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平行四边行性质
课前小练
1．下列命题是真命题的是（
）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．直角坐标系中，与y轴平行的一条直线上任意两点的横坐标相等
C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
D．1的平方根是1
2．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是（
）
A．40°
B．55°
C．65°
D．60°
3．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ B）
x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D．x＜﹣1
4．已知a＜b，下列式子不成立的是（
）
A．a+1＜b+1
B．3a＜3b
C．﹣2a＞﹣2b
D．如果c＜0，那么＜
5．化简的结果为（
）
A．﹣
B．﹣y
C．
D．
已经点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围是
如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为
．
8．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c＝（x+1）（x+2），则c的值为
．
化简求值：，其中x＝﹣2．
10．李大伯响应国家保就业保民生政策合法摆摊，他预测某品牌新开发的小玩具能够畅销，就用3000元购进了一批小玩具，上市后很快脱销，他又用8000元购进第二批小玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每个进价贵了5元．
（1）求李大伯第一次购进的小玩具有多少个？
（2）如果这两批小玩具的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每个小玩具售价至少是多少元？
学习目标
1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算线段及面;
会运用综合运用平行四边形的性质定理进行相关的证明和计算;
4.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系.
知识讲解
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
诠释：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为邻边，有四对；
相对的边为对边，有两对；
相邻的两角为邻角，有四对；
相对的角为对角，有两对；
对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
图（2）
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
诠释：平行四边形的性质中边的性质的运用
可以用来证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；
对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（4）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识三、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；
2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：
典例精练
类型一、平行四边形的性质
例1.下面关于平行四边形的说法不正确的是（
）
A．对边平行且相等
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
例2.如图，在?ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，且CF＝DE．
求证：BF＝CE．
例3．在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，请你在小聪的启发下，经过点P画一条直线，把图分成面积相等的两部分．画出直线，保留画图痕迹
例4.如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE．求证：AE=CF．
举一反三（一）：
1．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AO=OD
B．AO⊥OD
C．AO=OC
D．AO⊥AB
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（ ）
DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE
3．（2016?永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
4．如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、．
（1）如图1，若，，求平行四边形的面积：
（2）如图2，若，求证：．
，
类型二、平行四边形与面积有关的计算
例5.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为(
)
A．11＋
(?http:?/??/?www.?/??)
B．11－
(?http:?/??/?www.?/??)
C．11＋
(?http:?/??/?www.?/??)或11－
(?http:?/??/?www.?/??)
D．11－
(?http:?/??/?www.?/??)或1＋
(?http:?/??/?www.?/??)
例6.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为
．
例7.如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是
2_______cm．
举一反三（二）：
5.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
7.如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
类型三、平行四边形性质的综合训练
例7.已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
举一反三（三）：
8.如图，的对角线相交于点，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
求的长（用含的代数式表示)；
问取何值时，四边形是平行四边形?
提高练习
1.如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°；
②S?ABCD＝AB?AC；
③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
3.如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是
．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．
4.如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为
cm2．
5.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．
图1
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平行四边行性质
课前小练
1．下列命题是真命题的是（ B ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．直角坐标系中，与y轴平行的一条直线上任意两点的横坐标相等
C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
D．1的平方根是1
【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
B、直角坐标系中，与y轴平行的一条直线上任意两点的横坐标相等，是真命题；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题；
D、1的平方根是±1，原命题是假命题；
故选：B．
2．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是（A ）
A．40°
B．55°
C．65°
D．60°
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：A．
3．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ B）
x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D．x＜﹣1
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
4．已知a＜b，下列式子不成立的是（ D ）
A．a+1＜b+1
B．3a＜3b
C．﹣2a＞﹣2b
D．如果c＜0，那么＜
【解答】解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
5．化简的结果为（ D ）
A．﹣
B．﹣y
C．
D．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
已经点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围是﹣2＜a＜1
【解答】解：∵点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限，
∴，
解得：﹣2＜a＜1，
故答案为：﹣2＜a＜1．
如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为6+4．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，
∴CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，
∴△PCP′为等边三角形，
∴PP′＝PC＝4，
∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠ACP+∠ACP′＝60°，
∴∠BCP＝∠ACP′，且AC＝BC，CP＝CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′＝PB＝5，
在△APP′中，∵PP′2＝42＝16，AP2＝32＝9，AP′2＝52＝25，
∴PP′2+AP2＝AP′2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，
∴S四边形APCP′＝S△APP′+S△PCP′＝AP×PP′+×PP′2＝6+4，
故答案为：6+4．
8．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c＝（x+1）（x+2），则c的值为c＝2．．
【解答】解：（x+1）（x+2），
＝x2+2x+x+2，
＝x2+3x+2，
所以c＝2．
化简求值：，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝﹣＝，
将x＝﹣2代入，原式＝．
10．李大伯响应国家保就业保民生政策合法摆摊，他预测某品牌新开发的小玩具能够畅销，就用3000元购进了一批小玩具，上市后很快脱销，他又用8000元购进第二批小玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每个进价贵了5元．
（1）求李大伯第一次购进的小玩具有多少个？
（2）如果这两批小玩具的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每个小玩具售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设李大伯第一次购进的小玩具有x个，则第二次购进的小玩具有2x个，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：李大伯第一次购进的小玩具有200个．
（2）设每个小玩具售价是y元，
依题意，得：（200+200×2）y﹣8000﹣3000≥（8000+3000）×20%，
解得：y≥22．
答：每个小玩具售价至少是22元．
学习目标
1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算线段及面;
会运用综合运用平行四边形的性质定理进行相关的证明和计算;
4.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系.
知识讲解
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
诠释：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为邻边，有四对；
相对的边为对边，有两对；
相邻的两角为邻角，有四对；
相对的角为对角，有两对；
对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
图（2）
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
诠释：平行四边形的性质中边的性质的运用
可以用来证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；
对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（4）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识三、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；
2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：
典例精练
类型一、平行四边形的性质
例1.下面关于平行四边形的说法不正确的是（
D
）
A．对边平行且相等
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
解：由平行四边形的性质可知：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分，
所以选项中的D是错误的．
故选：D．
例2.如图，在?ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，且CF＝DE．
求证：BF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
又∵CF⊥AB，DE⊥BC，
∴∠BFC＝∠E＝90°，
在△BCF和△CDE中，
，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE．
例3．在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，请你在小聪的启发下，经过点P画一条直线，把图分成面积相等的两部分．画出直线，保留画图痕迹
．图见解析
【详解】
如图所示：
．
沿着经过P、Q的直线把图形剪成面积相等的两部分．
例4.如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE．求证：AE=CF．
【解析】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠EDA=∠FBC，
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AE=CF．
举一反三（一）：
1．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AO=OD
B．AO⊥OD
C．AO=OC
D．AO⊥AB
【答案】：C
【解析】：
对角线不一定相等，A错误；、
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（ ）
DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE
【答案】C。
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：
A、当DF=BE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
B、当AF=CE时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
C、当CF=AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；
D、当CF∥AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE。
故选C。
3．（2016?永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE?BF＝×4×2＝4．
4．如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、．
（1）如图1，若，，求平行四边形的面积：
（2）如图2，若，求证：．
解：（1）连接BD，
∵平行四边形ABCD，
∴BD过点O，
∴S△OBC=BC?OE=×5×3=，
∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30；
（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°，
∴∠OEG=∠CEH，
∵∠ACB=45°，∴∠COE=45°，∴OE=CE，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
又FG⊥AB，
∴FG⊥CD，
∴∠EOG+∠ECG=360°-90°-90°=180°，
∵∠ECH+∠ECG=180°，
∴∠EOG=∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG=CH，EG=EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAF=∠OCG，
∵∠AOF=∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF=CG，OF=OG，
∵CG+CH=GH，
∴AF+OF=GH，
∵∠GEH=90°，EG=EH，
∴GH=EG，∴AF+OF=EG．
类型二、平行四边形与面积有关的计算
例4.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为(
)
A．11＋
(?http:?/??/?www.?/??)
B．11－
(?http:?/??/?www.?/??)
C．11＋
(?http:?/??/?www.?/??)或11－
(?http:?/??/?www.?/??)
D．11－
(?http:?/??/?www.?/??)或1＋
(?http:?/??/?www.?/??)
【答案】C。
【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。
如图1，由AB＝5，BE=x，得
(?http:?/??/?www.?/??)。
由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得
(?http:?/??/?www.?/??)，
解得
(?http:?/??/?www.?/??)（负数舍去）。
由BC＝6，DF=y，得
(?http:?/??/?www.?/??)。
由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得
(?http:?/??/?www.?/??)，
解得
(?http:?/??/?www.?/??)（负数舍去）。
∴CE＋CF=（6－
(?http:?/??/?www.?/??)）＋（5－
(?http:?/??/?www.?/??)）=11－
(?http:?/??/?www.?/??)。
如图2，同理可得BE=
(?http:?/??/?www.?/??)，DF=
(?http:?/??/?www.?/??)。
∴CE＋CF=（6＋
(?http:?/??/?www.?/??)）＋（5＋
(?http:?/??/?www.?/??)）=11＋
(?http:?/??/?www.?/??)。
故选C。
例5.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为
．
【答案】20。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵OE⊥BD，∴BE=DE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20。
例6.如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是
2_______cm．
【答案】2；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵△AOD的周长=OA+OD+AD，△AOB的周长=OA+OB+AB，
又∵△AOD与△AOB的周长差是5，
∴AD=AB+5，
设AB=x，AD=5+x，
则2（x+5+x）=18，
解得x=2，
即AB=2．
故答案为2．
举一反三（二）：
5.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝＝＝
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
6.如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
7.如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
则∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理可证：DE＝DC＝6，
∵EF＝AF+DE﹣AD＝2，
即6+6﹣AD＝2，
解得：AD＝10；
故选：B．
类型三、平行四边形性质的综合训练
例7.已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵DG＝BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
举一反三（三）：
8.如图，的对角线相交于点，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
EMBED
Equation.DSMT4
求的长（用含的代数式表示)；
问取何值时，四边形是平行四边形?
【答案】（1）5-t；（2）
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=5，
∴BQ=5-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=5-t，
,
当时，四边形ABQP是平行四边形.
提高练习
如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；
②S?ABCD＝AB?AC；
③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD＝AB?AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，
∴OE＝AB，
∴OE＝BC，故④正确．
故选：C．
2.如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故选：C．
3.如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是
．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DMF中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误，即③错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．
故答案为：①②④．
4.如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为
cm2．
【解答】解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，
∴S四边形EPFQ＝41cm2，
故答案为：41．
5.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．
【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE，
∴BE＝GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE＝CG．
图1
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