课后素养落实(九) 不等式的基本性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设M＝x2＋6x，N＝5x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M
D．与x有关
A [因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N，故选A.]
2．已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当时，ac＞bc不成立，所以充分性不成立；当时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件，故选B.]
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞
B．
＜
C．＞
D．＜
B [因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.]
4．b
g糖水中有a
g糖(b>a>0)，若再添上m
g糖(m>0)，则糖水变甜了．根据这个事实提炼一个不等式为( )
A．<
B．>
C．<
D．>
B [变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，加糖之前糖水的浓度为，加糖之后糖水的浓度为，故>.]
5．(多选题)若a＜b＜0，则下列不等式中可能成立的是( )
A．＜
B．＞
C．|a|＞－b
D．＞
BCD [因为a＜b＜0，所以－＝＞0，＞，A不正确；－a＞－b＞0，＞，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1，＝－，＝－1时，＞，此时D成立．]
二、填空题
6．若x>1，－1y<－y<－xy1，－10，所以－xy]
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
≤ [因为－＝＝≤0，所以≤.]
8．已知1<α<3，－4<β<3.则α＋β的取值范围为________，α－β的取值范围为________．
(－3,6) [∵1<α<3，∴<α<.又－4<β<3，∴－3<－β<4，∴－3<α＋β<6.∴－3＋<α－β<4＋.即－<α－β<.]
三、解答题
9．已知a>0，试比较a与的大小．
[解] a－＝＝.
因为a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；
当010．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
[证明] 因为＋－a－b＝(a－b)＝.
因为(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0.
所以≥0.所以＋≥a＋b.
1．(多选题)给出四个选项能推出<的有( )
A．b>0>a
B．0>a>b
C．a>0>b
D．a>b>0
ABD [0，
A，ab<0，a－b<0，ab(a－b)>0成立，
B，ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立，
C．ab<0，a－b>0，ab(a－b)<0，不成立，
D．ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立．
故选ABD.]
2．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室
( )
A．甲
B．乙
C．同时到达
D．无法判断
B [设路程为2s，步行速度为v1，跑步速度为v2(v1＋－＝＝s·，
因为v10，故乙先到教室．]
3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>，这五个式子中，正确的是________．(填序号)
②④ [令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．]
4．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．w＝x＋2y的取值范围是________．
[3,8] [－3,5] [∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴3≤z≤8.
∵w＝x＋2y＝(x＋y)－(x－y)，
－≤(x＋y)≤6，
－≤－(x－y)≤－1，
∴－3≤(x＋y)－(x－y)≤5.]
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件．
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；
求当x＝－2时，y的取值范围．
[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax2＋bx.
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得
4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解之得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.课后素养落实(十) 基本不等式的证明
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
D [a<0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则<，故C错；
由基本不等式可知D项正确．]
2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab≤2
B．ab≤
C．≥
D．≤2
ABC [由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2.]
3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D．＋≥2
D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]
4．若0A．
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
B [a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵05．当x＞0时，f(x)＝的最大值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
B [∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故选B.]
二、填空题
6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
≤ [∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________，最小值为________．
36 24 [f(x)＝4x＋≥2(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4，由已知x＝3时，f(x)min＝4，∴＝3，即a＝36，f(x)min＝24.]
三、解答题
9．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
[解] (a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
1．(多选题)下列函数中，最小值是2的有( )
A．y＝x＋
B．y＝＋
C．y＝x2＋＋4
D．y＝ex＋2e－x
BD [A.x<0时，y<0，无最小值．
B．y＝＋≥2，当且仅当x＝2时取等号，正确．
C．y＝x2＋＋4≥2＝2，当且仅当x2＋4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；
D．y＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当x＝ln时取等号，正确．]
2．已知a>b>1且b＝，则a＋的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
A [因为a>b>1且b＝，所以a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝即a＝2时等号成立．此时最小值为3.]
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
2 [因为＋＝，所以a>0，b>0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.]
4．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________．
1＋ [①因为a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，
所以3ab＝a＋2b≥2，
所以≥或≤0(舍)，
所以ab≥，所以ab的最小值为；
②由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝≥＝1＋，
当且仅当＝，即a＝，b＝，
所以a＋b的最小值为1＋.]
若0[解] 由x＝
＝
＝≤·
＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，
x＝时取“＝”，故x的最大值为.课后素养落实(十一) 基本不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2
B．a
C．
D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥
2＋1＝3.]
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B [由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]
4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18
B．16
C．8
D．10
A [x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．]
5．(多选题)已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
CD [由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝时，即a＝b＝18等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选CD.]
二、填空题
6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．
25 [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25.]
7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
2 [C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4
.
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．]
8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56 [设阴影部分的高为x
dm，则宽为
dm，四周空白部分的面积是y
dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12
dm时等号成立．]
三、解答题
9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
[解] ∵a>b>0，所以b(a－b)≤2＝，
∴a2＋≥a2＋≥16.
当且仅当即时取等号．
故a2＋的最小值为16.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2
000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5
000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
1．(多选题)已知不等式(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的值可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
BCD [因为x>0，y>0，m>0，
所以(x＋my)·＝1＋m＋＋≥1＋m＋2.
因为(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立．
所以1＋m＋2≥9，解得≥2.即m≥4.]
2．若a>0，b>0,3a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
A [∵a>0，b>0,3a＋b＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴＋的最小值为8.]
3．当33 [y＝＝
＝－＋15≤－2＋15＝3，
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.]
4．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N
)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．最大为________万元．
5 2 [∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝
＝－＋12≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
[解] 设2021年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×万元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．课后素养落实(十三) 一元二次不等式及其解法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．
B．
C．?
D．
D [(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
B [∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N
且x≤5，则x＝1,2.故A∩B＝{1,2}．]
3．若0A.
B．
C.
D．
D [04．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2A．2
B．－1
C．0
D．1
C [由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，
由根与系数的关系知，
解得b＝－1，c＝2；
所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0.]
5．(多选题)在R上定义运算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值可能是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
AB [根据定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故－2二、填空题
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
{x|－4＜x＜1} [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－47．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1－1 1 [由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得
解得a＝－1，b＝1.]
8．如果关于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则m的取值范围________．
(－∞，0)∪ [m＝0时，不等式化为21<0，此时不等式的解集为空集，所以m≠0；
m≠0时，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则
①当m>0时，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>；
②当m<0时，mx2＋8mx＋21<0恒成立；
综上知，m的取值范围是(－∞，0)∪.]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?.
10．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)．
[解] 当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．
当a<0时，
原不等式化为(x－2)<0，
这时两根的大小顺序为2>，
则原不等式的解集为.
当a>0时，
原不等式化为(x－2)>0.
①当0两根的大小顺序为2<，
则原不等式的解集为.
②当a＝1时，2＝，
则原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．
③当a>1时，两根的大小顺序为2>，
则原不等式的解集为.
综上所述，对于原不等式，
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为；
当0当a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠2}．
当a>1时，解集为.
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴解得
∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2.]
2．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1A．x1＋x2＝2
B．x1x2<－3
C．x2－x1>4
D．－1ABC [由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两个根．
∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3.
x2－x1＝＝＝2>4.
由x2－x1>4，可得：－13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|12 [因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则，即1＋m＝，
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.]
4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为?，则a的取值范围为________．若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A且A?{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
(－1,2) (－1，] [若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为?，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1若A?{x|1≤x≤3}，则设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A?{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.
若A＝?，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，
即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2.
若A≠?，
则
即所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为－1＜a≤.]
已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解] 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，
当a>时，原不等式的解集为.课后素养落实(十四) 一元二次不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x<1}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－1B [原不等式?
∴－1≤x<1.]
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1A [原不等式?
∴－13．当x∈R时，不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是( )
A．m>2
B．m<2
C．m<0或m>2
D．0D [因为x2＋mx＋>0恒成立．所以Δ＝m2－4×<0，即04．(多选题)不等式组有解，则实数a的可能值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
ABC [由题意知，a2＋1∴只需4＋2a>a2＋1即a2－2a－3<0，
∴－15．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．－1B．0C．－D．－C [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
又不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－二、填空题
6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
(－∞，－5] [设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有x＝1和x＝2时，函数的值均为非正数，即解得m≤－5.]
7．不等式≥2的解集为________．
∪ [由≥2可得，即
所以x∈∪.]
8．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
[3,5] [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式．
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内．
[解] (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得，y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，
必须有：
即
∴01．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
A [法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于·<0，即<0，从而<0，解得x<－1，选A.]
2．(多选题)在R上对任意x，y＝总有意义，则实数k的可能取值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
AB [由题意知kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立．当k＝0时满足条件．当k≠0时
∴03．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－3] [设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
∴该函数在 [0,1]上y随着x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数取得最小值－3，
∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3.]
4．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a－b＝________.关于x的不等式>0的解集为________．
0 (－∞，－1)∪(2，＋∞) [因为关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且＝1即a＝b.所以a－b＝0.所以关于x的不等式>0，可化为>0.此不等式等价于(x＋1)(x－2)>0.即x<－1或x>2.故原不等式的解集为
(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a
kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/Kw·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2
B．ac2C．a＋c>b＋c
D．<
C [∵1>－2，但是<不成立，故D不正确；∵－1>－2，但是(－1)2>(－2)2不成立，故A不正确；
∵a>b，∴a＋c>b＋c，C正确；c＝0时，0＝ac22．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x∈R}
A [＞1可化为－1＞0，
整理可得＞0，即x＋2＜0，
解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B
B．A>B
C．AD．A≤B
B [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．不等式|x|(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0)∪
B．
C．
D．
A [当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以00，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪，故选A.]
5．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
D [∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.]
6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.
B．
C.
D．
A [由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得
?
∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.
解得－17．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3
B．a＞2或a≤－3
C．a＞2
D．－2＜a＜2
C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，
即解得a＞2.]
8．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10
km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5
km处
B．4
km处
C．3
km处
D．2
km处
A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则( )
A．b>2
B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9
C.
0D．a2＋b2>8
ACD [由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以02，所以A、C正确，因为≥2，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab<2，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B错误；故选ACD.]
10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值
B．＋有最小值
C．＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
AC [∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＋a＋b≥1＋2，所以≤，∴ab≤，A正确.＋≥2，＋的最小值不是.B错误.＋＝＝≥4，∴＋有最小值4.∴C正确．a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，D错误．]
11．若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是[－3,4]的子集，则实数a的取值可能是( )
A．－3
B．2
C．－5
D．5
AB [关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0化为(x－1)(x－a)<0，
其解集是[－3,4]的子集．
当a＝1时，不等式(x－1)2<0，其解集为空集，符合题意．
当1当a<1时，不等式的解集为{x|a当a>4时，不等式的解集为{x|1综上，实数a的取值范围为[－3,4]．]
12．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2
D．ab有最小值3＋2
AD [∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，当a＝b时取等号．
∴1＝ab－(a＋b)≤ab－2，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，
∴ab有最小值3＋2.
∵ab≤2，当a＝b时取等号．
∴1＝ab－(a＋b)≤2－(a＋b)，∴(a＋b)2－4(a＋b)≥4，
[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2(＋1)，
∴a＋b有最小值2(＋1)．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为.]
14．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立．则实数m的取值范围为________．
(－4,2) [∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”)，若＋>m2＋2m恒成立．则m2＋2m<8，解之得－415．设实数a，b，c满足a>b>c，则y＝(a－c)·的最小值为________．
9 [∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，y＝(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]
＝5＋＋≥9，当且仅当b－c＝2(a－b)，等号成立，
所以y＝(a－c)的最小值为9.]
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为________元，每天获得的利润最多为________元．(本题第一空2分，第二空3分)
60 2
500 [设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则
y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0＜t≤30，
所以y＝＝＝≤＝2
500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2
500.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
[解] (1)原不等式组可化为即0(2)原不等式等价于
即
因式分解，得
所以
所以－3所以原不等式的解集为{x|－318．(本小题满分12分)已知?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a,1－a)；
当a＝时，解集为?；
当19．(本小题满分12分)(1)已知a，b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10.
[解] (1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1.
又∵a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．
由得
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取得最小值18.
(2)证明：＋＋
＝＋＋
＝4＋＋＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴＋＋≥10.
20．(本小题满分12分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2
000，且当年产量是50时，总成本为4
000.
(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；
(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
[解] (1)将x＝50，y＝4
000代入y＝ax2＋2
000中，
可得502a＋2
000＝4
000，从而a＝，于是y＝x2＋2
000.
因此t＝＝x＋(x>0)．
(2)因为t＝x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80.
21．(本小题满分12分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5
cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[解] 设矩形栏目的高为a
cm，宽为b
cm，
则ab＝9
000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)
＝2ab＋40b＋25a＋500＝18
500＋25a＋40b
≥18
500＋2＝18
500＋2＝24
500.
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75.
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24
500
cm2.
故广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告的面积最小．
22．(本小题满分12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
[解] (1)∵整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0,
解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.课后素养落实(十二) 从函数观点看一元二次方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是( )
A．1
B．2
C．1或2
D．0
C [由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2.]
2．函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为( )
A．－和
B．和－
C．－3和2
D．无法确定
A [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A.]
3．关于x的函数y＝
x2－2ax－8a2
(a>0)的两个零点为x1,
x2，且x2－x1＝15，则a＝( )
A．
B．
C．
D．
A [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.故选A.]
4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，实数m的可能取值为( )
A．－5
B．－
C．－
D．－3
BC [x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0.当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2，即解得－45．(多选题)已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点．且一个大于2，一个小于2，则实数k的可能取值为( )
A．－2
B．－3
C．－4
D．－5
BCD [由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧．由图象知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－.]
二、填空题
6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝________.
1 [因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得
所以＋＝＝1.]
7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________．
[当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为.]
8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一一个零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________．
[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点．所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝.
若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0三、解答题
9．求下列函数的零点．
(1)
y＝x－2－3；
(2)
y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．
[解] (1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0，
又≥0，所以＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9.
(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)
＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0，
①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；
②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．
10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
[证明] 法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝x2－ax－a－2有两个零点．
法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
1．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
BCD [当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选BCD.]
2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④
B．①④
C．②③
D．①③
B [因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a3．已知实数am4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]都有y<0成立，则m的取值范围为________．若函数一个零点为1则m的值为________．
0 [作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0，
则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0.
即
解得－所以实数m的取值范围为.
若函数一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0.]
若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围．
[解] 函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，
又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1，
所以解得－即实数a的取值范围是.