课后素养落实(十五) 指数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①错，16的4次方根是±2；②错，＝2；③④正确，由根式的意义可知．]
2．式子a·＝( )
A [原式＝a·＝－a·＝－a·a＝－a.]
3．＋＋的值为( )
A．2
B．－6＋2
C．－6
D．－14
C [＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.]
4．
(a＞0，b＞0)＝( )
A．
B．ab
C．
D．ab2
A [原式＝＝ab－1＝.]
5.0.5＋(－1)－1÷0.75－2＋＝( )
A．
B．
C．－
D．－
A [原式＝－1÷－2＋＝－1÷2＋＝－＋＝.]
二、填空题
6．已知10α＝3,10β＝4，则10＝________.
18 [10＝(10α)2×(10β)＝32×4＝18.]
7．计算：＋(－9.6)0－×2＝________.
8．计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)＝________.
(2)＝________.
(1)4a (2) [(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]·
三、解答题
9．化简：
(1)(7＋4)－27＋16－2×(8)－1＋×(4)－1；
(2)＋·(－)－1－－－－1.
＝－.
10．化简：
(2)(a－3＋a3)(a－3－a3)÷[(a－4＋a4＋1)(a－1－a)]．
[解] (1)原式＝
＝－2＝－.
(2)原式＝[(a－3)2－(a3)2]÷[(a－4＋a4＋1)(a－1－a)]
＝
＝
＝
＝a－1＋a＝＋a.
1．(多选题)化简结果正确的是( )
A．m
B．m
C．－m
D．－m
AD [若m<0，则＝＝－m，
若m>0，则＝＝m.]
2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A．
B．
C．
D．－1
D [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.]
3．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么y用x表示为________．
[由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.]
4．计算：0.5＋＝________；方程4x－2x－2＝0的解为________．
1 [0.5＋＝2×0.5＋＝＋＝；
因为4x－2x－2＝0?(2x)2－2x－2＝0?(2x－2)(2x＋1)＝0，
所以2x＝2或2x＝－1(舍)，
所以x＝1.]
根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] (1)－
＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得：
原式＝＝＝－24＝－8.
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴
∵a>b>0，
∴>.
2＝＝＝＝，
∴＝＝.课后素养落实(十六) 对数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下面四个结论中正确的是( )
A．lg(lg
10)＝0
B．ln(ln
e)＝0
C．若10＝lg
x，则x＝10
D．若e＝ln
x，则x＝e2
AB [lg(lg
10)＝lg
1＝0，故A正确．ln(ln
e)＝ln
1＝0，故B正确．
若10＝lg
x，则x＝1010，故C错误．若e＝ln
x，则x＝ee，故D错误．]
2．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3]
B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3,4)
B [由函数的解析式可得，解得3
4.]
3．若log2(logx9)＝1则x＝( )
A．－3
B．3
C．±3
D．9
B [由题意知logx9＝21＝2，∴x2＝9，∴x＝±3.又x>0
∴x＝3.]
4．设log45＝2m，则4m＝( )
A．
B．25
C．
D．
D [∵log45＝2m，
∴m＝log4，
∴4m＝4＝.]
5．已知a＝(a>0)，则a的值为( )
A．
B．
C．3
D．－3
C [∵已知a＝(a>0)，
∴a＝＝3，
则a＝3＝3.]
二、填空题
6．若loga3＝m，loga5＝n.则a2m＋n的值为________．
45 [由loga3＝m，得am＝3.由loga5＝n得an＝5，
∴a2m＋n＝2·an＝32×5＝45.]
7．已知a＝23＋log23，b＝
32＋log32，则a，b的大小关系是________．
a>b [a＝23＋log23＝23×2log23＝8×3＝24，b＝32＋log32＝32×3log32＝9×2＝18，所以a>b.]
8．已知log7(log3(log2x))＝0，则x＝________，x－＝________.
8 [由题意得，log3(log2
x)＝1，即log2
x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴x＝8＝＝＝＝.]
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2
x)＝0；
(5)x＝log27
.
[解] (1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，
得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)＝－1.
(4)由log5(log2
x)＝0，得log2
x＝1.
∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27
，得27x＝，
即33x＝3－2，∴x＝－.
10．计算下列各式：
(1)10lg
3－log41＋2log26；
(2)22＋log23＋32－log39.
[解] (1)10lg
3－log41＋2log26＝3－0＋6＝9.
(2)22＋log23＋32－log39＝22×2log23＋＝4×3＋＝12＋1＝13.
1．(多选题)使log(3a－1)(4－a)有意义的a的可能取值为( )
A．
B．1
C．2
D．5
BC [由题意知解得2．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A．－3
B．3
C．－1或3
D．1或－3
B [由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，
得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.]
3．把对数式log84＝x化成指数式是________；可求出x＝________.
8x＝4 [∵log84＝x，
∴8x＝4，∴23x＝22，所以x＝.]
4．求值：31＋log36－24＋log23＋103lg
3＋log3
4＝________.
－ [原式＝31·3log3
6－24·2log2
3＋(10lg
3)3＋3－2·log3
4
＝3×6－16×3＋33＋(3log3
4)－2
＝18－48＋27＋＝－.]
分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小，把声压P0＝2×10－5帕作为参考声压．把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？
(3)2013年央视春晚中，蔡明、潘长江等表演小品《想跳就跳》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？
[解] (1)根据题意可知，y＝20lg.
(2)声压P＝0.002，代入可得：
y＝20lg＝40，故属于无害区．
(3)将90dB代入可得：90＝20lg
解得：P＝Pa.课后素养落实(十七) 对数的运算性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a2＝(a>0)，则a＝( )
A．
B．
C．
D．2
D [由a2＝(a>0)，得a＝，
所以＝2＝2.]
2．已知4a＝3，b＝log23，则4a－b＝( )
A．3
B．1
C．
D．
D [∵4a＝3，∴a＝log43，
∴a－b＝log43－log23＝log23－log23＝－log23＝log4，
∴4a－b＝4＝.]
3．已知log23＝a，log38＝b，则ab＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
B [∵log23＝a，log38＝b，
则ab＝·＝＝log28＝3.]
4．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝( )
A．15
B．56
C．
D．
B [∵7a＝k，∴a＝log7k.∵8b＝k，∴b＝log8k.
∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56.]
5．已知ab>0，有下列四个等式：①lg(ab)＝lg
a＋lg
b；
②lg＝lg
a－lg
b；③lg2＝lg；
④lg(ab)＝，其中正确的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
C [当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lg
a＋lg
b不成立；
②lg＝lg
a－lg
b不成立；
③由ab>0可得，>0，lg2＝lg成立；
④根据对数的换底公式可得当ab＝1时，lg(ab)＝不成立．]
二、填空题
6．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log512用a，b表示为________．
[log5
12＝＝＝.]
7.＝________.
1 [＝＝＝＝＝＝1.]
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg
A－lg
A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1
000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
6 10
000 [由M＝lg
A－lg
A0知，M＝lg
1
000－lg
0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg
＝lg
A1－lg
A2＝(lg
A1－lg
A0)－(lg
A2－lg
A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10
000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10
000倍．]
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)(lg
5)2＋lg
2·lg
50.
[解] (1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg
5)2＋lg
2·(lg
2＋2lg
5)
＝(lg
5)2＋2lg
5·lg
2＋(lg
2)2
＝(lg
5＋lg
2)2＝1.
10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b；
(2)设a＝lg
2，b＝lg
7，用a，b表示lg
，lg
.
[解] (1)∵10a＝2，
∴lg
2＝a.
又∵10b＝3，∴lg
3＝b，
∴1002a－b＝100(2lg
2－lg
3)＝100＝10＝10＝.
(2)lg
＝lg
23－lg
7＝3lg
2－lg
7＝3a－b.
lg
＝lg
(2×52)－lg
(72)＝lg
2＋2lg
5－2lg
7
＝lg
2＋2(1－lg
2)－2lg
7
＝2－a－2b.
1．(多选题)若a>0，b>0，给出下列四个等式，其中错误的是( )
A．lg(a＋b)＝lg
a＋lg
b
B．lg
a2＝2lg
a
C．lg2＝lg
D．lg(ab)＝
AD [∵a>0，b>0，∴lg
a＋lg
b＝lg(ab)，
故A中等式不成立．
∵a>0，b>0，∴a2>0，>0，∴lg
a2＝2lg
a，
lg2＝lg，故B、C中等式成立．
当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，
∴D中等式不成立．]
2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：
lg
3≈0.48)( )
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
D [由已知得，lg
＝lg
M－lg
N≈361×lg
3－80×lg
10≈361×0.48－80＝93.28＝lg
1093.28.故与最接近的是1093.]
3．设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是________．
－1 [＝，
可得a＝－1＝.
则log2a(2a＋1)＝log＝log＝－1.]
4．若a＝log147，b＝log145，则log3528＝________(用含a、b的式子表示)；若＝c，则＝________(用含c的式子表示)．
[∵a＝log147，
∴log142＝log14＝1－log147＝1－a，
∴log3528＝＝＝＝＝，
∵＝c，且lg
2＋lg
5＝1，
∴lg
2＝，
∴＝＝＝＝，
故答案为：，.]
若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0.
设t＝lg
x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)·＝(lg
a＋lg
b)·
＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.章末综合测评(四) 指数与对数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A．2
B．－2
C．2
D．－2
B [＝(－2)＝(－2×2)＝＝－2.故选B.]
2．计算9的结果是( )
A．
B．18
C．36
D．
A [9＝(32)＝3－3＝，故选A.]
3．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5
B．－2x－1
C．－1
D．5－2x
C [因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝(2－x)－(3－x)＝－1.]
4．方程2log3x＝的解是( )
A．9
B．
C.
D．
D [∵2
log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]
5．若lg
2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x的值等于( )
A．1
B．0或
C．
D．log23
D [
因为lg
2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.故选D.]
6．已知ab＝－5，则a＋b的值是( )
A．2
B．0
C．－2
D．±2
B [由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0.]
7．已知loga
＝m，loga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3
B．
C．9
D．
D [由已知得am＝，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.]
8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为( )
A.
B．4
C．1
D．4或1
B [因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，2－5＋4＝0，解得＝1(舍去)，＝4，故选B.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列运算正确的是( )
A．＝a
B．log2a2＝2log2a
C．＝－a
D．(log29)·(log34)＝4
CD [当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.所以D正确，应选CD.]
10．若m>0，n>0，a>0且a≠1，b>0，则下列等式错误的是( )
A．a－n＝
B．logam·logan＝loga(m＋n)
C．＝m
D．m＝
ABC [a－n＝，故A错误；
logam＋logan＝loga(mn)，故B错误；
＝m，故C错误；
m＝故D正确．故选ABC.]
11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝( )
A．
B．
C．
D．2
AD [令t＝logab，
则t＋＝，
∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，
∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2，或a2＝b，
∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，
∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4.
∴＝2，或＝，故选AD.]
12．下列命题中，真命题是( )
A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝
B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±
C．若log6[log3(log2x)]＝0，则x＝
D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)＝0
ACD [对于A，因为log189＝a，log1854＝b，
所以18a＝9,18b＝54，
所以182a－b＝＝＝.即A正确；
对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6.
所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝.即B错误；
对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
所以x＝8＝＝＝＝.即C正确；
对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，
所以logx(yx)＝log2(12)＝0，即D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．10lg
2－ln
e＝________.
[ln
e＝1，所以原式＝10lg
2－1＝10lg
2×10－1＝2×＝.]
14．若＋＝0，则x2
020＋y2
021＝________.
0 [∵≥0，≥0，且＋＝0，
∴即
∴x2
020＋y2
021＝1－1＝0.]
15．已知正数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b＝________.
4或5 [∵ba＝4，
∴log2ba＝log24，即alog2b＝2①，又a＋log2b＝3②，
联立①②得或者，
即或者，
∴a＋b＝4或者a＋b＝5，
故答案为：4或5.]
16．若2a＝5b＝10，则4－a＝________，＋＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
1 [∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴4－a＝＝＝；
＋＝＋＝lg
2＋lg
5＝lg
10＝1.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
求下列各式中x的值．
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg
x)＝1；
(3)52－log53＝x；
(4)
(alogab)logbc＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
[解] (1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1.
∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg
x)＝1，
∴lg
x＝2.
∴x＝102＝100.
(3)x＝52－log53＝＝.
(4)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
18．(本小题满分12分)(1)已知3a＝5b＝15，求＋的值．
(2)设10a＝2，lg
3＝b，用a，b表示log26.
[解] (1)∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＝log153，＝log15
5，
∴＋＝log1515＝1.
(2)∵10a＝2，
∴lg
2＝a，
∴log26＝＝＝.
19．(本小题满分12分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；
(2)已知a＝2，b＝5，求·的值．
[解] (1)原式＝log4(42×46)＋log3＋log5125＝8＋2＋3＝13.
(2)a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2，
由a＝2，b＝5，得a3b－3<3b2.
∴原式＝·
＝－
＝－
＝－b2.
∵b＝5，故原式＝－50.
20．(本小题满分12分)(1)求64＋－0.5的值；
(2)若log23＝x，求的值.
[解] (1)64＋－0.5＝16＋－＝16.
(2)若x＝log23，则2x＝3,2－x＝，
所以＝＝2x＋2－x＝3＋＝.
21．(本小题满分12分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
[解] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，∴－＝.
22．(本小题满分12分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，精确到1年)
[解] 设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，
x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.
所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得
xlg
0.72＝lg
0.4.
故x＝＝＝
＝
≈
＝≈3(年)．
所以，约3年后每桶的生产成本为20元．