2011届高三一轮数学复习学案《§8.4.导数的应用之二》

一轮复习学案 §8.4.导数的应用(2) 姓名
☆复习目标：1．综合利用导数研究函数的能力；
2．明确求参数范围的常见思路．
基础热身：
1.设函数．（Ⅰ）求的单调区间；
2.已知向量在区间（－1,1）上是增函数，
求t的取值范围.
知识梳理：
1．单调性与导数
① 若在上恒成立，在 函数
若在上恒成立，在 函数 ( http: / / www. / )
② 在区间上是增函数 在上恒成立；
在区间上为减函数 在上恒成立．
特别注意：什么时候该有？？
2．求参数范围的方法：①分离变量法；②构造函数法.
3．利用导数求函数的最值
　设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤：
　①　　　　　　　　　　　　；②　　　　　　　　　　　　．
4.求函数不等式的基本思路是：
以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论
等多视角进行综合探索.
☆ 案例分析：
例1.已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．
例2.设函数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
在，处取得极值，且．　　
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间； （Ⅱ）若，求的取值范围．
例3.已知函数其中n∈N*,a为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.
例4.已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
参考答案:
基础热身：
1. 【试题解析】
（Ⅰ）． 2分
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数． 6分
2. 解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使在区间
（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
例1. 【试题解析】
（1）因为
令得
由时，在根的左右的符号如下表所示
极小值 极大值 极小值
所以的递增区间为
的递减区间为
（2）由（1）得到，
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，
即或.
例2. 【试题解析】本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．
解：．① 2分
（Ⅰ）当时，；
由题意知为方程的两根，所以．
由，得． 4分
从而，．
当时，；当时，．
故在单调递减，在，单调递增． 6分
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以．从而，
由上式及题设知． 8分
考虑，． 10分
故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．所以，即的取值范围为． 14分
例3. （I）的定义域为，当时
1）当时，由得
当时，单调递减；
当时，单调递增。
2）当时恒成立，无极值。
纵上可知时，
当时在处取得极小值为
当时无极值。
（II）当时，
当时，对任意恒有，故只需证。
令，，
故在上单调递增，即在上恒成立，而
恒成立，
因此，当时，恒有
例4. （Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：．
当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － － 0 ＋
↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．