课后素养落实(六) 命题、定理、定义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列语句中不是命题的是( )
A．6>3
B．x>0
C．对于x∈R，总有x2>0
D．x2＋y2＝0
BD [A为命题．B不能判断真假不是命题．D不能判断真假故不是命题．C为命题．]
2．下列命题为假命题的是( )
A．若x>1，则x2>1
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若A＝60°，则cos
A＝
B [因为|a|＝|b|，所以a＝b或a＝－b.故选B.]
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是( )
A．两条直线
B．一条直线
C．垂直
D．两条直线垂直于同一条直线
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D.]
4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故②④正确，因此选B.]
5．(多选题)下列命题是假命题的为( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x
BCD [由＝得x＝y；而由x2＝1得x＝±1；
由于x＝y时，，不一定有意义；
而由x二、填空题
6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数．②四条边相等的四边形是正方形．③平形四边形是梯形，其中真命题的序号是________．
① [②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形．③中平行四边形不是梯形．①正确．]
7．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0,1) [由题意知解得a<1，且a≠0.]
8．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，
结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．
a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)面积相等的两个三角形全等；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
[解] (1)若ac>bc，则a>b.
由于ac>bc，c<0时，a(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．
10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为ax2－2ax－3>0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a<0.
由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0]．
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]
2．(多选题)给出命题“方程x2＋ax＋2＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的可能取值为( )
A．1
B．－2
C．0
D．3
ABC [由题意知Δ＝a2－8<0
故a2<8.故A、B、C适合题意．]
3．下列命题是真命题的是________．
①0是{0,1,2}的真子集；
②关于x的方程x2＋|x|＝0有四个实数根；
③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；
④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1.
④ [对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|＝0得|x|＝0，所以x＝0，方程有一个实数根，故②是假命题；
对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；
对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]
4．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是________．
56 [由条件一：S是A的子集，满足条件的有26＝64(个)；
由条件二：在条件一的64个集合中，和B交集为空集的，必然不含元素4,5,6，那集合应该是{1,2,3}的子集，有23＝8(个)．
因此，满足两个条件的集合的个数为64－8＝56(个)．]
已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
[解] 若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．课后素养落实(七) 充分条件、必要条件、充要条件
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2
B．－2C．0D．1A [由x2<4得－24．“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解，所以Δ＝a2－4a≥0，即a≥4或a≤0.所以“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的充分不必要条件，故选A.]
5．(多选题)使不等式1＋>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>2
B．x≥0
C．x<－1或x>1
D．－1AC [不等式1＋>0等价于>0，也就是(x＋1)x>0，故不等式的解集为
(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
A、B、C、D四个选项中，只有A、C中的不等式(不等组)对应的集合为
(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC.]
二、填空题
6．下列说法不正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2② [②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．下列式子：
①a<0其中能使<成立的充分条件有________．(只填序号)
①②④ [当a<0当b当b<0当0所以能使<成立的充分条件有①②④.]
三、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a[解] 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，若a10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
1．(多选题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么下列错误的是( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
BCD [因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图．综上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(
)
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C且B不是A的子集知，x∈A?x∈C，x∈Cx∈A，所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
3．若A＝{x|a3)，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________．
{a|a≤－3或a≥3} [因为A是B的充分条件，
所以A?B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．]
4．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
{m|03}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是0求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课后素养落实(八) 全称量词命题与存在量词命题
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列命题中是真命题的是( )
A．?x∈R，|x|>0
B．?x∈R，x＋1>2
C．?x∈R，x2>0
D．?x∈R，x2＋1>0
ABD [当x＝0时x2＝0，故C项为假命题．]
2．下列命题中是存在量词命题的是(
)
A．?x∈R，x2＞0
B．?x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
B [A含有全称量词?，为全称量词命题；B含有存在量词?，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有，为全称量词命题；D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B.]
3．已知命题p：?x∈R，x3－x－1＞0，则p是( )
A．?x∈R，x3－x－1＜0
B．?x∈R，x3－x－1≤0
C．?x∈R，x3－x－1＜0
D．?x∈R，x3－x－1≤0
B [因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：?x∈R，x3－x－1＞0，则p：?x∈R，x3－x－1≤0.故选B.]
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
5．(多选题)已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的值可能为( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
BD [∵p为假命题，∴p是真命题，即?x>0，x＋a－1≠0，
即x≠1－a，∴1－a≤0即a≥1，∴B、D均正确．]
二、填空题
6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是______(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．
存在量词命题 ?x，y∈R，x＋y＞1 [命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“?x，y∈R，x＋y＞1”．]
7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．
存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0 [原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]
8．若“?x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．
{m|m≤－4} [由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
[解] (1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在量词命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)q：有些梯形的对角线相等．
[解] (1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．
由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．
(2)q：?x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．
1．下列命题中正确的个数是( )
①?x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0
B．1
C．2
D．3
D [①?x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．故选D.]
2．(多选题)下列命题的否定是假命题的是( )
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：有些实数的绝对值是正数
D．p4：某些平行四边形是菱形
BCD [若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．]
3．命题“?x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________．
?x＞0，使得x2－x＋3＞0 [命题“?x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：?x＞0，使得x2－x＋3＞0.]
4．若“?x∈R，x2－2x－1 [因为
“?x∈R，x2－2x≥0恒成立，所以Δ＝22＋4m≤0，解得m≤－1，所以m的最大值为－1.]
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：某些平行四边形是菱形；
(3)可以被5整除的数，末位是0；
(4)能被3整除的数，也能被4整除．
[解] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．
(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题．章末综合测评(二) 常用逻辑用语
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．?x>0，使得x2－x≤0
B．?x>0，使得x2－x>0
C．?x>0，都有x2－x>0
D．?x≤0，都有x2－x>0
B [全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是?x>0，使得x2－x>0.故选B.]
2．已知p：A＝?，q：A∩B＝?，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由已知A＝??A∩B＝?，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以选A.]
3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( )
A．对任意x∈R，都有x2<1
B．不存在x∈R，使得x2<1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D．存在x∈R，使得x2<1
D [因为全称量词的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.]
4．命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x∈R，x3－x2＋1≥0
C．?x∈R，x3－x2＋1>0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“?x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]
5.
“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]
6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0
(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a>1
C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.]
7．已知非空集合M、P，则M?P的充要条件是( )
A．?x∈M，x?P
B．?x∈P，x∈M
C．?x1∈M，x1∈P，且x2∈M，x2∈P
D．?x∈M，x?P
D [由M?P，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M?P的充要条件是?x∈M，x?P.]
8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )
A B C
D
C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．a2＞b2的一个充分条件是( )
A．a＞|b|
B．a＜b
C．a＝b
D．aAD [A中，当a＞|b|时，能推出|a|＞|b|?a2＞b2，所以A正确；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a10．下列命题中，假命题是( )
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．?x∈R，x2＋2≤0
BCD [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R，x2＋2≤0错误，故选BCD.]
11．若“x3或x<－2”的充分不必要条件，则实数a的可能值为
( )
A．3
B．2
C．－2
D．－3
CD [设A＝{x|x3或x<－2}．由题意知AB，所以a≤－2，所以a的最大值为－2.]
12．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A．?x0∈R，x－x0＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x0∈R，x＋2x0＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
AC [由于是命题的否定，所以特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题．
对于A：?x0∈R，x－x0＋<0为特称命题，否定为“对?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立”且为真命题．
对于B为全称命题，且为真命题，故否定错误．
对于C：“?x0∈R，x＋2x0＋2＝0”为特称命题，否定为“对?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≠0恒成立”且为真命题．
对于D：为特称命题，为真命题，故否定错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
14．命题“?1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
{a|a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1.]
15．若x>2m－3是－1(－∞，1] [∵x>2m－3是－1∴(－1,4)(2m－3，＋∞)，∴2m－3≤－1.
解得m≤1.]
16．设p：实数x满足|x－2a|0且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
(2,3) [由|x－2a|由|x－2a|0，得－a若p是q的充分不必要条件，
则p?q，且qp，所以q?p，且pq，即q是p的充分不必要条件．
设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则BA，
又A＝{x|p}＝{x|a∴实数a的取值范围是.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(本小题满分12分)已知命题p：x∈[1,3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] 根据题意，p是q的必要不充分条件，
{x|a≤x≤a＋1}?[1,3]，则a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2.
当a＝1时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意；
当a＝2时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意．
所以，实数a的取值范围是1≤a≤2.
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；
(2)p：所有的一次函数都是单调函数；
(3)p：有的三角形是等边三角形；
(4)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(5)p：有一个素数含三个正因数．
[解] (1)
p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(2)
p：有些一次函数不是单调函数．假命题．
(3)
p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(4)
p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3.假命题．
(5)
p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
20．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．
(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；
(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.
[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，
所以a，b至少有一个大于0，所以pq.
反之，若ab＞0，可推出a，b同号．
但推不出a＋b＞0，即qp.
综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
(2)因为AB?A∪B＝B，所以p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即qp，
所以p为q的充分不必要条件．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠?.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．
[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A?B.
∴
解得a的取值范围为≤a≤2.
(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠?，
∴a＞0.
若A∩B＝?，∴a≥4或3a≤2，
所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.
22．(本小题满分12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] (1)当a＝0时显然符合题意．
(2)当a≠0时显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0.
若方程有两个负的实根，则必须有
解得0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1，反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件为a≤1.