课后素养落实(十八) 函数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f
＝( )
A．
B．
C．a
D．3a
D [f
＝3a，故选D.]
2．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有选项C中图象符合．]
3．(多选题)下列四组中f(x)，g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x2＋3x＋1，g(t)＝t2＋3t＋1
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝x0
D．f(x)＝，g(x)＝|x＋1|
ABD [A中的两个函数它们的对应关系相同，定义域相同均为实数集R；B中的两个函数它们的对应关系相同，定义域均为实数集R，D中函数的对应关系相同，定义域相同均为实数集R；故A、B、D是同一函数；
C中函数f(x)的定义域为实数集R，函数g(x)＝x0的定义域为实数集{x|x≠0，且x∈R}；C中函数不是同一函数；故选ABD.]
4．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
D [由题意可得所以x≥－1且x≠1，故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D.]
5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为( )
A．(0,5)
B．
C．
D．(0，＋∞)
B [由题意知0
解得0又底边长y与腰长x应满足2x>y，
即4x>10，x>.
综上，二、填空题
6．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.f(f(a))＝，则a＝________.
－ 1 [由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.f(f(a))＝＝＝解得a＝1.]
7．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f
＋f(x－1)的定义域是________．
(0,2) [由题意知即解得08．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
[定义域为R，所以kx2－6x＋8≥0恒成立，因此满足代入解不等式组得k≥.]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
[解] (1)要使函数式有意义，必须满足即所以≤x≤，即函数的定义域为.
(2)要使函数式有意义，必须满足即解得所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．
10．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x2－4.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(1)，f(－2)，g(3)，f(g(1))，g(f(2))的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)＋g的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使有意义，
所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(1)＝1＋1＝2；f(－2)＝－2＋＝－；g(3)＝32－4＝5；
g(1)＝1－4＝－3，所以f(g(1))＝f(－3)＝－3＋＝－；
f(2)＝2＋＝，g(f(2))＝g＝2－4＝.
(3)f(a＋1)＋g＝a＋1＋＋2－4.
1．下列等式中，y不是x的函数关系的是( )
A．y＝2x
B．y＝
C．y＝x2＋5
D．y2＝x2＋5
D [选项A、B、C符合函数定义．对于选项D，当x＝0时，y＝±.故y不是x的函数．]
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1
B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝
D．y＝|x|
A [对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
3．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个．
9 [因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]
4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合题意；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f
，f(3)＋f
的值；
(2)求证：f(x)＋f
是定值．
[解] ∵f(x)＝，∴f(2)＋f
＝＋＝1.
f(3)＋f
＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f
＝＋＝＋＝＝1.课后素养落实(十九) 函数的图象
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
A B C D
D [结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，]
2．函数y＝|x＋1|的图象为( )
A [将y＝|x|左移1个单位即得到y＝|x＋1|的图象．]
3．函数y＝＋x的图象是( )
C [函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，
故图象与y轴交点处应为空心小圆圈，故排除A、B.当x<0时，y＝－1＋x<0，故排除D.]
4．函数y＝1－的图象是( )
B [y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝1－的图象．]
5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f
的值等于( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [由题意知，f(3)＝1，所以f
＝f(1)＝2.]
二、填空题
6.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．(填序号)
④ [根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．]
7．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．
(－4,1) [y＝f(x＋4)可以认为把y＝f(x)左移了4个单位，由y＝f(x)经过点(0,1)，易知f(x＋4)经过点(－4,1)．]
8．函数y＝x2－4x＋6，x∈[0,3]的值域为________，顶点坐标为________．
[2,6] (2,2) [∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∴函数的图象是以直线x＝2为对称轴，以(2,2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2,6]．
]
三、解答题
9．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．
[解] (1)列表：
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)指出函数y＝f(x)的定义域、值域、对称中心；
(3)探究函数y＝(ad－bc≠0)的图象是否有对称中心？若有，并说明理由．
[解] (1)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，
再向上平移2个单位得到，如图．
(2)函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，值域为{y|y∈R且y≠2}，对称中心为(1,2)．
(3)
∵y＝＝＝＋，故函数图象可由反比例函数y＝图象向左(右)平移个单位，再向上(下)平移个单位得到，
所以函数y＝(ad－bc≠0)的图象有对称中心
.
1．f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为( )
A．[－2,3]
B．[－4,2.7]
C．[－2,8]
D．[－4,3]
D [由函数的图象可知，f(x)的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]
2．(多选题)如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是
( )
AD [A由抛物线对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线过原点且a>0符合，B由抛物线图象可知，a>0，由直线的图象知a＜0矛盾，故不可能；C由抛物线图象可知，a<0，由直线的图象知a＞0矛盾，不可能；由此可知D可能是两个函数的图象．]
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为________，g(f(2))＝________.
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
2 2 [由函数g(x)的图象知g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝2.
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.]
4．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)与0的大小关系是________．
f(m＋1)>0 [因为二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)的对称轴是x＝－，且与y轴正半轴相交，所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1，故若f(m)<0，则必有f(m＋1)>0.]
如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2
m，渠深为1.8
m，斜坡的倾斜角是45°.(不考虑临界状态)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
[解] (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2
m，上底为(2＋2h)m，高为h
m，∴水的面积A＝
＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1
B．
C．
D．
C [因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f(f(－2))＝f
＝1－＝1－＝.]
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则
f
＝( )
A．
B．
C．－
D．
B [由图象知，当－1＜x＜0时，f(x)＝x＋1，
当0＜x＜1时，f(x)＝x－1，
∴f(x)＝∴f
＝－1＝－，
∴f
＝f
＝－＋1＝.]
3．如果f
＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A．
B．
C．
D．－1
B [令＝t，则x＝，代入f
＝，
则有f(t)＝＝，
故f(x)＝.故选B.]
4．设f(x)＝若f(x)＝3，则x等于( )
A．1
B．±
C．
D．
D [若即无解．
若即∴x＝.
若即无解．
故x＝.]
5．设函数f(x)＝若f
＝4，则b＝( )
A．1
B．
C．
D．
D [f
＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]
二、填空题
6．设函数f
＝x，则f(x)＝________.
(x≠－1) [设t＝(t≠－1)，∴x＝，
∴f(t)＝(t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠－1)．]
7．已知函数y＝使函数值为5的x的值是________．
－2 [若x2＋1＝5，则x2＝4，
又∵x≤0，∴x＝－2；
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故答案为－2.]
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，则函数解析式为________．乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
y＝30x－570 19 [设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得解得即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.]
三、解答题
9．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴∴
∴f(x)＝x2＋x.
10．设f(x)＝
(1)在下列直角坐标系中画出f(x)的图象；
(2)若f(t)＝3，求t值．
[解] (1)如图．
(2)由函数的图象可得：f(t)＝3即t2＝3且－1＜t＜2，∴t＝.
1．(多选题)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|2x|
B．f(x)＝x
C．f(x)＝
D．f(x)＝x－|x|
ABD [f(x)＝|2x|，f(2x)＝4|x|,2f(x)＝4|x|，A正确．f(x)＝x，满足f(2x)＝2f(x)，B正确．f(x)＝，f(2x)＝，2f(x)＝2不满足f(2x)＝2f(x)，故C不正确．f(x)＝x－|x|，f(2x)＝2x－2|x|,2f(x)＝2x－2|x|，所以D正确．]
2．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝( )
A．0
B．2
C．4
D．6
B [由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，
因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.]
3．已知f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，则f(x)＝________.
＋x [用－x替换原式中的x得f(－x)＋3f(x)＝x2＋3x，联立f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，
消去f(－x)得f(x)＝＋x.]
4．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.f(a－b)＝________.
2 －1或63 [∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
＝x2＋10x＋24，
∴∴或
∴5a－b＝2.
a－b＝－2或6
当a－b＝－2时，
f(a－b)＝(－2)2＋4×(－2)＋3＝－1，
当a－b＝6时，f(6)＝62＋4×6＋3＝63.]
某公司规定：职工入职工资为2
000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144
000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．
[解] 由题意，前3年的月工资分别为2
000元，4
000元，8
000元，第4年和第5年的月工资平均为：＝12
000.当年份序号为x时，月工资为y元，则用列表法表示为：
年份序号x(年)
1
2
3
4
5
月工资y(元)
2
000
4
000
8
000
12
000
12
000
图象法表示为：
其解析式为：
f(x)＝
由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2
000，4
000，8
000,12
000}．课后素养落实(二十一) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
ABD [由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选ABD.]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥
B．a≤
C．a>
D．a<
D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.]
3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )
A．y＝
B．y＝2x－1
C．y＝1－2x
D．y＝(2x－1)2
B [对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B.]
4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
C [由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．]
5．已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(a2－a＋1)与f
的大小关系是( )
A．f(a2－a＋1)>f
B．f(a2－a＋1)≤f
C．f(a2－a＋1)≥f
D．f(a2－a＋1)B [由题意知a2－a＋1＝2＋≥.
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f
.故选B.]
二、填空题
6．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(－∞，2] [∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.]
7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________，值域为________．
(－∞，1) (3，＋∞) [当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
函数f(x)的图象如图所示，值域为(3，＋∞)．
]
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________．
[由题意，得
解得2≤x＜，故满足条件的x的取值范围是2≤x＜.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明：函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
[解] (1)由题意知x＋1≠0，
即x≠－1.
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x)＝＝2－，
∴f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵x10.
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
10．作出函数f(x)＝＋的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解] 原函数可化为
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)．
1．(多选题)已知f(x)为R上的减函数，则满足f
A．－
B．
C．－1
D．1
AB [由函数f(x)是减函数且f
1.解得－12．(多选题)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象可能是( )
ACD [因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：
①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a＞0时，－≥0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a＜0时，－≥0?b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.故y＝2ax＋b的图象不可能是B.]
3．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[f(x)＝＝＝a＋在区间(－2，＋∞)上是增函数，结合反比例函数性质可知1－2a<0，
∴a>，则a的取值范围是.]
4．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
， [函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示，f(x)的单调递减区间为，.
]
讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
[解] f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(1－2a)，
∵－20，
又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．课后素养落实(二十二) 函数的最大值、最小值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2
B．
C．
D．－
B [∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]
2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为( )
A．[－6，－2]
B．[－11，－2]
C．[－11，－6]
D．[－11，－1]
B [函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；
当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，
所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]
3．(多选题)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是( )
A．2
B．0
C．－2
D．1
AC [当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.
当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.
综上a＝±2.]
4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为( )
A．[－2,2]
B．(－2,2]
C．(－2,2)
D．[－2,2)
A [f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a<0
D．a≤0
C [令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图：
∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0.
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.]
二、填空题
6．函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．
－2 0 [f(x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；
x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0.]
7．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{x＋1,3－x}(x∈R)的最小值是________．
2 [画出函数f(x)的图象(图略)，故f(x)的最小值为2.]
8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
[2,4] [f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．
由最小值为1知m≥2.
由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2ax＋(a∈R)．
(1)当a＝时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；
(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．
[证明] (1)∵a＝，∴f(x)＝x＋，取任意的x1，x2，且0f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋
＝(x1－x2).
(
)
∵0得(
)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在(0,1]上的单调递减．
(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6
恒成立，
即2a≥6－2，∈[1，＋∞)?max＝9?2a≥9，即a≥.
10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解] y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，
ymin＝f(1)＝1.
∵f(0)＝2ymax＝f(4)＝10.
(2)∵1?[2,3]，且1<2，∴f(x)在[2,3]上是单调增函数，
∴当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝2，
当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝5.
(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，
当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝
1．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10
B．10或20
C．20
D．无法确定
C [当k＝0时，不满足．
当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝＝5，
∴k＝20满足条件，
k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝＝5，
∴k＝10，
又∵k<0，∴k＝10舍去，
综上有k＝20.]
2．(多选题)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值可能是( )
A．30
B．40
C．80
D．180
ABD [由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.]
3．函数g(x)＝2x＋的最小值为________，f(x)＝2x－的值域为________．
－2 [g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上为增函数，所以g(x)min＝g(－1)＝－2.
设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－(t≥0)，∴当t＝时，ymin＝－.
∴f(x)的值域为.]
4．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f(x)，g(x))的最大值为________．
3 [f(x)－g(x)＝4－x2－3x，
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f(x)≥g(x)．
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f(x)＜g(x)，
所以min(f(x)，g(x))＝作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f(1)＝3.]
已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f
＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
当x>1时，f(x)<0，∴f
<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f
＝f(x1)－f(x2)，得f
＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.课后素养落实(二十三) 函数的奇偶性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝x2＋1
D．y＝－
BC [对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－不是偶函数．]
2．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－x2＋2x－3
B．f(x)＝－x2－2x－3
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2－2x＋3
B [若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]
3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)B．f(－1)C．f(0)D．f(－1)C [∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为( )
A．[1，＋∞)
B．[－1,0]
C．[－1，＋∞)
D．[－1,0]和[1，＋∞)
D [偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]和[1，
＋∞)．]
5．已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(－1,1)
B [首先函数定义域是R，再者根据f(2x－1)＋∞)上单调递增，可得|2x－1|<1，解得0二、填空题
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4 [f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.]
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
1 [∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.]
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2为偶函数，则m＝______.f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
0 f(－2)三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
(5)f(x)＝ln(－x)．
[解] (1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．
(5)因为对于任意x∈R，－x>|x|－x≥0，所以函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝ln(＋x)＝ln
＝－ln(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
[解] (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
1．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
AC [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选AC.]
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
C [∵f(x)为奇函数，<0，
即<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.
综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
－1 [∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.]
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)1 (0,2) [由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．
[解] 当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，
∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f
＝－，f(x)max＝f(－3)＝2.
又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，
∴m的最小值为，n的最大值为－2，
∴(m－n)min＝－(－2)＝，即m－n的最小值为.章末综合测评(五) 函数概念与性质
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
D [A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同．]
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞)
D．R
C [要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.]
3．已知f(x)＝则f
的值是( )
A．－
B．
C．
D．－
C [f
＝－1＝－，f
＝－＋1＝.]
4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，且f(1)＝－2，则实数m的值为( )
A．－4
B．0
C．4
D．2
B [因为函数y＝f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，由当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，f(1)＝－2，所以2－m＝2，从而m＝0，应选B.]
5．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D [∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.]
6．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于( )
A．－10
B．－2
C．－6
D．14
B [∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，
∴125a＋5b＝6，
∴f(－5)＝－125a－5b＋4
＝－(125a＋5b)＋4
＝－6＋4＝－2.]
7．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c(a≠0)在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[2，＋∞)
C．[0,2]
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C [二次函数的对称轴为x＝1.由二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，可知a>0，故该函数图象的开口向上，且f(0)＝f(2)．当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]
8．已知函数y＝f(x)的定义域为∪，且f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f(x)＝－x2－2x，则函数y＝f(x)－的所有零点之和等于( )
A．4
B．5
C．6
D．12
A [因为f(x＋1)为奇函数，所以图象关于对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于对称，即f＋f＝0.
当x<1时，f(x)＝－x2－2x，
所以当x>1时，f(x)＝x2－6x＋8.
当－x2－2x＝时，可得x1＋x2＝－2，
当x2－6x＋8＝时，可得x3＋x4＝6，
所以函数y＝f(x)－的所有零点之和为6－2＝4，故选A.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断错误的有( )
A．若f(－2)>f(2)，则函数f(x)是R上的单调增函数
B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数
C．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f(x)是R上的单调增函数
ACD [对于A，列举反例f(x)＝(x－2)2，A错误；对于B，若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，即原命题的逆否命题为真，所以B正确；对于C，列举反例f(x)＝|x|，C错误；对于D，列举反例f(x)＝，所以D错误；故选ACD.]
10．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值可能是( )
A．1
B．2
C．－1
D．4
ABD [y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2由已知得，
a≤2或a≥3.]
11．下列命题为真命题的是( )
A．函数y＝|x－1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数
B．函数f(x)＝＋的最小值为2
C．“x＝2”是“x－2＝”的充要条件
D．?x∈R，CD [y＝|x－1|当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝2，所以y＝|x－1|不是偶函数，选项A错误；令t＝∈[3，＋∞)，g(x)＝t＋.根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3，＋∞)是增函数，g(t)的最小值为，即f(x)的最小值为，选项B错误；x－2＝≥0,2－x≥0，∴x＝2，选项C正确；当x＝1时，12．已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①?x∈R，f(－x)＝f(x)；②?x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是( )
A．f(3)>f(－4)
B．若f(m－1)C．若>0，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)
D．?x∈R，?M∈R，使得f(x)≥M
CD [由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(3)若f(m－1)若>0，则或
因为f(－1)＝f(1)＝0，
所以x>1或－1因为定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)，所以对?x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确；故选CD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是________．
(2,3)∪(3，＋∞) [由题意，得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．
14．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为________．
[1,2] [函数f(x)＝x2－2x＋3在x＝1处取得最小值为2，在x＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a的取值范围为[1,2]．]
15．已知函数f(x)＝，那么f(f(3))＝______；若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a
的个数是_________．(本题第一空2分，第二空3分)
1 4 [f(f(3))＝f(－1)＝1；令f(a)＝t，即满足f(t)＝t，
①t＝1，即a＝±1时，经检验，均满足题意；
②t<1，即－11时，f(t)＝t2，由t＝t2，解得t
＝0或1(舍去)；再由t＝f(a)＝0解得a＝0或2；
③t>1，即a<－1时，f(t)＝2－t，由t＝2－t，解得t＝1(舍去)；综上所述：共有4个a.]
16．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f
与f
的大小关系是____________．
f
≥f
[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f
≤f
＝f
.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)求函数f(x)＝x－2，x∈{0,2,5，－1}的最大值与最小值；
(2)已知函数y＝f(x)(－1≤x≤4)的图象如图所示．根据函数图象回答：当y取得最大值时，对应的自变量是多少？函数的最小值是多少？
[解] (1)∵f(0)＝－2，f(2)＝0，f(5)＝3，f(－1)＝－3，
∴f(－1)∴f(x)＝x－2的最大值为f(5)＝3，最小值为f(－1)＝－3.
(2)由图象可知函数的最高点的横坐标为4，此时对应的自变量为4；最小值是图象的最低点，其纵坐标为－2，即最小值为－2.
18．(本小题满分12分)(1)求函数f(x)＝ln(4－2x)＋(x－1)0＋的定义域(要求用区间表示)；
(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．
[解] (1)要使函数有意义，需有
解得x<2且x≠1且x≠－1.
所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)．
(2)因为f(x＋1)＝x2－2x，所以令x＝2，得f(3)＝22－2×2＝0.
用配凑法求函数解析式：∵f(x＋1)＝x2－2x，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
故f(x)＝x2－4x＋3，(x∈R)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)确定f(x)的单调性；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)＝＝＝2－.
设3≤x1则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝<0，即f(x1)∴f(x)在[3,5]上单调递增．
(2)∵f(x)在[3,5]上单调递增，
∴f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.
(1)若函数的图象经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
[解] (1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，
∴
∴m＝1.
(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)上为增函数，
∴对称轴x＝－≤2，∴m≥0，
∴实数m的取值范围是[0，＋∞)．
21．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12
km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12
km以上温度一定，保持在－55
℃.
(1)当地球表面大气的温度是a
℃时，在x
km的上空为y
℃，求a、x、y间的函数关系式；
(2)问当地表的温度是29
℃时，3
km上空的温度是多少？
[解] (1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k<0)，即y＝a＋kx.
依题意，当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－.
∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12)．
又当x>12时，y＝－55.
∴所求的函数关系式为
y＝
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，
即3
km上空的温度为8
℃.
22．(本小题满分12分)已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[t，t＋1](t＞0)上的最大值．
[解] (1)因为二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2，
故函数图象的对称轴为x＝1，
设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，a＜0.
根据f(－2)＝9a＋2＝－16，
求得a＝－2，
故f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
(2)当t≥1时，函数f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
故最大值为f(t)＝－2t2＋4t；
当0＜t＜1时，函数f(x)在[t,1]上是增函数，在[1，t＋1]上是减函数，
故函数的最大值为f(1)＝2.
综上，f(x)max＝