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第2章、二元一次方程组期末复习（1）
知识结构
这一章我们从实际问题入手，引入了二元一次方程和二元一次方程组的概念，进一步学习了二元一次方程组的解法和应用。
知识要点
1.什么叫二元一次方程 什么叫二元一次方程组
含有___个未知数，并且含有未知数的每一项的次数是___的方程（注意：方程中分母不含未知数）叫二元一次方程。
把两个含有___________的二元一次方程联立起来,组成的方程组叫二元一次方程组.
两
1
相同未知数
二元一次方程的解一般有无数个，但特殊解一般是有限个，甚至没有。如：
2x+y=-3的解有 ….但没有正整数解。
使二元一次方程两边的值_____的两个未知数的值叫二元一次方程的解。
2.（1）什么叫二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特点？
（2）什么叫二元一次方程组的解？
相等
使二元一次方程组中每一个方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。
（3）解二元一次方程组有哪些方法？
加减消元法和代入消元法。
加减法：通过将方程变形，使某一个未知数的系数变成相等或互为相反数，然后两式相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。
代入法：把一个方程化为用一个未知数表示另一个未知数(x=…或y=…)的形式，然后代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的。
专题研究
专题1 .关于二元一次方程（组）的解
【分析】根据方程组的解能使方程组中每一个方程成立，把x=2,y=1代入方程组中消去x,y得到一个关于m，n的方程组，求出m，n.
已知方程组的解，求方程组中参
数的值，可以把方程组的已知解代入方
程组中，得到一个关于参数的方程组。
再解这个方程组，求出参数的值。
点评
【变式练习】
【分析】由于两个方程组有相同的解，这个相同解一定适合两个方程组，所以先由
3x-y=6和4x+2y=8组成方程组，求出x、y的值再分别代入原方程组中，得到关于m、n的方程组求出m,n的值。
专题2、二元一次方程（组）的特殊解。
【例2】求二元一次方程3x+y=8的正整数解
【解】：因为x最大只能为2，
所以，当x=1时，y=5,
当x=2时，y=2
因此这个方程的正整数解是：
点评：
先对x的值进行估计，然后再一一讨论，这种方法这种方法就是枚举法。
【变式练习】
二元一次方程3x+y=8的非负整数解是：
_________________.
【分析】先要化简，化为
的形式，再根据方程组的特点选择合适的解法。
专题3、解二元一次方程组
专题三、解二元一次方程组
【变式练习】
【解】：（1）由（1）式得：y=1-x,(3),
把（3）代入（2）得：3x-2(1-x)=-1, 5x=1,
把 代入（3）得： ，
所以，这个方程组的解为：
专题4、二元一次方程组与不等式（组）
【分析】先把a看着一个数，解方程,结果是关于a的代数式。再利用条件列出关于a的不等式组，求出a的范围。
【变式练习】
【分析】先求出x,y再代入x+y<2中得到关于a的取值范围，比较麻烦，考虑方程组的特点，把两个方程相加后x,y的系数相同，因此考虑两式相加。
反思小结
1、二元一次方程组的解能使方程组中两个方程都成立，在中考中常围绕这个知识点命题。
2、解二元一次方程组时，如果方程组比较复杂，要先化简为一般形式，然后根据方程组的特点，选择合适的方法（代入法或加减法）。
专题5、二元一次方程组的应用
【例4】5月1-5月3日是五一长假期，也是四博会开园后的前三天，游客只能凭指定日票才能进园参观，已知这三天共有游客56万人，其中前2天游客的总人数恰好是第三天人数的3倍，如果第1天的人数比第二天多1万人，求5月1日和5月三日这两天各有多少游客？
思考：1、有哪些等量关系？
(1)三天游客总人数=56万；
(2) 前2天的人数之和=3×第三天的人数；
（3）第1天的人数=第2天的人数+1万。
【例4】5月1日-5月3日是五一长假期，也是四博会开园后的前三天，游客只能凭指定日票才能进园参观，已知这三天共有游客56万人，其中前2天游客的总人数恰好是第三天人数的3倍，如果第1天的人数比第二天多1万人，求5月1日和5月三日这两天各有多少游客？
思考：2、设5月1日进园人数为x万人，5月3日进园人数为y万人；则5月2人进园人数为______万人。
3、怎样列方程组？
（x-1)
【例4】5月1-5月3日是五一长假期，也是四博会开园后的前三天，游客只能凭指定日票才能进园参观，已知这三天共有游客56万人，其中前2天游客的总人数恰好是第三天人数的3倍，如果第1天的人数比第二天多1万人，求5月1日和5月三日这两天各有多少游客？
【解】设5月1日进园人数为x万人，5月3日进园人数为y万人；依题意得：
解这个方程组得：
答：5月1日游客14万人，5月3日游客23.5万人。
【变式练习】
（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37 cm.则最大编钟的高度是 cm.
思考：1、等量关系是什么？
（1）最大编钟高度=3×最小编钟高度-5cm;
(2)最大编钟的高度-最小编钟的高度=37cm.
【变式练习】
（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37 cm.则最大编钟的高度是 cm.
思考：2、设设小编钟的高是xcm，大编钟的高是ycm，怎样列方程组？
【变式练习】
（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37 cm.则最大编钟的高度是 cm.
思考：2、设设小编钟的高是xcm，大编钟的高是ycm，怎样列方程组？
解这个方程组得：
答：最大编钟的高度为58cm.
【例5】家住上海的张先生受朋友之托，购买上海世博会门票，已知他购买了20张平日票，（包括普通票和优惠票）和20张指定日票（包括普通票和优惠票）且平日普通票价格为160元，平日优惠票价格为100元，指定普通日票价格为200元，指定日优惠票价格为120元，交费时发现普通票（包括平日票和指定日票）花了4000元，优惠票（包括平日票和指定日票）花了1940元，求平日普通票和平日优惠票及指定日普通票和指定日优惠票各买了多少张？
【例5】家住上海的张先生受朋友之托，购买上海世博会门票，已知他购买了20张平日票，（包括普通票和优惠票）和20张指定日票（包括普通票和优惠票）且平日普通票价格为160元，平日优惠票价格为100元，指定普通日票价格为200元，指定日优惠票价格为120元，交费时发现普通票（包括平日票和指定日票）花了4000元，优惠票（包括平日票和指定日票）花了1940元，求平日普通票和平日优惠票及指定日普通票和指定日优惠票各买了多少张？
思考：1、设平日普通票买了x张，指定日普通票买了y张，填写下表：
平日 指定日 合计
单价 数量 小计 单价 数量 小计
普通
优惠
160
x
160x
100
20-x
100(20-x)
200
120
y
20-y
200y
120(20-y)
4000
1940
【例5】家住上海的张先生受朋友之托，购买上海世博会门票，已知他购买了20张平日票，（包括普通票和优惠票）和20张指定日票（包括普通票和优惠票）且平日普通票价格为160元，平日优惠票价格为100元，指定普通日票价格为200元，指定日优惠票价格为120元，交费时发现普通票（包括平日票和指定日票）花了4000元，优惠票（包括平日票和指定日票）花了1940元，求平日普通票和平日优惠票及指定日普通票和指定日优惠票各买了多少张？
思考：
2、等量关系是什么？
平日普通票用去的钱+指定日普通票用去的钱=4000
平日优惠票用去的钱+指定日优惠票用去的钱=1940
【例5】家住上海的张先生受朋友之托，购买上海世博会门票，已知他购买了20张平日票，（包括普通票和优惠票）和20张指定日票（包括普通票和优惠票）且平日普通票价格为160元，平日优惠票价格为100元，指定普通日票价格为200元，指定日优惠票价格为120元，交费时发现普通票（包括平日票和指定日票）花了4000元，优惠票（包括平日票和指定日票）花了1940元，求平日普通票和平日优惠票及指定日普通票和指定日优惠票各买了多少张？
【解】设平日普通票买了x张，指定日普通票买了y
张，依题意，得：
解这个方程组得： 答：平日普通票15张，平日优惠票5张，指定日普通票8张，指定日优惠票12张。
点评
复杂的问题，要善于利用图、表列帮助理解题意。
【变式练习】
商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为30元、50元，一周内内共销出了300件，为扩大衬衣的销量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销量增加了20件，B种衬衣的销量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售了多少件？
商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为30元、50元，一周内内共销出了300件，为扩大衬衣的销量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销量增加了20件，B种衬衣的销量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售了多少件？
思考：1、调整前一周内A品牌销售了X件，B品牌销售了y件，填写下表：
A品牌 B品牌
单价 数量 总价 单价 数量 总价
原来
降价后
30
x
50
y
24
x+20
50
y
30x
24(x+20)
50y
50y
【变式练习】
商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为30元、50元，一周内内共销出了300件，为扩大衬衣的销量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销量增加了20件，B种衬衣的销量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售了多少件？
思考：2、等量关系是什么？
（1）原来A品牌的件数+原来B品牌的件数=300
（2）调价后A品牌销售额+调价后B品牌销售额=12880
【变式练习】
商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为30元、50元，一周内内共销出了300件，为扩大衬衣的销量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销量增加了20件，B种衬衣的销量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售了多少件？
【解】调整前一周内A品牌销售了X件，B品牌销售
了y件，依题意，得：
解这个方程组得：
答：调整前一周内A品牌销售了100件，B品牌销售了200件
作业 P34 A 1，B 1二元一次方程组复习
教学目标
1使学生通过复习进一步了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；
2、通过复习进一步理解二元一次方程和二元一次方程组的解的概念，并会利用二元一次方程（组）的解的概念解题。
3、能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组，生进一步理解消元思想．并学会把“复杂”转化成“简单”的思想．
4.进一步加强列二元一次方程组解应用题的能力，培养分析问题和解决问题的能力。
4、培养学生反思交流、归纳总结等意识，体验成功的快乐，增强学好数学的自信心。
重点、难点：
重点：解二元一次方程组
难点：二元一次方程组的应用
教学过程
一 知识结构和知识要点
1 导语：这一章我们从实际问题入手，引入了二元一次方程和二元一次方程组的概念，进一步学习了二元一次方程组的解法和应用。投影知识结构图。
2 知识要点回顾:
(1)什么叫二元一次方程 什么叫二元一次方程组
含有两个未知数，并且含有未知数的每一项的次数是1的方程（注意：方程中分母不含未知数）叫二元一次方程。
把两个含有相同未知数的二元一次方程联立起来,组成的方程组叫二元一次方程组.
（2）什么叫二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特点？什么叫二元一次方程组的解？
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解。二元一次方程的解一般有无数个，但特殊解会是有限个，甚至没有。如：2x+y=-3的解有：，，….但没有正整数解。
使二元一次方程组中每一个方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。
（3）解二元一次方程组有哪些方法？
加减消元法和代入消元法。
加减法：通过将方程变形，使某一个未知数的系数变成相等或互为相反数，然后两式相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。
代入法：把一个方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的。
二、专题研究
专题1 .关于二元一次方程（组）的解
【例1 】已知是方程组的解，求的值。
【分析】根据方程组的解能使方程组中每一个方程成立，把x=2,y=1代入方程组中消去x,y得到一个关于m，n的方程组，求出m，n.
【解】：把代入方程组，得：，解这个方程组得：
已知方程组的解，求方程组中参数的值，可以把方程组的已知解代入方程组中，得到一个关于参数的方程组。再解这个方程组，求出参数的值。
【变式练习】
【分析】由于方程组有相同的解，这个相同解一定适合两个方程组，所以先由3x-y=6和4x+2y=8组成方程组，求出x、y的值再分别代入原方程组中，得到关于m、n的方程组求出m,n的值。
专题2、二元一次方程（组）的特殊解。
【例2】求二元一次方程3x+y=8的正整数解。
解：因为x最大只能为2，所以，当x=1时，y=5,当x=2时，y=4.因此这个方程的正整数解是：
【变式练习】方程组4x+y=20的正整数解是______________________________.
答：
专题三、解二元一次方程组
【分析】先要化简，化为的形式，再根据方程组的特点选择合适的解法。
【变式练习】
解下列方程组：
【解】：（1）由（1）式得：y=1-x,(3),把（3）代入（2）得：3x-2(1-x)=-1,5x=1, 代入（3）得：，所以，这个方程组的解为：
专题三、二元一次方程组与不等式（组）
【分析】先把a看着一个数，解方程,结果是关于a的代数式。再利用条件列出关于a的不等式组，求出a的范围。
【变式练习】
【分析】先求出x,y再代入x+y<2中得到关于a的取值范围，比较麻烦，考虑方程组的特点，把两个方程相加后x,y的系数相同，因此考虑两式相加。
专题4、二元一次方程组的应用
【例4】5月1-5月3日是五一长假期，也是四博会开园后的前三天，游客只能凭指定日票才能进园参观，已知这三天共有游客56万人，其中前2天游客的总人数恰好是第三天人数的3倍，如果第1天的人数比第二天多1万人，求5月1日和5月三日这两天各有多少游客？
思考：1、有哪些等量关系？
(1)三天游客总人数=56万；(2) 前2天的人数之和=3×第三天的人数的3倍；
（3）第1天的人数=第2天的人数+1万。
2、设5月1日进园人数为x人，5月3日进园人数为y人；则5月2人进园人数为_____________人。
3、怎样列方程组？
4、请你解方程组求出x、y的值。
【变式练习】
（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37 cm.则最大编钟的高度是 cm.
思考：1、等量关系是什么？
（1）最大编钟高度=3×最小编钟高度-5,(2)最大编钟的高度-最小编钟的高度=37cm.
2、设设小编钟的高是xcm，大编钟的高是ycm，怎样列方程组？
【解】：设小编钟的高是xcm，大编钟的高是ycm，
，
．
所以最大编钟的高为58cm．
【例5】家住上海的张先生受朋友之托，购买上海世博会门票，已知他购买了20张平日票，（包括普通票和优惠票）和20张指定日票（包括普通票和优惠票）且平日普通票价格为160元，平日优惠票价格为100元，指定普通日票价格为200元，指定日优惠票价格为120元，交费时发现普通票（包括平日票和指定日票）花了4000元，优惠票（包括平日票和指定日票）花了1940元，求平日普通票和平日优惠票及指定日普通票和指定日优惠票各买了多少张？
思考：1、设平日普通票买了x张，指定日普通票买了y张，填写下表：
平日 指定日 合计
单价 数量 小计 单价 数量 小计
普通
优惠
2、等量关系是什么？
平日普通票用去的钱+指定日普通票用去的钱=4000
平日优惠票用去的钱+指定日优惠票用去的钱=1940
3、怎样列方程组？
请你解这个方程组，求出x，y的值。
【变式练习】
商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为30元、50元，一周内内共销出了300件，为扩大衬衣的销量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销量增加了20件，B种衬衣的销量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售了多少件？
思考：1、调整前一周内A品牌销售了X件，B品牌销售了y件，填写下表：
A品牌 B品牌
单价 数量 单价 数量
原来
降价后
2、等量关系是什么？
（1）原来A品牌的件数+原来B品牌的件数=300
（2）调价后A品牌销售额+调价后B品牌销售额=12880
3、怎样列方程组？
4、解这个方程，求出x、y.
解这个方程组得：
三、反思小结
1、二元一次方程组的解能使方程组中两个方程都成立，在中考中常围绕这个知识点命题。
2、解二元一次方程组时，如果方程组比较复杂，要先化简为一般形式，然后根据方程组的特点，选择合适的方法（代入法或加减法）。
3、建立二元一次方程模型解应用题，关键是理解题意，要善于通过画图、列表等手段帮助理解题意。
作业 P34 A 1，B 1
