2011届高三一轮数学复习学案《§8.3.导数的应用之一》

一轮复习学案 §8.3.导数的应用(1) 姓名
☆复习目标：1．理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。
基础热身：
1. 对于总有成立，则= 。
2. 设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
知识梳理：
1．单调性与导数
① 若在上恒成立，在 函数
若在上恒成立，在 函数 ( http: / / www. / )
② 在区间上是增函数 在上恒成立；
在区间上为减函数 在上恒成立.
2．极值与导数
10. 设函数在点附近有定义，如果左 右 ，则是函数的一个极大值;
如果左 右 ，则是函数的一个极小值；
　　　　　　　　　　　　　 如果左右不改变符号，那么在这个根处　　　　．
注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的;
　　③极大值与极小值之间大小关系: ；④数的极值点一定出现在区间的内部.
20.求可导函数极值的步骤：①　　　　　　　　　　　　；
②　　　　　　　　　　　　；
③　　　　　　　　　　　　．
3．利用导数求函数的最值
　设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤：
　①　　　　　　　　　　　　；②　　　　　　　　　　　　．
☆ 案例分析：
例1.已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．
例2.已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
例3.已知函数，R且.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值；
(Ⅱ)当时，求函数的最大值和最小值.
例4.已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。
参考答案:
基础热身：
1. 【答案】4
【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。
要使恒成立，只要在上恒成立。
当时，，所以，不符合题意，舍去。
当时，即单调递减，
，舍去。
当时
若时在和 上单调递增，在上单调递减。
所以
当时在上单调递减，
，不符合题意，舍去。综上可知a=4.
2. 【解析】（I）在取得极值
即
（Ⅱ）即
令
即对任意都成立则即
例1. 【解析】（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，，即．
又所以
．
所以解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．
当时，由得．变化时，的变化情况如下表：
0 0
所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
例2. 【试题解析】
例3. 解：
=
=. --------------------3分
(Ⅰ) ∵曲线在点处的切线垂直于y轴，
由导数的几何意义得，
∴. ---------------6分
(Ⅱ)设，只需求函数的最大值和最小值.---7分
令，解得或.
∵，∴.
当变化时，与的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
函数在和上单调递增；在上单调递减；
----------------9分
当，即 时，函数在上为减函数.
, .
当，即 时，函数的极小值为上的最小值，
∴ .
函数在上的最大值为与中的较大者.
∵，.
∴当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时. --------12分
综上，当时，的最小值为，最大值为；
当时，的最小值为，最大值为；
当时，的最小值为，最大值为. ------13分
例4. 【试题解析】
（I）因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时， 在上为增函数;
当时， 在上为减函数;
当时， 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故.
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为（），则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减，
则, 或,
若,则.由（I）知，,于是
若,则且.由（I）知，
又当时，;
当时，.
因此, 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.