2021版高三数学考试常用公式大全及必记结论PDF版
文档属性
| 名称 | 2021版高三数学考试常用公式大全及必记结论PDF版 |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 643.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-31 19:53:31 | ||
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文档简介
第一篇 考前必看公式与结论
专题 01 常用公式大全及必记结论
一、集合与简易逻辑
1.几何关系及运算中常用结论
ABAABB??=?= ????ABCBCAUU ?=ΦACB? U ?=CABRU ?
2．含有 n n
nZs3P,?L?
8? 92 个子集； n
2 –1个真子集；非空子集有 2 –1个；
非空的 真子集有 n
2 –2个.
3.含逻辑连接词命题真假判定
① p>?p+- 科/ 网
② pq∧
pq∨
4.常见结论的否定形式
结 是 都 大 小 至少一 至多 至少 nZ 8# J 9)p 9p F pD )+…x?
论 是 于 于 个 一个 nZ x?@0? q q =@0?
否 不 不 不 不 一个也 至少 至多有 至少有 存在某 ?p ?p x?
定 是 都 大 小 没有 两个 （ n?1 （ n+1 x?=@且 @0?
是 于 于 0? ?q ?q
5.特称命题与全称命题的否定
全称命 题：对 ?∈xA px()@0???
V?j??∈xA ?px()
?∈xA px()@0???
V?j??∈xA ?px()
6. .四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ 则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
原命题 与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假
7.充要条件判定方法
① 定义法： 若 pq? p _qu6 ‘&×9qp? p _q??± ‘&×9pq? qp? p
_qu?± ‘&.
②集合法：若满足条件 p,?L?
8j A，满足条件 q,?L?
8j B，若 A B，则 p _q,?u6=??± ‘&×9
B A，则 p _q??±=u6 ‘&×9A=B则， p _ q充要条件。
对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法 .
二、函数
1. 函数值域与最值求法
(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法 .
(2)换元法： 换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代数换元和三角代
换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为 t?? _??sinxF
cosx,??!Q-???
[sin cosxx+ cossinxx ,?-?1yh+X’s#?hA?sinx =t ， cosx=t ，
sin cosxx+ =t，等等，在用代数换元法时， 注意①新变量的范围 .②在换元前后原变量的范围应保持不变；
对于 x?y%C? 6,?é0;F ] 6,?é0;F
Fj?é
?j1 的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换
即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为 [1,1]? 0， 1）的含二次根式的函数的最值问题，常设
2
x=sinθ或 x=sin θ.，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围
（3 ）利用函数有界性求值域（最值）
若可化为关于 2 x
x ?sinx? cosx、 a （ a?0且 a.1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有
1界性求最值，这类问题通常有两种思路，（ 析式看作方程，用）将函数解 2
y6x ?sinxFx>?/j* ??Y
2
+Xx ?sinx1ylFx93 $? Fj??y,?=1y??FJE÷@??y,?=1y?"r*y,?93 $? ?
"r* 0l×
Y+XF ?-?,? 9+|W??Y+X=1y?WCXF-?,? .?>WCX?"r*-?,? 0l.
（4 ） 不等式法
.若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域
若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形
式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利
用重要不等式求最值时，. 应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最
.值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值
（5） 利用判别式求值域（最值）
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常
可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，
另外要注意要验证判别式为 0 时是否成立．
（6） 数形结合法
对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个
区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据 x,?93 $?"r*?-?,?l?5
89@
-?,? .??"r*9@-?,?93 $? XY+X=1y?,?WCX"r*l?F 2? 0lL N? _Q6363 ,?G?&é
（7 ） 分段函数的值域
先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域 .
（8 ） 复合函数的值域
先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，
在求出完函数的值域就是复合函数的值域 .
axb+
2.分式函数 fx()= ab≠0
cxd+
bcad?
axb+ a 2
通过常量分离化为： fx()= = + c
cxd+ c d
x+ c
bcad?
d a 2 d d d
对称中心为（ ? ??
6-?y= c 的图像向左（ ?0）( 向右（ ?0| ））平移 |个单位，
c c x c c c
a a a
再向上（ ?0）（向下（ ?）0）平移 | |个单位得到 .
c c c
d d
当 bcad? 0 时， fx()? jL$j?-∞， ? ? + ∞）；
c c
d d
当 bcad? 0 时， fx(),?? jL$j?-∞， ? ? +∞） .
c c
3.二次函数 2
fxaxbxca()=++≠( 0)
(1)解析式：①一般式 2
fxaxbxca()=++≠( 0);
②顶点式 2
fxaxhka() ( ) ( 0)=?+≠ ;
③零点式 fxaxxxxa() ( )( )( 0)=??≠12 .
2
b 4acb? b
（2） 性质: 顶点为（ ? x=? ；
2a 4a 2a
b b
当 a?0时，减区间为（ -∞， ? ? + ∞）；
2a 2a
b b
当 a?0时，增区间为（ -∞， ? ? + ∞）
2a 2a
4.闭区间上的二次函数的最值
b
二次 函数 2
)( acbxaxxf ≠++= )0( XL jL$[ ],qp :,? 0l
7- Xx ?=
2a
b
(1)当 a?0时， x ??= [ ],qp fx fpfq() (),()max max= { } fx fpfq() (),()min min= { }.
2a
b b
若 x ∈?= [ ],qp fx f() ()min =? fx fpfq() (),()max max= { }
2a 2a
b
(2)当 a?0时，若 x ∈?= [ ],qp fx fpfq() min(),()min = { }
2a
b
x ??= [ ],qp fx fpfq() max(),()max = { } fx fpfq() min(),()min = { }.
2a
5.一元二次方程的实根分布
2 2
x1?x2 _0s?!Qé0;axbxc++ =0的根，设 fx()=axbxc++
根的分布 充要条件 充要条件 1 u?± ‘&2
x2, x1∈ (m ,+ x1＞ mD ? ?
( )( )0xmxm12?+?> b
??>m
? ? 2a
∞) ??> ? 2
x2＞ m ?( )( )0xmxm12 ??=? ≥b ac40
? 2 ?
??=? ≥b ac40 ?afm()0>
??
x1,x2∈(- x1＜ mD ? ? b
( )( )0xmxm12?+?< ??? ? 2a
∞, ? 2
m) ??<
x2＜ m ?( )( )0xmxm12 ??=? ≥b ac40
? 2 ?
??=? ≥b ac40 ?afm()0>
??
x1?m?x2 x1?m?x2 ( )( )0xmxm12??< afm()0<
m ＜ x1 ?x2 m＜ x1?x2? ( )( )0xmxn12??< ? b
?mn?n n ??
??=? ≥b ac
?afm>
?
??afn>
6. 不等式恒成立、有解判断结论：
(1)NfxM<<() ? [()][()]0fxMfxN? ?<
对于参数 a ú-?yfxxA= ∈(), .
若 afx≥ () afx≥ max() afx≤ () afx≤ min()
若 afx≥ () afx≥ min() afx≤ () afx≤ max()
若 afx= () fxafxmin() ()≤≤ max .
7.函数的单调性
(1)设 x1?x2∈[a,b],x1 ≠ x2
f(x1)? f(x2)
( )()()0xxfxfx12 1 2??>[ ] ? >0? f(x)在 [a,b]上是增函数；
x1?x2
f(x1)? f(x2)
( )()()0xxfxfx12 1 2? ? x1?x2
(2)设函数 y = f(x) f′(x)>0?If(x)j?-?×? ?f′(x)<0?If(x)j
?-?.
8.单调函数性质与复合函数单调性
如果函数 f(x)
?g(x) X-(
< jL$: _ …B3-?则①增函数+ , 增函数是增函数；②减函数 +减函数是减函
数；③增函数 -减函数是增函数；④减函数 - 增函数是减函数；
如果函数 y = f(u) u = g(x), 则复合函数 y = f[g(x)]
.
如果函数 y = f(u) u = g(x)
y = f[g(x)].
9 ．函数的奇偶性
fx() 是奇函数 ? x ?G- 9fxfx() ()?=? ? x ?G- 9
fxfx()()0?+= ? fx() .??? ?&é)0 ×
fx() 是偶函数 ? x ?G- 9fxfx()()?= ? x ?G- 9
fxfx()()0??= ? fx() .???yE¤)0 ×
10.函数 yfx= ()
①若函数 y = f(x) xa= ? xG- 9fax()+ = fax()? ?对定义域内任意 xG-
9fx()= fax(2 )? ? yfxa= +()是偶函数；
②函数 = xfy )( a?0） ? xG- 9fax()? =－ fax()+ ? fax(2 )? =－
fx() ? yfxa= +()
+ba
= xfy )( xG- 9 ?=+ xbfaxf )()( ,则函数 xf )( ,?)0 E¤ _ x =
2
ab+
④若函数 = xfy )( xG- 9fxa fbx()()+=?? ,则函数 xf )( ,?)0 E¤]ój( ,0)
2
⑤函数 yfxa= ?(| |) xa= .学+-科/- 网
11.两个函数对称的结论
+ba
①两个 函数 += axfy )( ?= xbfy )( 的图象关于直线 x = .
2
②函数 yfx= () yfx=?() x=0(即 yE¤)对称 .
③函数 yfx= () yfx=? () y =0(即 xE¤)对称。
④函数 yfx= () yfx=??()0,0 ）（即原点 )对称。
12.函数 = xfy )(
yfx= ()ω 向左( a aa><0)( ( 0))||向右 单位 yfxa= +(( ))ω
?????????????????????????????????????
= xfy )( 向上( b bb><0)( (0))||向右 单位 yfxb= +()
?????????????????????????????????????
= xfy )( ???????????????????????????????????????x xx轴下方部分沿轴对折到轴上方 yfx=|()|
= xfy )( 擦除轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折 y yfx= (||)
?????????????????????????????????????????????
13.几个函数方程的周期 (约定 a>0)
（1） 对定义域内任意 xG- 9 += axfxf )()( xf )( ,?
? OT=a；
1
（ 2） 对定义域内任意 xG- 9fxfxa() ()=?+ axf )( =+ xf ≠ )0)(( ?
xf )(
1
或 fxa()+=? (()0)fx ≠ ,则 xf )( ,?
? OT=2a；
fx()
（ 3）若函数 xf )( ??x=a， x=b对称，则 xf )( ,?
? Oj2| |ba?
4）若函数 xf )( ???a?0），（ b?0）对称，则 xf )( ,?
? Oj2| |ba?
5）若函数 xf )( ??x=a，（ b?0）对称，则 xf )( ,?
? Oj4| |ba? .
14.分数指数幂
m 1 ?
(1) n
a = （ >∈ > .
n m a mnN0,, n 1
a
?m 1 ?
(2) n
a = m （ a mnN>∈0,, n>1.
n
a
15．根式的性质
?1） n n
()aa= .
（2）当 n n
njw? &?aa=
?aa,0≥
当 n n
nj?? &?aa==|| ? .
??16．有理指数幂的运算性质
+
(1) rs rs rs rs
aaaarsQ?= >∈( 0,, )() ( 0,, )a aarsQ=>∈
r rr
() ( 0, 0, )ab aba b rQ=>>∈
p
注： 若 a＞0， p是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数
.幂都适用
17.指数式与对数式的互化式
b
loga NbaN=?= ( 0, 1, 0)aaN>≠>
对数的换底公式
logm N
loga N = a>0且 a≠1,m>0且 m≠1, N >0
logma
推论 n n
log logam bb= a a>0且 a>1,mn,0> 且 m≠1,n≠1N >0
m
对数恒等式： logaM
aM=
19．对数的四则运算法则
若 a＞ 0，a ≠1 ，M＞ 0，N ＞0，则 (1)log( )log loga aaMN M N= +
M n
log log logaaa= ?MN log log ( )aaMnMnR= ∈
N
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 x
p?I)? &L$x,?k×ly? 9yNp= +(1 ) .
三、数列
1.数列的第 n项与前 n项的和的关系
?sn1,1=
an =? 数列 {}an ,?} n项的和为 saa ann=+++12 ? ).
?ssnnn?≥?1,2
2.等差数列的 通项公式
*
aa n ddnadnNn =+?=+?∈11(1) ( )；
naa()
其前 n项和公式为 1+ n nn(1)? d 2 1
sn = = +na d1 =+?nadn()1 .
2 2 22
3.等比数列的 通项公式
nn?1*a1
aaq qnNn ==?∈1 ()；
q
其前 n项的和公式为
n
?aq1(1 )? ?aaq1? n
? ,1q ≠ ? ,1q ≠
sn =? 1?q 或 sn =? 1?q .
? ?
?naq1,1= ?naq1,1=
4.等比差数列 {an}:a qadabqnn+11=+=≠, ( 0)的通项公式为
?bndq+?=(1), 1
?
= nn?1
an ?bq dbq d+??() ；
? ,1q≠
? q?1
其前 n 项和公式为
?nbnn dq+?=(1),( 1)
?
= n
sn ? dqd1?
?( )b?+≠nq,( 1)
? 1 11???qq q
四、三角函数与解三角形
1．常见三角不等式
π
（1）若 x∈(0,) sin tanxxx<< .
2
π
(2) 若 x∈(0,) 1sin cos 2<+≤xx .
2
(3) |sin||cos|1xx+≥
2.两角和差的三角函数：
令 α=β 2 2
cos(α±β)= cosαcosβ?sinαsinβ????→cos2α = cos α?sin α
tanα±tanβ 2 2
tan(α±β)= = 2cos α?1=1?2sin α ?
1?tanα·tanβ
2 1+cos2α
cos α =
2tanα 2
tan2α = 2
1?tan α 2 1?cos2α
sin α = 2
辅助角公式 ： 2 2
asinx+bcosx = a +b sin(x+θ)(其中 θ a, b 的符号确定， θ
b
tanθ= .??)在求最值、化简时起着重要作用 .
a
2tanα
sin2 sincosααα= = 2
1tan+ α
2
22 2 2 1tan? α
cos2 cos sin 2cos 112sinαααα α= ? = ?=? = 2 .
1tan+ α
sin2αα2 1cos2? θθθθ2
tanαα= ,cos = 1sin± θ=±=±(cos sin)|cos sin|
1cos2+ ααsin2 2222
? π?
sinα+cosα = 2sin?α+ ?
? 4?
? π?
sinα+ 3cosα = 2sin?α+ ?
? 3?
3.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论：
π
①正弦函数 y xxR= ∈sin( ) (kkZπ,0)( ∈ ) xk kZ=+∈π ( ).
2
π
函数 yAx= +sin( )ω? ω?πxk+=+ (kZ∈ )
2
ω?πxk+= (kZ∈ ) 0.学* -科+ -/网
??π
②余弦函数 y xxR= ∈cos( ) ??k kZπ+∈,0 ( ) xkkZ= ∈π( ).
??2
函数 yA x= +cos(ω?) ω?πxk+= (kZ∈ )
π
ω?πxk+=+ (kZ∈ )的解，对称中心的横坐标为 0.
2
π ??kπ
③正切函数 y xxk= ≠+tan( )π (kZ∈ ) ??,0 (kZ∈ ) yAx= +tan(ω?)
2 ??2
k
ω?πx+= (kZ∈ ) 0?-?yx= +tan(ω?)
2
.
abc
4.?ABC中的结论： （ 1） 正弦定理： = = =2R.
sin sin sinABC
（2） 余弦定理： 222 222 222
abc bc A=+?2cos ;bca ca B=+?2cos cab ab C=+?2cos
111
（3）面积定理： S ah bh ch= = =abc hhhabc、 、 分别表示 a、 b、c 边上的高） .
222
111
S abC bc A ca B= = =sin sin sin
222
C ABπ +
（4）其它结论： ABC C AB++=?=?+ππ () ?=? ?=?+2 2 2( )C ABπ .
222
① sin sin( )A BC= + ,cos cos( )A BC=?+ tan tan( )A BC=?+
A BC+ A BC+ A BC+
② sin cos= ,cos sin= tan cot=
22 22 22
③ abAB AB>?>? >sin sin .
π
④锐角 ?ABC,AB+> sin cos,cos cosABAB><
2
⑤ tan tan tan tantantanABCABC++= .
五、平面向量
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
??
(1) 结合律： λ? λ?()()aa= ;
???
(2)第一分配律： ()λ?λ?+=+aaa;
????
(3)第二分配律： λ λ?()abab+=+
2.向量的数量积的运算律：
?? ?? ?? ?? ??
(1) ab? ba? ()λab? λab? ab?()λ
???????
()abcacbc+?=?+?
平面向量基本定理
?? ???
如果 e1 e2 λ ?
? ?? ???
a=λ?ee12+
?? ???
=?4?,?
AG? e1 e2
4．向量平行的坐标表示 学网
???? ???? ????????
11.对空间任一点 O
?=?4?,?9&éA、 B、 C，满足 OPxOAyOBzOC=++ xyzk++= k =1
O?k 9P、A 、B 、C 四点 共面；当 k ≠1 O∈ ABC，则 P、 A、B、 C四点 共
面；若 O? ABC，则 P、A 、B、 C 共面．四点不
???? ???? ???? ???? ???? ????
AB、 、 C 、 D 四点共面 ? ADAB AC ? ADxAByAC= + ?
???? ???? ???? ????
OD xyOAxOByOC=?? ++(1 ) （ O? ABC）.
12.空间向量基本定理
? ? ? ?? ??
如果三个向量 a b c p x?y?z??p
???
xaybzc++
推论 设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x， y， z，使
???? ???? ????????
OPxOAyOBzOC=++ .
13. 射影公式
???? ? ?
已知向量 ' '
AB=a和轴 l?e l:>l
<é
A,? …}
AG?.? A点在 l:,?4?A??B点在 l:,?4?B ?
I
'' ???? ? ? ??
ABAB=| |cos〈 a e= ae?
向量的直角坐标运算
? ?
设 a (,,)aaa123 ?b (,,)bbb123 I
? ?
(1) a＋ b (,,)ababab112233+++
? ?
(2) a－ b (,,)ababab112233???
?
(3)λ a (,,)λλλaaa123 (λ∈R) ；
? ?
(4) a b＝ ababab11 22 33++
15.设 A(,,)xyz111 ，B (,,)xyz222 ，则
????????????ABOBOA= ? (,,)xxyyzz212121???
．空间的 线线平行或垂直
?xx12=λ
? ? ?? ???? ?
设 axyz=(,,)111 bxyz=(,,)222 ab? ? abb= ≠λ( 0) ? ?yy12=λ
??zz12=λ
?? ??
ab⊥ ? ab?=? xxyyzz ++=
17.夹角公式
? ?
设 a (,,)aaa123 ?b (,,)bbb123 ?I
? ? ababab++
cos〈 11 22 33
a b=
222222
aaabbb123123++ ++
推论 2222222
(abababaaabbb11 22 33 1 2 3 1 2 3++≤++ ++)( )( )，此即三维柯西不等式 .
18 ．异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫异面直线，特征：既不相交也不平行 .
(2)异面直线所成角概念： ab, _T ‘-$4?? O是空间任意一点，过 O作 a′ a?b′ b?I-(?-$4?a′
π
b′ ab, p@,?@?93 $??0 ， ].
2
（3）异面直线 ab, p@@,?"r@MD
①定义法：根据异面直线所成角的定义，通过过一点（通常在一条直线上取一点）作两条异面直线的平行
线，转化为相交直线的夹角，通过解三角形求解，解题步骤，一找 .二作三证四解
??
?? ||ab? ||xxyyzz++
②向量法： cos|cos,|θ= 12 12 12
ab = ?? =
222222
||||ab? xyzxyz111222++?++
??
（其中 ??
θ 0 90<≤θ ab, p@@? ab, 分别表示异面直线 ab, ,?é
A
AG??
19.直线 AB>?M’α
（1 ）概念：斜线与直线在平面的射影所成的锐角叫这条斜线与这个平面所成的角，规定：直线与平面平行
π π
或在平面内，直线与平面所成的角为 0；直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 [0,
2 2
求线面角的思路
①几何法：根据定义转化为斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二
作三证四解 .学*/ -科网
? ??
②向量法：若直线 a,?é
A
AG?jn α m a>?M’α θ
???
??? nm?
sinθ=|cos ,|<>mn ???
nm
20. 二面角
（1）二面角定义： 从一 .条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱，这两
.个平面叫做二面角的面
（2）二面角平面角的定义： 过 射线，这两条射线所组 分别在两个半平面内作垂直于棱的两条二面角棱上一点
.成的角叫做二面角的平面角
（3）二面角问题的解题思路
①几何法： 解题步骤，一找二作三证四解， 作二面角平面角有三种方法：①垂面法，过棱上一点作棱的垂面，
一点作棱的垂面， 垂面与两个半平面交于两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，若易过棱上
, 常用此法 如若已知过一点与两个半平面垂直的直线，则过这两线做棱的垂面，与两个半平面的交线所成的角
.就是二面角的平面角 ；②垂线法，过棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二
面 角的平面角，若过棱上一点在两个半平面内易作棱的垂线，常用此法，如若两个半平面都是以棱为底等腰
三角形或一个以棱为底等腰三角形，则做等腰三角形底边上的高，在另一个半平面内过垂直作棱的垂线，所
得的角就是二面角的平面角；③三垂线法，若已知过一个半平面内一点的直线与另一个半平面垂直，常过这
一点在这个平面内作棱 的垂线，则所作垂线的垂直与线面垂足与所作垂线所成的角就是二面角的平面角，然
. 后证明所作角为二面角的平面角，再转化为三角形内角计算 在做二面角的平面角时，注意观察两个半平面的
. 特点，选择合适的方法作二面角的平面角
②向量法：对二面角 αβ??l α β m?n??"r*m?n,?i@?
???? ????
Xα A，在 β B，设二面角 αβ??l θ n?AB>m?AB
<
'?Iθ= m,n ，
???? ????
若 n?AB>m?AB2
'?Iθ=π? m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系 .
'
S
③面积射影 定理法： '
S = .(平面多边形及其射影的面积分别是 S?S ?? p X?M’p@K@?M’@
cosθ
,?j θ).
21.三视图的一般要求
正 视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，化三视图
的基本要求是：“正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高” .
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则 .
22.几何体的体积与表面积
1
V Sh
柱体 = （ S _ !?,??M’0 ?h _ !?,?Q?.
3
1
V Sh
锥体 = （ S _KU?,??M’0 ?h _KU?,?Q?.
3
1
V SSSSh
台体 = +（ +)′′ （ S?S′ h _
?,?Q?
3
4 3
VR
球 = π （球的半径是 R）
3
S
圆柱侧面积 2πrl（ r _ 6 !,??M’,? z??l _ 6 !,?!?4?K??
S
圆锥的测面积 =πrl（ r _ 6KU,??M’,? z??l _ 6 !,?!?4?K??
S
圆台的测面积 =π（ rr12+ )（ r1?r2 _ 6
,?:?;?M’,? z??l _ 6
,?!?4?K??
2
SR
球表面积 =4π （球的半径是 R）．
23. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体 :
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .
(2)球与正方体的组合体 :
正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球
.的直径是正方体的体对角线长
(3) 球与正四面体的组合体 :
6 6
棱长为 a,?!“ M’?,??7*3,? z?j a,外接球的半径为 a.
12 4
九、计数原理、概率、随机变量及其分布
1.分类计 数原理（ 加法原理）
Nmm m=+++12 ? n
分步计数原理（ 乘法原理 ）
Nmm m=×××12 ? n
排列数公式
m n！
*
An =n(n?1)?(n?m+1) n， mN，且 mn≤ )．注: 规定 0!=1.
(n?m)！
4.组合数公式
m
m An n(n?1)?(n?m+1) n！
*
Cn = m = = n∈ N， mN∈ mn≤ ).
Am 1×2×?×m m！ ?(n?m)！
注:规定 0
Cn =1.
5.组合数的两个性质
(1) m n?m m m?1 m
Cn =Cn Cn +Cn =Cn+1
6．排列组合问题常见解法
1、元素分析法： 在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
2、位置分析法： 在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。
3、间接法： 又叫排除法， 在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合
条件的排列数。
4、树图法： 又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在 3 个
以上，排列组合问题。
5、五、逐一插入法： 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些 “特殊元素 ”按指定顺序排列，再
将“ 普通元素 ”逐一插入其间或两端。
6、消序法： 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换
位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。
7、优序法： 若干元 素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按 “”特殊元素 个数选出若干位置，
并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。
8、捆绑法 ：若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最
后再考虑这几个相邻元素的顺序。
9.插空法 ：若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空
挡插入这些特殊元素。学科 +-*/网
10. 查字典法： 对数的大小顺序排列问题常用此法。（ 1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出
来；（ 2）再找下一位数字。
11、分组问题： （ 1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。
（ 2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素
个数相同组数的全排列以消序。
12.隔板法： 又叫隔墙法，插板法， n n件相同物品（ 个名额）分给 m 个人，名额分配，相同物品分配常用
此法。
若每个人至少 11件物品（ 个名额），则 nn件物品（ 名额）排成 1排，中间有 n-1个空挡，在这个
m?1
n-1空档选 m-1个空挡放入隔板，隔板 1种插法对应 1种分法，所以有 Cn?1 /?6#?
物品若允许有人分不到 ，则先把 n 件物品和 m-1块隔板排成一排，有 n+m-1个位置，从这个位置中选 m-1
?
个位置放隔板，有 m 1
Cn+m?1/?é#??6n件物品放入余下的位置，只有 1种方法， m-1块隔板将物品分成 m
?
块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每 m 1
1种隔板的放法对应一种分法，所以共有 Cn+m?1/?6#?
7. 排列组合综合问题： 应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，
注意分类讨论。
8 ．分配问题
（ 1） (平均分组有归属问题 )将相异的 m ?n Z(?&1y65 m Zê?
4?n &??6G}é#?? 9
n n n n n (mn)!
N =Cmn ?Cmn?n ?Cmn?2n ???C2n ?Cn = m .
(n!)
（2）( 平均分组无归 属问题 )将相异的 m·n个物体等分为无记号或无顺序的 m6??6G}é#?? 9
n n n n n
C
= mn ?Cmn?n ?Cmn?2n...?C2n ?Cn (mn)!
N = m
m! m!(n!)
（3） ()非平均分组有归属问题 将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??65 mZê?(?&?N?>?6??6[?
`n1 ?n2 ??nm &?Dn1 ?n2 ??nm F m Z??!”=-(1y?I?6G}é#?? 9
n1 n2 nm p!m!
N =Cp ?Cp?n1...Cnm ?m!= .
n1!n2!...nm!
（4） ()非完全平均分组有归属问题 将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??65 mZê?(?&?N?>?6??6
[?`n1?n2??nm&?Dn1?n2??nmF mZ?]6[ 9a、 b、c 、…个相等，则其分配方法数
n1 n2 nm
Cp ?Cp?n ...Cn ?m! pm!!
有 1 m
N = =
a!b!c!... nnnabc12!!...!(!!!...)m
（ 5） (非平均分组无归属问题 )将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??6j+?,? n1?n2??nm& Aà
'
p!
,? m6?Dn1?n2??nmF mZ??!”=-(1y?I?6G}é#? 9N = .
n1!n2!...nm!
（ 6） (非完全平均分组无归属问题 )将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??6j+?,? n1?n2??nm&
Aà
',?m 6?Dn1 ?n2 ??nm F m Z?]6[ 9a、 b、 c、…个相等，则其分配方法数有
p!
N = .
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
（7） (限定分组有归属问题 )将相异的 p?pnn n=
1+++2 ? m?Z(??65 +b?‰?I?1y mZê?(?
??N?>?6??? ?7?+b?n1&?‰?n2&?I?n3&? &?I Aên1?n2??nm1ymZ? _
V
?-(2F=?-(2?6G}é#?? 9
n1 n2 nm p!
N =Cp ?Cp?n1...Cnm =
n1!n2!...nm!
? ? ?
9.二项式定理 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n
(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +?+Cna b +?+Cnb ;
二项展开式的通项公式
r n?r r
Tr+1 =Cna b (r =0，1， 2?， n)
m
等可能性事件的概率 PA()= .
n
11.互斥 事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋ B)=P(A)＋P(B)．
12.独立事件 A，B 同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B)． pA()=1()? pA （ A _A,?)0??&?
13.n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率
kk nk?
PkCP Pnn() (1 ).= ?
几何概型中， 事件 A,? ?)·A?1???
构成事件 A的区域长度（面积或体积）
pA()=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
条件概率
PAB()
设 A、B 为两个事件，且 pA()?0，称 PBA(|)= A发生的条件下，事件，事件 B 发生的
PA()
.P(B|A)条件概率 读作 A发生的条件下 B.发生的概率
16. 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1） Pii ≥=0(1,2,)? ;
（2） PP12++=? 1.
17. 离散随机变量的数学期望、方差、标准差
ExPxP xPξ=+++11 22 ? nn
22 2
Dξ=（ xEPxEP xEP1 12 2-()()ξξ ξ） +? ++?? nn，
σξ Dξ.
18. 数学期望的性质
（1） EabaE b( ) ()ξξ+= + .
（2）若 ξBnp(,),则 E npξ= .
? 1
(3) 若 k 1
ξ, 且 P kgkpqp( )(,)ξ== = Eξ= .
p
19. 方差的性质
(1) 2
DabaD( ξξ+=) ；
(2）若 ξBnp(,)?ID np pξ= ?(1 ).
? q
(3) 若 k 1
ξ, 且 P kgkpqp( )(,)ξ== = Dξ= 2 .
p
20. 方差与期望的关系
2 2
DEEξξξ= ?( )
常见分布列
（1 ）两点分布：
（2 ）二项分布：在 n!Q) 0?G?=BP?]?+Xξ A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p?
kk nk?
Ipk()ξ= =Cp pn (1 )? （ k=0,1,2，……，n ） ，称随机变量 ξ ξBnp(,)??
0 pj@?,? ?)· .学- *科/ -+网
（3）几何分布： 若一次试验中某事件发生的概率为 p，在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的实
?
ξ验的次数 =k的概率为： k 1
p(ξ= k) = pq k=1,2,… ;q=1-p,
称ξ服从几何分布，并记作 g(k,p)=qk-1p
（4 ）超几何分布：
一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 ξ
knk?
CCMNM?
pk()ξ= n （ k=0,1,2m，……， ）
CN
其中 *
m=min{,}Mn ，且 n0N，M ≤ N，M,N ∈ N ?I0 L? j
G?ξ .
22. 正态分布
?(x??)2
b 1 2
若对于 ? a?bR，随机变量 ξ 26
Pa b()<≤ξ = ，
∫ x∈?∞+∞, ξ
a e dx ( )
26π
正态分 布，记作 N（μ， 2 2 2
σ σ>0），若随机变量 ξ ξN(,)?σ (?为期望， σ
), 当 ?=0， σ=1称为标准正态分布 .
23. 正态分布的性质
（1）曲线在 xE¤:é?>xE¤=-(?.
（2）曲线是单峰的，它关于直线 x=?对称.
（3）曲线在 x=?处达到峰值 .
（4）曲线与 xE¤{L$,?M’0 j1.
（5） ? σ . σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ
.
24.正态分布问题的解题思路
常结合正态分布密度曲线，利用对称性求解 .
25.回归直线方程
nn
?
? ∑∑(xxyy xynxyi i?? ?)( ) ii
? ii=11=
b= =
? nn
yabx=+ ，其中 ? 2 22 .
? ∑∑(xxii??) xnx
ii=11=
?
?aybx=?
回归直线一定过样本中心点（ x?y?.
26.相关系数
n n
∑(xxyyii??)( ) ∑(xxyyii??)( )
i=1 i=1
r = =
nn nn
22 2222
∑∑()()xxyyii?? ( )( )∑∑xnx ynyii??
ii=11= ii=11=
≤1，且 |r|越接近于 1|，相关程度越大； r |越接近于 0，相关程度越小 .
27. 散点图
表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图。
28. 正相关、负相关
如果散点图中的点散步在从左下到右上的区域内，称为正相关，若分布在从左上角到右下角的区域内，称
.为负相关
29. 独立性检验
假设两个分类变量 X
?Y ?? ,?
7-
l6[j{,}xx12
?{,}yy12 ?? g \N??2×2 列联表为
总计
y1 y2
x a +
1 b ab
x c +
2 d cd
总计 ac+ bd+ abcd+++
常用独立性检验来考察两个分类变量 X ?Y _
V 9?3+??7-E?2?.? `5 *F /?T?,?
M
专题 01 常用公式大全及必记结论
一、集合与简易逻辑
1.几何关系及运算中常用结论
ABAABB??=?= ????ABCBCAUU ?=ΦACB? U ?=CABRU ?
2．含有 n n
nZs3P,?L?
8? 92 个子集； n
2 –1个真子集；非空子集有 2 –1个；
非空的 真子集有 n
2 –2个.
3.含逻辑连接词命题真假判定
① p>?p+- 科/ 网
② pq∧
pq∨
4.常见结论的否定形式
结 是 都 大 小 至少一 至多 至少 nZ 8# J 9)p 9p F pD )+…x?
论 是 于 于 个 一个 nZ x?@0? q q =@0?
否 不 不 不 不 一个也 至少 至多有 至少有 存在某 ?p ?p x?
定 是 都 大 小 没有 两个 （ n?1 （ n+1 x?=@且 @0?
是 于 于 0? ?q ?q
5.特称命题与全称命题的否定
全称命 题：对 ?∈xA px()@0???
V?j??∈xA ?px()
?∈xA px()@0???
V?j??∈xA ?px()
6. .四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ 则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
原命题 与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假
7.充要条件判定方法
① 定义法： 若 pq? p _qu6 ‘&×9qp? p _q??± ‘&×9pq? qp? p
_qu?± ‘&.
②集合法：若满足条件 p,?L?
8j A，满足条件 q,?L?
8j B，若 A B，则 p _q,?u6=??± ‘&×9
B A，则 p _q??±=u6 ‘&×9A=B则， p _ q充要条件。
对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法 .
二、函数
1. 函数值域与最值求法
(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法 .
(2)换元法： 换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代数换元和三角代
换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为 t?? _??sinxF
cosx,??!Q-???
[sin cosxx+ cossinxx ,?-?1yh+X’s#?hA?sinx =t ， cosx=t ，
sin cosxx+ =t，等等，在用代数换元法时， 注意①新变量的范围 .②在换元前后原变量的范围应保持不变；
对于 x?y%C? 6,?é0;F ] 6,?é0;F
Fj?é
?j1 的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换
即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为 [1,1]? 0， 1）的含二次根式的函数的最值问题，常设
2
x=sinθ或 x=sin θ.，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围
（3 ）利用函数有界性求值域（最值）
若可化为关于 2 x
x ?sinx? cosx、 a （ a?0且 a.1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有
1界性求最值，这类问题通常有两种思路，（ 析式看作方程，用）将函数解 2
y6x ?sinxFx>?/j* ??Y
2
+Xx ?sinx1ylFx93 $? Fj??y,?=1y??FJE÷@??y,?=1y?"r*y,?93 $? ?
"r* 0l×
Y+XF ?-?,? 9+|W??Y+X=1y?WCXF-?,? .?>WCX?"r*-?,? 0l.
（4 ） 不等式法
.若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域
若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形
式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利
用重要不等式求最值时，. 应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最
.值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值
（5） 利用判别式求值域（最值）
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常
可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，
另外要注意要验证判别式为 0 时是否成立．
（6） 数形结合法
对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个
区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据 x,?93 $?"r*?-?,?l?5
89@
-?,? .??"r*9@-?,?93 $? XY+X=1y?,?WCX"r*l?F 2? 0lL N? _Q6363 ,?G?&é
（7 ） 分段函数的值域
先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域 .
（8 ） 复合函数的值域
先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，
在求出完函数的值域就是复合函数的值域 .
axb+
2.分式函数 fx()= ab≠0
cxd+
bcad?
axb+ a 2
通过常量分离化为： fx()= = + c
cxd+ c d
x+ c
bcad?
d a 2 d d d
对称中心为（ ? ??
6-?y= c 的图像向左（ ?0）( 向右（ ?0| ））平移 |个单位，
c c x c c c
a a a
再向上（ ?0）（向下（ ?）0）平移 | |个单位得到 .
c c c
d d
当 bcad? 0 时， fx()? jL$j?-∞， ? ? + ∞）；
c c
d d
当 bcad? 0 时， fx(),?? jL$j?-∞， ? ? +∞） .
c c
3.二次函数 2
fxaxbxca()=++≠( 0)
(1)解析式：①一般式 2
fxaxbxca()=++≠( 0);
②顶点式 2
fxaxhka() ( ) ( 0)=?+≠ ;
③零点式 fxaxxxxa() ( )( )( 0)=??≠12 .
2
b 4acb? b
（2） 性质: 顶点为（ ? x=? ；
2a 4a 2a
b b
当 a?0时，减区间为（ -∞， ? ? + ∞）；
2a 2a
b b
当 a?0时，增区间为（ -∞， ? ? + ∞）
2a 2a
4.闭区间上的二次函数的最值
b
二次 函数 2
)( acbxaxxf ≠++= )0( XL jL$[ ],qp :,? 0l
7- Xx ?=
2a
b
(1)当 a?0时， x ??= [ ],qp fx fpfq() (),()max max= { } fx fpfq() (),()min min= { }.
2a
b b
若 x ∈?= [ ],qp fx f() ()min =? fx fpfq() (),()max max= { }
2a 2a
b
(2)当 a?0时，若 x ∈?= [ ],qp fx fpfq() min(),()min = { }
2a
b
x ??= [ ],qp fx fpfq() max(),()max = { } fx fpfq() min(),()min = { }.
2a
5.一元二次方程的实根分布
2 2
x1?x2 _0s?!Qé0;axbxc++ =0的根，设 fx()=axbxc++
根的分布 充要条件 充要条件 1 u?± ‘&2
x2, x1∈ (m ,+ x1＞ mD ? ?
( )( )0xmxm12?+?> b
??>m
? ? 2a
∞) ??> ? 2
x2＞ m ?( )( )0xmxm12 ??=? ≥b ac40
? 2 ?
??=? ≥b ac40 ?afm()0>
??
x1,x2∈(- x1＜ mD ? ? b
( )( )0xmxm12?+?< ??
∞, ? 2
m) ??<
x2＜ m ?( )( )0xmxm12 ??=? ≥b ac40
? 2 ?
??=? ≥b ac40 ?afm()0>
??
x1?m?x2 x1?m?x2 ( )( )0xmxm12??< afm()0<
m ＜ x1 ?x2 m＜ x1?x2? ( )( )0xmxn12??< ? b
?mn?n n ??
??=? ≥b ac
?afm>
?
??afn>
6. 不等式恒成立、有解判断结论：
(1)NfxM<<() ? [()][()]0fxMfxN? ?<
对于参数 a ú-?yfxxA= ∈(), .
若 afx≥ () afx≥ max() afx≤ () afx≤ min()
若 afx≥ () afx≥ min() afx≤ () afx≤ max()
若 afx= () fxafxmin() ()≤≤ max .
7.函数的单调性
(1)设 x1?x2∈[a,b],x1 ≠ x2
f(x1)? f(x2)
( )()()0xxfxfx12 1 2??>[ ] ? >0? f(x)在 [a,b]上是增函数；
x1?x2
f(x1)? f(x2)
( )()()0xxfxfx12 1 2? ? x1?x2
(2)设函数 y = f(x) f′(x)>0?If(x)j?-?×? ?f′(x)<0?If(x)j
?-?.
8.单调函数性质与复合函数单调性
如果函数 f(x)
?g(x) X-(
< jL$: _ …B3-?则①增函数+ , 增函数是增函数；②减函数 +减函数是减函
数；③增函数 -减函数是增函数；④减函数 - 增函数是减函数；
如果函数 y = f(u) u = g(x), 则复合函数 y = f[g(x)]
.
如果函数 y = f(u) u = g(x)
y = f[g(x)].
9 ．函数的奇偶性
fx() 是奇函数 ? x ?G- 9fxfx() ()?=? ? x ?G- 9
fxfx()()0?+= ? fx() .??? ?&é)0 ×
fx() 是偶函数 ? x ?G- 9fxfx()()?= ? x ?G- 9
fxfx()()0??= ? fx() .???yE¤)0 ×
10.函数 yfx= ()
①若函数 y = f(x) xa= ? xG- 9fax()+ = fax()? ?对定义域内任意 xG-
9fx()= fax(2 )? ? yfxa= +()是偶函数；
②函数 = xfy )( a?0） ? xG- 9fax()? =－ fax()+ ? fax(2 )? =－
fx() ? yfxa= +()
+ba
= xfy )( xG- 9 ?=+ xbfaxf )()( ,则函数 xf )( ,?)0 E¤ _ x =
2
ab+
④若函数 = xfy )( xG- 9fxa fbx()()+=?? ,则函数 xf )( ,?)0 E¤]ój( ,0)
2
⑤函数 yfxa= ?(| |) xa= .学+-科/- 网
11.两个函数对称的结论
+ba
①两个 函数 += axfy )( ?= xbfy )( 的图象关于直线 x = .
2
②函数 yfx= () yfx=?() x=0(即 yE¤)对称 .
③函数 yfx= () yfx=? () y =0(即 xE¤)对称。
④函数 yfx= () yfx=??()0,0 ）（即原点 )对称。
12.函数 = xfy )(
yfx= ()ω 向左( a aa><0)( ( 0))||向右 单位 yfxa= +(( ))ω
?????????????????????????????????????
= xfy )( 向上( b bb><0)( (0))||向右 单位 yfxb= +()
?????????????????????????????????????
= xfy )( ???????????????????????????????????????x xx轴下方部分沿轴对折到轴上方 yfx=|()|
= xfy )( 擦除轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折 y yfx= (||)
?????????????????????????????????????????????
13.几个函数方程的周期 (约定 a>0)
（1） 对定义域内任意 xG- 9 += axfxf )()( xf )( ,?
? OT=a；
1
（ 2） 对定义域内任意 xG- 9fxfxa() ()=?+ axf )( =+ xf ≠ )0)(( ?
xf )(
1
或 fxa()+=? (()0)fx ≠ ,则 xf )( ,?
? OT=2a；
fx()
（ 3）若函数 xf )( ??x=a， x=b对称，则 xf )( ,?
? Oj2| |ba?
4）若函数 xf )( ???a?0），（ b?0）对称，则 xf )( ,?
? Oj2| |ba?
5）若函数 xf )( ??x=a，（ b?0）对称，则 xf )( ,?
? Oj4| |ba? .
14.分数指数幂
m 1 ?
(1) n
a = （ >∈ > .
n m a mnN0,, n 1
a
?m 1 ?
(2) n
a = m （ a mnN>∈0,, n>1.
n
a
15．根式的性质
?1） n n
()aa= .
（2）当 n n
njw? &?aa=
?aa,0≥
当 n n
nj?? &?aa==|| ? .
??
+
(1) rs rs rs rs
aaaarsQ?= >∈( 0,, )() ( 0,, )a aarsQ=>∈
r rr
() ( 0, 0, )ab aba b rQ=>>∈
p
注： 若 a＞0， p是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数
.幂都适用
17.指数式与对数式的互化式
b
loga NbaN=?= ( 0, 1, 0)aaN>≠>
对数的换底公式
logm N
loga N = a>0且 a≠1,m>0且 m≠1, N >0
logma
推论 n n
log logam bb= a a>0且 a>1,mn,0> 且 m≠1,n≠1N >0
m
对数恒等式： logaM
aM=
19．对数的四则运算法则
若 a＞ 0，a ≠1 ，M＞ 0，N ＞0，则 (1)log( )log loga aaMN M N= +
M n
log log logaaa= ?MN log log ( )aaMnMnR= ∈
N
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 x
p?I)? &L$x,?k×ly? 9yNp= +(1 ) .
三、数列
1.数列的第 n项与前 n项的和的关系
?sn1,1=
an =? 数列 {}an ,?} n项的和为 saa ann=+++12 ? ).
?ssnnn?≥?1,2
2.等差数列的 通项公式
*
aa n ddnadnNn =+?=+?∈11(1) ( )；
naa()
其前 n项和公式为 1+ n nn(1)? d 2 1
sn = = +na d1 =+?nadn()1 .
2 2 22
3.等比数列的 通项公式
nn?1*a1
aaq qnNn ==?∈1 ()；
q
其前 n项的和公式为
n
?aq1(1 )? ?aaq1? n
? ,1q ≠ ? ,1q ≠
sn =? 1?q 或 sn =? 1?q .
? ?
?naq1,1= ?naq1,1=
4.等比差数列 {an}:a qadabqnn+11=+=≠, ( 0)的通项公式为
?bndq+?=(1), 1
?
= nn?1
an ?bq dbq d+??() ；
? ,1q≠
? q?1
其前 n 项和公式为
?nbnn dq+?=(1),( 1)
?
= n
sn ? dqd1?
?( )b?+≠nq,( 1)
? 1 11???qq q
四、三角函数与解三角形
1．常见三角不等式
π
（1）若 x∈(0,) sin tanxxx<< .
2
π
(2) 若 x∈(0,) 1sin cos 2<+≤xx .
2
(3) |sin||cos|1xx+≥
2.两角和差的三角函数：
令 α=β 2 2
cos(α±β)= cosαcosβ?sinαsinβ????→cos2α = cos α?sin α
tanα±tanβ 2 2
tan(α±β)= = 2cos α?1=1?2sin α ?
1?tanα·tanβ
2 1+cos2α
cos α =
2tanα 2
tan2α = 2
1?tan α 2 1?cos2α
sin α = 2
辅助角公式 ： 2 2
asinx+bcosx = a +b sin(x+θ)(其中 θ a, b 的符号确定， θ
b
tanθ= .??)在求最值、化简时起着重要作用 .
a
2tanα
sin2 sincosααα= = 2
1tan+ α
2
22 2 2 1tan? α
cos2 cos sin 2cos 112sinαααα α= ? = ?=? = 2 .
1tan+ α
sin2αα2 1cos2? θθθθ2
tanαα= ,cos = 1sin± θ=±=±(cos sin)|cos sin|
1cos2+ ααsin2 2222
? π?
sinα+cosα = 2sin?α+ ?
? 4?
? π?
sinα+ 3cosα = 2sin?α+ ?
? 3?
3.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论：
π
①正弦函数 y xxR= ∈sin( ) (kkZπ,0)( ∈ ) xk kZ=+∈π ( ).
2
π
函数 yAx= +sin( )ω? ω?πxk+=+ (kZ∈ )
2
ω?πxk+= (kZ∈ ) 0.学* -科+ -/网
??π
②余弦函数 y xxR= ∈cos( ) ??k kZπ+∈,0 ( ) xkkZ= ∈π( ).
??2
函数 yA x= +cos(ω?) ω?πxk+= (kZ∈ )
π
ω?πxk+=+ (kZ∈ )的解，对称中心的横坐标为 0.
2
π ??kπ
③正切函数 y xxk= ≠+tan( )π (kZ∈ ) ??,0 (kZ∈ ) yAx= +tan(ω?)
2 ??2
k
ω?πx+= (kZ∈ ) 0?-?yx= +tan(ω?)
2
.
abc
4.?ABC中的结论： （ 1） 正弦定理： = = =2R.
sin sin sinABC
（2） 余弦定理： 222 222 222
abc bc A=+?2cos ;bca ca B=+?2cos cab ab C=+?2cos
111
（3）面积定理： S ah bh ch= = =abc hhhabc、 、 分别表示 a、 b、c 边上的高） .
222
111
S abC bc A ca B= = =sin sin sin
222
C ABπ +
（4）其它结论： ABC C AB++=?=?+ππ () ?=? ?=?+2 2 2( )C ABπ .
222
① sin sin( )A BC= + ,cos cos( )A BC=?+ tan tan( )A BC=?+
A BC+ A BC+ A BC+
② sin cos= ,cos sin= tan cot=
22 22 22
③ abAB AB>?>? >sin sin .
π
④锐角 ?ABC,AB+> sin cos,cos cosABAB><
2
⑤ tan tan tan tantantanABCABC++= .
五、平面向量
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
??
(1) 结合律： λ? λ?()()aa= ;
???
(2)第一分配律： ()λ?λ?+=+aaa;
????
(3)第二分配律： λ λ?()abab+=+
2.向量的数量积的运算律：
?? ?? ?? ?? ??
(1) ab? ba? ()λab? λab? ab?()λ
???????
()abcacbc+?=?+?
平面向量基本定理
?? ???
如果 e1 e2 λ ?
? ?? ???
a=λ?ee12+
?? ???
=?4?,?
AG? e1 e2
4．向量平行的坐标表示 学网
???? ???? ????????
11.对空间任一点 O
?=?4?,?9&éA、 B、 C，满足 OPxOAyOBzOC=++ xyzk++= k =1
O?k 9P、A 、B 、C 四点 共面；当 k ≠1 O∈ ABC，则 P、 A、B、 C四点 共
面；若 O? ABC，则 P、A 、B、 C 共面．四点不
???? ???? ???? ???? ???? ????
AB、 、 C 、 D 四点共面 ? ADAB AC ? ADxAByAC= + ?
???? ???? ???? ????
OD xyOAxOByOC=?? ++(1 ) （ O? ABC）.
12.空间向量基本定理
? ? ? ?? ??
如果三个向量 a b c p x?y?z??p
???
xaybzc++
推论 设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x， y， z，使
???? ???? ????????
OPxOAyOBzOC=++ .
13. 射影公式
???? ? ?
已知向量 ' '
AB=a和轴 l?e l:>l
<é
A,? …}
AG?.? A点在 l:,?4?A??B点在 l:,?4?B ?
I
'' ???? ? ? ??
ABAB=| |cos〈 a e= ae?
向量的直角坐标运算
? ?
设 a (,,)aaa123 ?b (,,)bbb123 I
? ?
(1) a＋ b (,,)ababab112233+++
? ?
(2) a－ b (,,)ababab112233???
?
(3)λ a (,,)λλλaaa123 (λ∈R) ；
? ?
(4) a b＝ ababab11 22 33++
15.设 A(,,)xyz111 ，B (,,)xyz222 ，则
????????????ABOBOA= ? (,,)xxyyzz212121???
．空间的 线线平行或垂直
?xx12=λ
? ? ?? ???? ?
设 axyz=(,,)111 bxyz=(,,)222 ab? ? abb= ≠λ( 0) ? ?yy12=λ
??zz12=λ
?? ??
ab⊥ ? ab?=? xxyyzz ++=
17.夹角公式
? ?
设 a (,,)aaa123 ?b (,,)bbb123 ?I
? ? ababab++
cos〈 11 22 33
a b=
222222
aaabbb123123++ ++
推论 2222222
(abababaaabbb11 22 33 1 2 3 1 2 3++≤++ ++)( )( )，此即三维柯西不等式 .
18 ．异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫异面直线，特征：既不相交也不平行 .
(2)异面直线所成角概念： ab, _T ‘-$4?? O是空间任意一点，过 O作 a′ a?b′ b?I-(?-$4?a′
π
b′ ab, p@,?@?93 $??0 ， ].
2
（3）异面直线 ab, p@@,?"r@MD
①定义法：根据异面直线所成角的定义，通过过一点（通常在一条直线上取一点）作两条异面直线的平行
线，转化为相交直线的夹角，通过解三角形求解，解题步骤，一找 .二作三证四解
??
?? ||ab? ||xxyyzz++
②向量法： cos|cos,|θ= 12 12 12
ab = ?? =
222222
||||ab? xyzxyz111222++?++
??
（其中 ??
θ 0 90<≤θ ab, p@@? ab, 分别表示异面直线 ab, ,?é
A
AG??
19.直线 AB>?M’α
（1 ）概念：斜线与直线在平面的射影所成的锐角叫这条斜线与这个平面所成的角，规定：直线与平面平行
π π
或在平面内，直线与平面所成的角为 0；直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 [0,
2 2
求线面角的思路
①几何法：根据定义转化为斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二
作三证四解 .学*/ -科网
? ??
②向量法：若直线 a,?é
A
AG?jn α m a>?M’α θ
???
??? nm?
sinθ=|cos ,|<>mn ???
nm
20. 二面角
（1）二面角定义： 从一 .条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱，这两
.个平面叫做二面角的面
（2）二面角平面角的定义： 过 射线，这两条射线所组 分别在两个半平面内作垂直于棱的两条二面角棱上一点
.成的角叫做二面角的平面角
（3）二面角问题的解题思路
①几何法： 解题步骤，一找二作三证四解， 作二面角平面角有三种方法：①垂面法，过棱上一点作棱的垂面，
一点作棱的垂面， 垂面与两个半平面交于两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，若易过棱上
, 常用此法 如若已知过一点与两个半平面垂直的直线，则过这两线做棱的垂面，与两个半平面的交线所成的角
.就是二面角的平面角 ；②垂线法，过棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二
面 角的平面角，若过棱上一点在两个半平面内易作棱的垂线，常用此法，如若两个半平面都是以棱为底等腰
三角形或一个以棱为底等腰三角形，则做等腰三角形底边上的高，在另一个半平面内过垂直作棱的垂线，所
得的角就是二面角的平面角；③三垂线法，若已知过一个半平面内一点的直线与另一个半平面垂直，常过这
一点在这个平面内作棱 的垂线，则所作垂线的垂直与线面垂足与所作垂线所成的角就是二面角的平面角，然
. 后证明所作角为二面角的平面角，再转化为三角形内角计算 在做二面角的平面角时，注意观察两个半平面的
. 特点，选择合适的方法作二面角的平面角
②向量法：对二面角 αβ??l α β m?n??"r*m?n,?i@?
???? ????
Xα A，在 β B，设二面角 αβ??l θ n?AB>m?AB
<
'?Iθ= m,n ，
???? ????
若 n?AB>m?AB2
'?Iθ=π? m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系 .
'
S
③面积射影 定理法： '
S = .(平面多边形及其射影的面积分别是 S?S ?? p X?M’p@K@?M’@
cosθ
,?j θ).
21.三视图的一般要求
正 视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，化三视图
的基本要求是：“正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高” .
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则 .
22.几何体的体积与表面积
1
V Sh
柱体 = （ S _ !?,??M’0 ?h _ !?,?Q?.
3
1
V Sh
锥体 = （ S _KU?,??M’0 ?h _KU?,?Q?.
3
1
V SSSSh
台体 = +（ +)′′ （ S?S′ h _
?,?Q?
3
4 3
VR
球 = π （球的半径是 R）
3
S
圆柱侧面积 2πrl（ r _ 6 !,??M’,? z??l _ 6 !,?!?4?K??
S
圆锥的测面积 =πrl（ r _ 6KU,??M’,? z??l _ 6 !,?!?4?K??
S
圆台的测面积 =π（ rr12+ )（ r1?r2 _ 6
,?:?;?M’,? z??l _ 6
,?!?4?K??
2
SR
球表面积 =4π （球的半径是 R）．
23. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体 :
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .
(2)球与正方体的组合体 :
正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球
.的直径是正方体的体对角线长
(3) 球与正四面体的组合体 :
6 6
棱长为 a,?!“ M’?,??7*3,? z?j a,外接球的半径为 a.
12 4
九、计数原理、概率、随机变量及其分布
1.分类计 数原理（ 加法原理）
Nmm m=+++12 ? n
分步计数原理（ 乘法原理 ）
Nmm m=×××12 ? n
排列数公式
m n！
*
An =n(n?1)?(n?m+1) n， mN，且 mn≤ )．注: 规定 0!=1.
(n?m)！
4.组合数公式
m
m An n(n?1)?(n?m+1) n！
*
Cn = m = = n∈ N， mN∈ mn≤ ).
Am 1×2×?×m m！ ?(n?m)！
注:规定 0
Cn =1.
5.组合数的两个性质
(1) m n?m m m?1 m
Cn =Cn Cn +Cn =Cn+1
6．排列组合问题常见解法
1、元素分析法： 在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
2、位置分析法： 在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。
3、间接法： 又叫排除法， 在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合
条件的排列数。
4、树图法： 又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在 3 个
以上，排列组合问题。
5、五、逐一插入法： 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些 “特殊元素 ”按指定顺序排列，再
将“ 普通元素 ”逐一插入其间或两端。
6、消序法： 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换
位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。
7、优序法： 若干元 素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按 “”特殊元素 个数选出若干位置，
并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。
8、捆绑法 ：若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最
后再考虑这几个相邻元素的顺序。
9.插空法 ：若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空
挡插入这些特殊元素。学科 +-*/网
10. 查字典法： 对数的大小顺序排列问题常用此法。（ 1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出
来；（ 2）再找下一位数字。
11、分组问题： （ 1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。
（ 2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素
个数相同组数的全排列以消序。
12.隔板法： 又叫隔墙法，插板法， n n件相同物品（ 个名额）分给 m 个人，名额分配，相同物品分配常用
此法。
若每个人至少 11件物品（ 个名额），则 nn件物品（ 名额）排成 1排，中间有 n-1个空挡，在这个
m?1
n-1空档选 m-1个空挡放入隔板，隔板 1种插法对应 1种分法，所以有 Cn?1 /?6#?
物品若允许有人分不到 ，则先把 n 件物品和 m-1块隔板排成一排，有 n+m-1个位置，从这个位置中选 m-1
?
个位置放隔板，有 m 1
Cn+m?1/?é#??6n件物品放入余下的位置，只有 1种方法， m-1块隔板将物品分成 m
?
块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每 m 1
1种隔板的放法对应一种分法，所以共有 Cn+m?1/?6#?
7. 排列组合综合问题： 应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，
注意分类讨论。
8 ．分配问题
（ 1） (平均分组有归属问题 )将相异的 m ?n Z(?&1y65 m Zê?
4?n &??6G}é#?? 9
n n n n n (mn)!
N =Cmn ?Cmn?n ?Cmn?2n ???C2n ?Cn = m .
(n!)
（2）( 平均分组无归 属问题 )将相异的 m·n个物体等分为无记号或无顺序的 m6??6G}é#?? 9
n n n n n
C
= mn ?Cmn?n ?Cmn?2n...?C2n ?Cn (mn)!
N = m
m! m!(n!)
（3） ()非平均分组有归属问题 将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??65 mZê?(?&?N?>?6??6[?
`n1 ?n2 ??nm &?Dn1 ?n2 ??nm F m Z??!”=-(1y?I?6G}é#?? 9
n1 n2 nm p!m!
N =Cp ?Cp?n1...Cnm ?m!= .
n1!n2!...nm!
（4） ()非完全平均分组有归属问题 将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??65 mZê?(?&?N?>?6??6
[?`n1?n2??nm&?Dn1?n2??nmF mZ?]6[ 9a、 b、c 、…个相等，则其分配方法数
n1 n2 nm
Cp ?Cp?n ...Cn ?m! pm!!
有 1 m
N = =
a!b!c!... nnnabc12!!...!(!!!...)m
（ 5） (非平均分组无归属问题 )将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??6j+?,? n1?n2??nm& Aà
'
p!
,? m6?Dn1?n2??nmF mZ??!”=-(1y?I?6G}é#? 9N = .
n1!n2!...nm!
（ 6） (非完全平均分组无归属问题 )将相异的 P(P=n+n++n
12 m? )Z(??6j+?,? n1?n2??nm&
Aà
',?m 6?Dn1 ?n2 ??nm F m Z?]6[ 9a、 b、 c、…个相等，则其分配方法数有
p!
N = .
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
（7） (限定分组有归属问题 )将相异的 p?pnn n=
1+++2 ? m?Z(??65 +b?‰?I?1y mZê?(?
??N?>?6??? ?7?+b?n1&?‰?n2&?I?n3&? &?I Aên1?n2??nm1ymZ? _
V
?-(2F=?-(2?6G}é#?? 9
n1 n2 nm p!
N =Cp ?Cp?n1...Cnm =
n1!n2!...nm!
? ? ?
9.二项式定理 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n
(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +?+Cna b +?+Cnb ;
二项展开式的通项公式
r n?r r
Tr+1 =Cna b (r =0，1， 2?， n)
m
等可能性事件的概率 PA()= .
n
11.互斥 事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋ B)=P(A)＋P(B)．
12.独立事件 A，B 同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B)． pA()=1()? pA （ A _A,?)0??&?
13.n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率
kk nk?
PkCP Pnn() (1 ).= ?
几何概型中， 事件 A,? ?)·A?1???
构成事件 A的区域长度（面积或体积）
pA()=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
条件概率
PAB()
设 A、B 为两个事件，且 pA()?0，称 PBA(|)= A发生的条件下，事件，事件 B 发生的
PA()
.P(B|A)条件概率 读作 A发生的条件下 B.发生的概率
16. 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1） Pii ≥=0(1,2,)? ;
（2） PP12++=? 1.
17. 离散随机变量的数学期望、方差、标准差
ExPxP xPξ=+++11 22 ? nn
22 2
Dξ=（ xEPxEP xEP1 12 2-()()ξξ ξ） +? ++?? nn，
σξ Dξ.
18. 数学期望的性质
（1） EabaE b( ) ()ξξ+= + .
（2）若 ξBnp(,),则 E npξ= .
? 1
(3) 若 k 1
ξ, 且 P kgkpqp( )(,)ξ== = Eξ= .
p
19. 方差的性质
(1) 2
DabaD( ξξ+=) ；
(2）若 ξBnp(,)?ID np pξ= ?(1 ).
? q
(3) 若 k 1
ξ, 且 P kgkpqp( )(,)ξ== = Dξ= 2 .
p
20. 方差与期望的关系
2 2
DEEξξξ= ?( )
常见分布列
（1 ）两点分布：
（2 ）二项分布：在 n!Q) 0?G?=BP?]?+Xξ A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p?
kk nk?
Ipk()ξ= =Cp pn (1 )? （ k=0,1,2，……，n ） ，称随机变量 ξ ξBnp(,)??
0 pj@?,? ?)· .学- *科/ -+网
（3）几何分布： 若一次试验中某事件发生的概率为 p，在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的实
?
ξ验的次数 =k的概率为： k 1
p(ξ= k) = pq k=1,2,… ;q=1-p,
称ξ服从几何分布，并记作 g(k,p)=qk-1p
（4 ）超几何分布：
一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 ξ
knk?
CCMNM?
pk()ξ= n （ k=0,1,2m，……， ）
CN
其中 *
m=min{,}Mn ，且 n0N，M ≤ N，M,N ∈ N ?I0 L? j
G?ξ .
22. 正态分布
?(x??)2
b 1 2
若对于 ? a?bR，随机变量 ξ 26
Pa b()<≤ξ = ，
∫ x∈?∞+∞, ξ
a e dx ( )
26π
正态分 布，记作 N（μ， 2 2 2
σ σ>0），若随机变量 ξ ξN(,)?σ (?为期望， σ
), 当 ?=0， σ=1称为标准正态分布 .
23. 正态分布的性质
（1）曲线在 xE¤:é?>xE¤=-(?.
（2）曲线是单峰的，它关于直线 x=?对称.
（3）曲线在 x=?处达到峰值 .
（4）曲线与 xE¤{L$,?M’0 j1.
（5） ? σ . σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ
.
24.正态分布问题的解题思路
常结合正态分布密度曲线，利用对称性求解 .
25.回归直线方程
nn
?
? ∑∑(xxyy xynxyi i?? ?)( ) ii
? ii=11=
b= =
? nn
yabx=+ ，其中 ? 2 22 .
? ∑∑(xxii??) xnx
ii=11=
?
?aybx=?
回归直线一定过样本中心点（ x?y?.
26.相关系数
n n
∑(xxyyii??)( ) ∑(xxyyii??)( )
i=1 i=1
r = =
nn nn
22 2222
∑∑()()xxyyii?? ( )( )∑∑xnx ynyii??
ii=11= ii=11=
≤1，且 |r|越接近于 1|，相关程度越大； r |越接近于 0，相关程度越小 .
27. 散点图
表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图。
28. 正相关、负相关
如果散点图中的点散步在从左下到右上的区域内，称为正相关，若分布在从左上角到右下角的区域内，称
.为负相关
29. 独立性检验
假设两个分类变量 X
?Y ?? ,?
7-
l6[j{,}xx12
?{,}yy12 ?? g \N??2×2 列联表为
总计
y1 y2
x a +
1 b ab
x c +
2 d cd
总计 ac+ bd+ abcd+++
常用独立性检验来考察两个分类变量 X ?Y _
V 9?3+??7-E?2?.? `5 *F /?T?,?
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