14.如图,在矩形ABCD中,AB＝3cm,BC＝4cm,点E是BC边上的一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B处,当△CEB为直角三角形时,BE长为________cm.
15.如图,△ABC中,D是边AB上一点,O是边AC的中点,连接DO并延长到点E,使OE＝DO,连接DC,CE,EA,则四边形ADCE的形状是________
16.如图,正方形ABCD的面积为5,正方形BEFG的面积为4,那么△GCE的面积是________
17.如图,菱形ABCD中,AB＝4,∠B＝60°,E,F分别是BC,DC上的点,∠EAF＝60°,连接EF,则△AEF的面积最小值是________
18.如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为________
三、解答题(本题共8小题,共54分)
19.(6分)如图,在□ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AE∥CF,请说明∠AFC与∠AEC的大小关系,并说明理由
20.(6分)如图,□ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.求证:四边形EGFH是平行四边形
21.(6分)如图,△ABC中,∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm.将四△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证:四边形ACFD是菱形
22.(6分)如图,已知□ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点E.
(1)试说明线段CD与FA相等的理由；
(2)若要使∠F＝∠BCF,□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件,并说明你的理由(不要再增添辅助线)
23.(6分)如图,点E、F为线段BD的两个三等分点,四边形AECF是菱形
(1)试判断四边形ABCD的形状,并加以证明；
(2)若菱形AECF的周长为20,BD为24,试求四边形ABCD的面积
24.(6分)将矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求证:四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4,BC＝8,求菱形的边长；
(3)在(2)的条件下求折痕EF的长
25.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝24cm,BC＝30cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D即停止点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动,到点B即停止直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形,分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发,几秒后所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形？
26.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE。
(1)求证:CE＝AD；
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由。
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《参考答案及解析》
第十八章
测评卷
1.C
【解析】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故A错误；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故B错误；矩形的对角线相等,故C正确；平行四边形是中心对称图形,故D错误
2.C
【解析】在□ABCD中,AD∥BC,则∠AEB＝∠DAE.∵AE平分∠BAD∴∠Bae＝∠dae＝∠aeb,∴ab＝BE.
①当BE＝3时,周长＝(BC+AB)×2＝(3+4+3)×2＝20
当BE＝4时,周长＝(BC+AB)×2＝(4+3+4)×2＝22.
3.C
【解析】∵点E,F分别是BD,CD的中点,
∴EF是△BCD的中位线,∴bc＝2EF.
∵AD＝8,四边形ABCD是平行四边形,
∴BC＝AD＝8,∴EF＝4.
4.D
【解析】如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠DAE＝∠AEB,
∵∠BAD的平分线交BC于点E,∴∠DAE＝∠BAE,∴∠BAE＝∠BEA,
∴AB＝BE,同理可得AB＝AF,∴AF＝BE
∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB＝AF,∴四边形ABEF是菱形,
∴AE⊥BF,OA＝OE,OB＝OF＝BF＝6,∴OA＝＝＝8,
∴AE＝20A＝16
5.A
【解析】A(3,0),B(0,4),OA＝3,OB＝4,
∴AB＝＝5,∵四边形ABCD是菱形,∴BC＝AD＝AB＝5,∴点C的坐标为(－5,4)
6.B
【解析】连接BD
∵BE⊥AD,AE＝ED,∴BD＝AB＝AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠A＝60°,
又∵BE⊥AD,BF⊥CD,∴∠BED+∠BFD＝180°,∴∠ADC+∠EBF＝180°,
又∵∠ADC+∠A＝180°,∴∠EBF＝∠A＝60°
7.B
【解析】在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝8,BC＝6,∴AC＝＝＝10,
∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE＝BC＝3,
∴∠EFC＝∠FCM,∵∠FCE＝∠FCM,∴∠EFC＝∠ECF,∴EC＝EF＝AC＝5,∴DF＝DE+EF＝3+5＝8.
8.B
【解析】四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,
∴AD＝BC,AB＝CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形,
在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等,即S1＝S2
9.B
【解析】四边形ABCD为菱形,∴OA＝OC,
又∵点O为坐标原点,∴点A和点C关于原点对称,
∵点A的坐标为(a,2),点C的坐标为(2,c),∴a＝－2,c＝－2
10.A
【解析】四边形ABCD是正方形,∴CD＝AD.
∵CE＝DF,∴DE＝AF,又∵AD＝AB,∠BAF＝∠D＝90°,
∴△ADE≌△BAF,∴AE＝BF,S△ADE＝S△BAF,
∠Dea＝∠AFB,∠EAD＝∠FBA,∴S△AOB＝S四边形DEOF,故①、④正确
∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°∴∠AFB+∠EAF＝90°,
∴AE⊥BF,故②正确.错误的结论是:③AO＝OE
11.2
【解析】在矩形ABCD中,∵对角线AC与BD相交于点
O,AO＝1,∴AO＝CO＝BO＝DO＝1,∴BD＝2.
12.3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ABD＝S△CBD
∵BP是平行四边形BEPH的对角线,∴S△BEP＝S△BHP,
∵pD是平行
GPFD四边形的对角线,
∴S△GPD＝S△FPD
∴s△ABD－S△BEP－S△GPD＝S△BCD－S△BHP－S△PFD,即S□AEPG
＝S□HCFP,
∴
S□ABHG＝S□BCFE,
同理
S□AEFD＝S□GDCH
即
S□ABHC
＝S□BCFE
,S□AGPE
＝S□HCFP,
S□AEFD
＝S□GDCH
13.cm
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴CO＝AC＝3cm,BO＝BD＝4cm,AO⊥BO,
∴BC＝＝5cm,
∵S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2,S菱形ABCD＝BC×AE,
∴BC×AE＝24,∴AE＝＝cm.
14.或3
【解析】如图1中,当A,B′,C共线时,∠EB′C＝90°
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,
∴AC＝＝＝5,
∵AB＝AB′＝3,
∴CB′＝5－3＝2,设BE＝EB′
＝x,则EC＝4－x,
在Rt△CEB′中,CE2＝B′E2+B′C2,
∴(4－x)2＝22+x2,
∴x＝,
如图2中,当点B′落在AD上时,
∠CE′B＝90°,
此时四边形ABEB′是正方形,
∴BE＝AB＝3,
综上所述,满足条件的BE的值为或3.
15.平行四边形
【解析】∵0是AC的中点,∴OA＝OC.∵OE＝DO,∴四边形ADCE是平行四边形
16.－2【解析】∵正方形ABCD的面积为5,正方形BEFG的面积为4,
∴正方形ABCD的边长为,正方形BEFG的边长为2,∴CE＝－2,△GCE的面积
CE·BG＝×(－2)×2＝－2
17.3【解析】连接AC.
则△ABC是等边三角形,
∴AB＝AC,∠ACB＝60°,
∴∠B＝∠ACF＝60°,
∵AD∥BC,∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD,
∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD,
∴∠AEB＝∠AFC,
在△ABE和△ACF中,
.
∴△ABE≌△ACF(AAS),∴AE＝AF,
∵∠EAF＝60°,∴△AEF是等边三角形,
∴AE＝2,
∴△AEF任意一边上的高＝
eq
\r((2)2－()2)
＝3.
∴△AEF的面积最小值＝×3×2＝3
18.6【解析】设BE与AC交于点P,连接BD,
∵点B与D关于AC对称,∴PD＝PB
∴pd+pe＝pB+pE＝BE最小
即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6,∴AB＝6
又∵△ABE是等边三角形,∴BE＝AB＝6
故所求最小值为6.
19.解:∠AFC＝∠AEC,理由如下:平行四边形ABCD中,BC∥AD,又AE∥CF,∴四边形AECF为平行四边形,
∴∠AEC＝∠AFC
20.证明：四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC∴∠EAO＝∠FCO
∵O为AC的中点,∴OA＝OC
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA)∴
OE＝OF.
同理可证得OG＝OH
∴四边形EGFH是平行四边形
21.证明:由平移变换的性质得:CF＝AD＝10cm,DF＝AC,
∵∠B＝90°,AB＝6,BC＝8,
∴AC＝＝＝10,
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10,
∴四边形ACFD是菱形。
22.(1)∵证明四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F,∴∠CDA＝∠DAF；
∵E是AD中点,∴DE＝AE.
∵∠CED＝∠AEF
∴△CDE≌△FAE
∴CD＝AF.
(2)解:要使∠F＝∠BCF,需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系,即BC＝2AB
证明:∵由(1)知,△CDE≌△FAE,∴CD＝AF
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD＝AB
∴AB＝AF,即BF＝2AB
∵BC＝2AB
∴BF＝BC,
∴∠F＝∠BCF
23.解:(1)四边形ABCD为菱形理由如下:如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形AECF是菱形,∴AC⊥BD,AO＝OC,EO＝OF,
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,∴BE＝FD,BO＝OD,
∵AO＝OC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD为菱形；
(2)∵四边形AECF为菱形,且周长为20,AE＝5,BD＝24,∴EF＝8,OE＝EF＝×8＝4,
由勾股定理得,AO＝＝＝3,∴AC＝2AO＝2×3＝6,
s四边形ABCD＝bd·ac＝×24×6＝72.
24.(1)证明∵矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕为EF,∴OA＝OC,EF⊥AC,EA＝EC,∵AD∥BC,∴∠FAC＝∠ECA,在
△AOF和△COE中,,∴△AOF≌△COE
∴OF＝OE,∵OA＝OC,AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形；
(2)解:设菱形的边长为x,则BE＝BC－CE＝8－x,AE＝x
在Rt△ABE中,
,∴(8－x)2+42＝x2,解得x＝5,即菱形的边长为5；
(3)解:在Rt△ABC中,AC＝＝＝4,∴OA＝AC＝2,在Rt△AOE中,
OE＝＝
eq
\r(52－(2)2)
＝,∴EF＝2OE＝2
25.解:设当P,Q两点同时出发ts后,四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形
根据题意,得AP＝tcm,PD＝(24－t)cm,CQ＝2tcm,BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15).
①若四边形ABQP是平行四边形,∵AD∥BC,∴还需满足AP＝BQ
∴t＝30－2t.解得t＝10.
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形,∵AD∥BC,∴还需满足PD＝CQ
∴24－t＝2t.解得t＝8.
∴8s后四边形PQCD是平行四边形
综上所述:当P,Q两点同时出发8秒或10秒后,所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形
26.(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°
又∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB
∴AC∥DE
又MN∥AB,即CE∥AD
D.,
∴四边形ADEC是平行四边形
∴CE＝AD.
(2)解:四边形BECD是菱形。
理由:∵D为AB中点,∴AD＝BD
又由(1)得CE＝AD,∴BD＝CE
又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形
又∵DE⊥BC,∴四边形BECD是菱形
(3)解:当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形。理由:
∵∠ACB＝90°,∠A＝45°,
∴∠ABC＝∠A＝45°∴AC＝BC
又∵D为AB中点,CD⊥AB,即∠CDB＝90°
又∵四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形
∴当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形
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