2021年中考数学二轮复习：二次函数中的动点与圆压轴题专题练习（Word版无答案）

中考数学复习二次函数中的动点与圆压轴题专题练习
一．突破与提升策略
1.在平面直角坐标系与圆结合时，如果圆过坐标原点，则圆与坐标轴的交点的连线就是直径．
2.添加合理辅助圆，使分散的条件集中，隐蔽的条件明显．
（1）题目中含有共点的等线段时，以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径构造辅助圆；
（2）题目中确定直角三角形直角顶点的位置时，常利用直径所对的圆周角为直角构造以斜边为直径的圆；
（3）通过作两边垂直平分线的交点确定外接圆圆心．
3.动点与圆结合的问题实质上仍然是考查三角形的知识，只不过图形变得更复杂些，表述更隐蔽．例如：直角问题转化为“直径”“切线”问题，等腰问题转化为半径长度相等问题．
例1. 已知，如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的⊙M与BC交于点R.
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)当△EFR周长最大时，
①求此时E点的坐标及△EFR的周长；
②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值．
【解析】(1)用交点式函数解析式得：y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；
(2)①∵由题意得，∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC，
∴△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，
设E(m，－m2＋2m＋3)，F(m，－m＋3)，∴EF＝－m2＋3m，
当m＝时，EF＝，E，则Rt△EFR中，ER＝FR＝，∴△EFR的周长为＋；
②如图，连接OP，点H为OB的中点，
∵Q是PB的中点，∴HQ∥OP，且HQ＝OP，∵EF＝，FH＝，
∴点M，∴OM＝BM＝，
∵OP≤OM＋PM＝＋，
∴HQ≤＋，即HQ的最大值为＋.
二．能力达标靶向练习
1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝－5x＋5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC，PA，当点P运动到某一位置时，PC＋PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．
3.抛物线y＝－x2＋x－1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D.将抛物线位于直线l：y＝t上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
(1)点A，B，D的坐标分别为________，________，________；
(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围；
(3)如图②，当t＝0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A、B两点（点B在
点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于
C、D两点（点C在点D的上方），直线AC、DB交于点E．若AC：CE＝1:2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
5.在平面直角坐标系中，直线y=x+1交y轴于点B，交x轴于点A。抛物线y=x2+bx+c经过点B,与直线y=x+1交于点C（4,-2）.
求抛物线的解析式；
如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求△DEM的周长.
将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转900，得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标。
6.如图，抛物线(为常数，＞0)与x轴交于O，A两点，点B
为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，
A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE=DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当=，∠CAE=∠OBE时，求的值．
7.如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=时，求点P的坐标．
8.如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+72交于B、C
两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，直线y=x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y=x2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心， CE的长为半径作圆，点P为直线y=x-3上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BDP周长的最小值；
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于 CE时，过PQ两点的直线与抛物线交于MN两点，点M在点N的左侧，求四边形ABMN的面积．
10.如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；
（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．