两角和与差的余弦同步训练卷
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两角和与差的余弦同步训练卷
班级 姓名
1．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝π，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于( )
A. B.
C．－ D．－
3．△ABC中，已知cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．若sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β都是锐角，则β等于( )
A. B.
C. D.
5．下列式子中正确的个数是( )
①cos(α＋β)＝cosα＋cosβ ②cos(＋α)＝cosα
③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
A．0 B．1
C．2 D．3
6．cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.
8．如果cosθ＝－，θ∈(π，)，那么cos(θ＋)的值等于______．
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，则cos＝______.
10．已知：cosα＋cosβ＋cosγ＝0，①
sinα＋sinβ＋sinγ＝0，②
求证：cos(α－β)＝－.
11．已知sinα＝，α∈(，π)，求cos(－α)的值
12．已知：向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，且a，b的夹角为60°，设P，Q分别是直线l：xcosα－ysinα＋＝0和圆C：(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝上的两个点，求||的最小值．
13.已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
14．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，2π)，求cos2β的值．
15.证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cosαcosβcosγ
答案：
1.答案：A
2.解析：选B.cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)
＝cos(39°－9°)＝cos30°＝.
3.答案：C
4.解析：选A.从凑角入手，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝
cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
5.答案：A
6.解析：选A.cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)
＝cos(36°＋x)cos(54°－x)－sin(x＋36°)sin(54°－x)
＝cos(36°＋x＋54°－x)＝cos90°＝0.
7.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
∴＝＝＝，
∴tanαtanβ＝.
答案：
8.解析：∵cosθ＝－，θ∈(π，)，
∴sinθ＝－，
∴cos(θ＋)＝cosθcos－sinθsin
＝－×－(－)×＝－.
答案：－
9.解析：由条件得<α＋β<2π，<β－<.
∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
答案：－
10.证明：由①②移项后两边平方求和消去γ，得
(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1.
∴2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝－1，
∴cos(α－β)＝－.
11.解：∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－ ＝－.
∴cos(－α)＝coscosα＋sinsinα
＝×(－)＋×＝.
12.解：a·b＝2cosα·3cosβ＋2sinα·3sinβ
＝6(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)
＝6cos(α－β)．
又a·b＝|a||b|cos?a，b?
＝2×3×cos60°＝3.
∴cos(α－β)＝.
圆心(cosβ，－sinβ)到直线l：
xcosα－ysinα＋＝0的距离
d＝
＝|cos(α－β)＋|＝1，
∴||的最小值为d－r＝1－.
13.解： 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
14.解：∵sin(α－β)＝，α－β∈(，π)，
∴cos(α－β)＝－ ＝－.
∵sin(α＋β)＝－，α＋β∈(π，2π)，
∴cos(α＋β)＝ ＝.
∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴cos2β＝cos(α＋β)·cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－＝－1.
15.证明 原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)]
＝cos(α＋β)cosγ－sin(α＋β)sinγ＋cos(α＋β)cosγ＋
sin(α＋β)sinγ＋cosγcos(α－β)－sinγsin(α－β)＋
cosγcos(α－β)＋sinγsin(α－β)
＝2cos(α＋β)cosγ＋2cos(α－β)cosγ
＝2cosγ[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
＝2cosγ·2cosαcosβ
＝4cosαcosβcosγ＝右边，
所以等式成立．
班级 姓名
1．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝π，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于( )
A. B.
C．－ D．－
3．△ABC中，已知cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．若sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β都是锐角，则β等于( )
A. B.
C. D.
5．下列式子中正确的个数是( )
①cos(α＋β)＝cosα＋cosβ ②cos(＋α)＝cosα
③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
A．0 B．1
C．2 D．3
6．cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.
8．如果cosθ＝－，θ∈(π，)，那么cos(θ＋)的值等于______．
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，则cos＝______.
10．已知：cosα＋cosβ＋cosγ＝0，①
sinα＋sinβ＋sinγ＝0，②
求证：cos(α－β)＝－.
11．已知sinα＝，α∈(，π)，求cos(－α)的值
12．已知：向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，且a，b的夹角为60°，设P，Q分别是直线l：xcosα－ysinα＋＝0和圆C：(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝上的两个点，求||的最小值．
13.已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
14．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，2π)，求cos2β的值．
15.证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cosαcosβcosγ
答案：
1.答案：A
2.解析：选B.cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)
＝cos(39°－9°)＝cos30°＝.
3.答案：C
4.解析：选A.从凑角入手，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝
cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
5.答案：A
6.解析：选A.cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)
＝cos(36°＋x)cos(54°－x)－sin(x＋36°)sin(54°－x)
＝cos(36°＋x＋54°－x)＝cos90°＝0.
7.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
∴＝＝＝，
∴tanαtanβ＝.
答案：
8.解析：∵cosθ＝－，θ∈(π，)，
∴sinθ＝－，
∴cos(θ＋)＝cosθcos－sinθsin
＝－×－(－)×＝－.
答案：－
9.解析：由条件得<α＋β<2π，<β－<.
∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
答案：－
10.证明：由①②移项后两边平方求和消去γ，得
(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1.
∴2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝－1，
∴cos(α－β)＝－.
11.解：∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－ ＝－.
∴cos(－α)＝coscosα＋sinsinα
＝×(－)＋×＝.
12.解：a·b＝2cosα·3cosβ＋2sinα·3sinβ
＝6(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)
＝6cos(α－β)．
又a·b＝|a||b|cos?a，b?
＝2×3×cos60°＝3.
∴cos(α－β)＝.
圆心(cosβ，－sinβ)到直线l：
xcosα－ysinα＋＝0的距离
d＝
＝|cos(α－β)＋|＝1，
∴||的最小值为d－r＝1－.
13.解： 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
14.解：∵sin(α－β)＝，α－β∈(，π)，
∴cos(α－β)＝－ ＝－.
∵sin(α＋β)＝－，α＋β∈(π，2π)，
∴cos(α＋β)＝ ＝.
∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴cos2β＝cos(α＋β)·cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－＝－1.
15.证明 原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)]
＝cos(α＋β)cosγ－sin(α＋β)sinγ＋cos(α＋β)cosγ＋
sin(α＋β)sinγ＋cosγcos(α－β)－sinγsin(α－β)＋
cosγcos(α－β)＋sinγsin(α－β)
＝2cos(α＋β)cosγ＋2cos(α－β)cosγ
＝2cosγ[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
＝2cosγ·2cosαcosβ
＝4cosαcosβcosγ＝右边，
所以等式成立．