课后素养落实(二十五) 指数函数的概念、图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝23x＋1
C．y＝ax(a>0且a≠1)
D．y＝3x
CD [A中底数－3<0，不是指数函数．B中指数是3x＋1不是x，故B不是指数函数．CD均为指数函数．]
2．方程4x＋2x－2＝0的解是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
B [设2x＝t，则原方程可化为t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1，
由t>0，得t＝1.
故2x＝1，即x＝0.]
3．已知a＝20.2，b＝20.3，c＝0.20.3，则( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
[答案] A
4．已知集合M＝{－1,1}，N＝.则M∩N＝( )
A．－1
B．0或－1
C．{－1}
D．{0，－1}
C [∵<2x＋1<4，
∴2－1<2x＋1<22，
∴－1
∴－2又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，
即N＝{0，－1}，
∴M∩N＝{－1}．]
5．下列图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象只可能为( )
A [由指数函数y＝x的图象知0<<1，
∴a，b同号，二次函数y＝ax2＋bx的对称轴是直线
x＝－，而0>－>－，
∴B、C、D都不正确．]
二、填空题
6．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(3,4) [令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4.即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．]
7．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________．
b由图知c1>d1>a1>b1，
∴b8．已知函数f(x)＝则f
＝________，f(log212)＝________.
[当x≤0时，f(x)＝2x，∴f
＝2－＝，由log212>0，∴f(log212)＝f(log212－2)＋2＝f(log23)＋2＝f(log23－2)＋4＝2log23－2＋4＝＋4＝.]
三、解答题
9．如果a2x＋1≤ax－5(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．
[解] ①当0＜a＜1时，由a2x＋1≤ax－5知2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a＞1时，由a2x＋1≤ax－5，
知2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0＜a＜1时，x的取值范围为{x|x≥－6}；
当a＞1时，x的取值范围为{x|x≤－6}．
10．作出下列函数的简图．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2－|x－1|；(3)y＝|2x－1－1|.
[解] (1)y＝2x－1的图象经过点，(1,1)和(2,2)且是增函数，它是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的，如图(1)．
(2)y＝2－|x－1|＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时是减函数，且与y＝x－1的图象相同，如图(2)．
(3)y＝|2x－1－1|的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，将x轴下方的图象沿x轴对折得到的．图象经过(1,0)及(2,1)点，如图(3)．
1．函数y＝|2x－2|的图象是( )
B [y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方的部分对折到x轴的上方得到的．]
2．(多选题)若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值可能为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
AB [因为f(x)在R上是增函数，
所以结合图象(图略)知
解得4≤a<8.]
3．为了得到函数y＝3×x的图象，可以把函数y＝x的图象向________平移________个单位长度．
右 1 [y＝3×x＝x－1，将y＝x的图象右移1个单位即得y＝x－1的图象．]
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．
m＜n [∵0＜＜1，∴f(x)＝ax＝x，
且f(x)在R上单调递减．
又∵f(m)＞f(n)，∴m＜n.]
若函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根，求a的取值范围．
[解] 由y＝0得|ax－1|＋1＝2a.
因为函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根，
所以直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图象有两个交点．
当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线)，
由图可知1<2a<2，
即1矛盾．
当0∴函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根时，a的取值范围是.课后素养落实(二十六) 指数函数的图象与性质的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的可能取值为
( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
AC [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同，由于函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上为减函数．所以y＝(2a－1)x＋3在R上为减函数．所以2a－1<0.即a<.故选AC.]
2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值为( )
A．6
B．1
C．3
D．
C [函数y＝ax在[0,1]上单调，最大值与最小值都在端点处取到．故有a0＋a1＝3.解得a＝2.因此y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增．故x＝1时ymax＝3.]
3．函数y＝x2－1的值域是( )
A．(0,2)
B．(0,2]
C．[0,2)
D．[0,2]
B [∵x2－1≥－1，∴y≤－1＝2，又y>0，
∴y∈(0,2]．]
4．定义运算a?b＝则函数f(x)＝3－x?3x的值域为( )
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(0,1]
D [由题设可得f(x)＝3－x?3x＝其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．]
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．?
C [由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]
二、填空题
6．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
[0，＋∞) [由于底数∈(0,1)，所以f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反．f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．当x≥0时，y＝1－x2是减函数．故f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
4 [设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2；经过第三次漂洗，存留量为原来的3；经过第四次漂洗，存留量为原来的4，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x.由题意得，x≤，4x≥100,2x≥10，
∴x≥4，即至少漂洗4次．]
8．设0≤x≤2，y＝4x－3×2x＋5的最大值为________，最小值为________．
[令t＝2x,0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3×2x＋5＝t2－3t＋5
＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在[－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是[－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
10．某医药研究所开发一种抗流感新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)结合图象，求k与a的值；
(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
[解] (1)由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一条线段，由于过原点与点(1,4)，所以k＝4.
当t≥1时，函数的解析式为y＝t－a，
此时M(1,4)在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4＝1－a，解得a＝3.
(2)由(1)知，f(t)＝
(3)由(2)知，令f(t)≥0.5，即
∴≤t≤4.
1．(多选题)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值可能是
( )
A．－1
B．1
C．－
D．
AC [依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.]
2．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为( )
A
B C D
A [根据题意，由于函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝＝根据解析式，结合分段函数的图象可知，
在y轴右侧是常函数，
所以排除B，D，而在y轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C，因此选A.]
3．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞．按这种规律发展下去，经过________小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg
3≈0.477，lg
2≈0.301)
46 [由题意知1小时后细胞总数为×100＋×100×2＝×100，
2小时后细胞总数为××100＝2×100，
3小时后细胞总数为×2×100＝3×100.
可见细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×x，x∈N
，
由100×x>1010得x>108，
两边取对数得xlg>8，
∴x>≈≈45.45.∴x>45.45，
∴经过46小时，细胞总数超过1010个．]
4．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，a的值为________．
或3 [设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，
①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴－1<≤t≤a.
∵t＝ax在[－1,1]上递增，y＝(t＋1)2－2在上也递增，
∴原函数在[－1,1]上递增．
故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1.
由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
②若0ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，a＝或3.]
设函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围．
[解] (1)函数f(x)＝(a>0且a≠1)，定义域为R，
所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)≥，即≥，ax>0,2－2ax≥1＋ax，解得ax≤，
当a>1时，x＝logaax≤loga＝－loga3，
当0综上所述：当a>1时，x≤－loga3，当0(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)若lg(2x－4)≤1，则x的取值可能是( )
A．3
B．4
C．6
D．10
ABC [由lg(2x－4)≤1得0<2x－4≤10，
即22．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D [要使f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.
∴函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b的值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
C [由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图象过(2,1)和(8,2)，
∴
∴解得
∴a＋b＝4.]
4．函数y＝x＋a与y＝loga
x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的( )
A
B
C
D
B [由y＝x＋a的斜率为1，排除C，A、B中直线在y轴上截距大于1，但A中y＝loga
x的图象反映01，但与截距a<1矛盾．]
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝( )
A．3
B．－3
C．－
D．
C [设f(x)＝loga
x，则loga
8＝－3，∴a－3＝8，
∴a3＝，∴a＝＝，∴f(x)＝x，∴f(2)＝(2)＝－log2
2＝－.]
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________，定义域为________．
(0,2) [令得即f(x)必过定点(0,2)．
由题意知，2x＋1>0，即x>－，
所以定义域为.]
7．设a＝log3
6，b＝log5
10，c＝log7
14，则a，b，c的大小关系是________．
a>b>c [a＝log3
6＝log3
2＋1，b＝log5
10＝log5
2＋1，c＝log7
14＝log7
2＋1，
∵log3
2>log5
2>log7
2，
∴a>b>c.]
8．函数f(x)＝log2＋的定义域是________．
(－1,0] [由对数的真数大于
0
，及二次根式内非负，得>0且2x－1≥0，
解得－1，所以定义域为
(－1,0]．]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg
(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解] (1)由题知?x>2且x≠3，
故f(x)的定义域为{x|x>2且x≠3}．
(2)由题知?－1故f(x)的定义域为{x|－110．比较下列各组数的大小：
(1)log0.1
3与log0.1
π；
(2)3log4
5与2log2
3.
[解] (1)∵函数y＝log0.1
x是减函数，π>3，
∴log0.1
3>log0.1
π.
(2)∵3log4
5＝log4
53＝log4
125＝＝
log2
125＝log2
，2log2
3＝log2
32＝log2
9，
函数y＝log2
x是增函数，>9，
∴log2
>log2
9，
即3log4
5>2log2
3.
1．若loga<1则a的取值范围为( )
A．∪
B．∪
C．
D．∪
A [原不等式等价于或
解得01.]
2．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
D [当01时，函数y＝ax过定点(0,1)且单调递增，则函数y＝过定点(0,1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，各选项均不符合．综上，选D.]
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
[易知f(x)＝loga
x，则loga
＝，∴a＝，
∴a2＝2，∴a＝.]
4．函数f(x)＝lg的奇偶性为________．若函数g(x)＝lg(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围为________．
奇函数 (8，＋∞) [f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg
1＝0.∴f(x)为奇函数．
由g(x)的定义域为R，所以2x2－8x＋m>0在R上恒成立．
令Δ＝82－4×2×m<0得m>8.]
若不等式x2－logm
x<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logm
x<0，得x2x，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logm
x的图象，如图所示，
要使x2x在内恒成立，
只要y＝logm
x在内的图象在y＝x2的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm
≥＝logm
m，
∴≤m，即m≥.
又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是.课后素养落实(二十八) 对数函数的图象与性质的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝loga
x(0A．
B．
C．
D．
B [∵a∈(0,1)，∴f(x)max＝loga
a＝1，f(x)min＝loga
3a，
由题知loga
3a＝，∴a＝＝.]
2．函数f(x)＝loga
|x|＋1(0A [将g(x)＝loga
x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f(x)的图象．]
3．函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,2x，x<1))的值域为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，2)
C．(－∞，2]
D．(2，＋∞)
B [x≥1时，f(x)≤0，
x<1时，04．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是单调递增，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cB．bC．bD．aC [偶函数f(x)在(－∞，0]上是单调递增，则在(0，＋∞)上是单调递减．又∵log47＝log2，0<0.20.6<15．(多选题)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值可能为( )
A．
B．
C．
D．3
ACD [由题意得
解得2二、填空题
6．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1){x|1f(3)，
∴f(x)＝logax是减函数，
由f(2x－1)∴17．函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间是________．
(2,3) [由－3＋4x－x2>0得x2－4x＋3<0得1设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.
∵y＝t为减函数，
∴要求函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2,1∵函数t＝－3＋4x－x2,1∴函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间为(2,3)．]
8．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为________，值域为________．
(－1,4) [－2，＋∞) [由－x2＋3x＋4>0得－1又－x2＋3x＋4＝－2＋≤，
∴0<－x2＋3x＋4≤，
由复合函数的性质得log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝log2.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
[解] (1)要使函数有意义，
则有或
解得x>1或x<－1.
所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
所以函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2＝log2
＝－log2＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则－
＝<0，
所以<，
所以log2所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．
故f(x)＝log2的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
10．求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[解] f(x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
1．(多选题)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的可能取值为
( )
A．
B．2
C．
D．
ABC [函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以12．(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数，又是
(0，＋∞)上的增函数的是( )
A．y＝
B．y＝x
C．y＝|ln
x|
D．y＝e
BD [函数y＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，
y＝为减函数，故不合题意；函数y＝x＝，定义域为R，是定义域上的偶函数，
当x∈(0，＋∞)时，
y＝x为增函数；函数y＝定义域为(0，＋∞)不关于原点对称，不是定义域上的偶函数，不合题意；函数y＝e定义域为R，是定义域上的偶函数，
当x∈(0，＋∞)时，
y＝ex为增函数.
应选BD.]
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2
a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
[∵f(log2a)＋f(a)＝f(log2
a)＋f(－log2a)＝2f(log2
a)≤2f(1)，
∴f(log2
a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴－1≤log2
a≤1，即log2
≤log2
a≤log2
2，
∴≤a≤2.]
4．函数y＝(x)2－(x)＋5在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为__________．
10 [∵2≤x≤4，则由y＝x在区间[2,4]上为减函数知，2≥
x≥4，
即－2≤x≤－1.
若设t＝x，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，
而[－2，－1]，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.]
已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
所以a＝－1.
(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，当x＞1时，(1＋x)＜－1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)＜m恒成立，
∴m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．章末综合测评(六) 幂函数、指数函数和对数函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f
＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
C [∵f(x)是定义在R上的奇函数，f
＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f
＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.故选C.]
2．若a>1，－1A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
A [y＝ax的图象在第一、二象限．∵－13．若log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A．
B．9
C．18
D．27
B [log416＝2，由换底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9.]
4．若loga(a2＋1)A．(0,1)
B．
C．
D．(0,1)∪(1，＋∞)
C [由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a.
又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>，综上a∈.]
5．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D．
D [由y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令log2x＝－2，得x＝，即f(－2)＝.]
6．已知a＝log2
0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
B [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，
∴a7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1)
B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)D．不能确定
B [因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
8．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，且对?x1A．
B．(1,8)
C．∪(8，＋∞)
D．(－∞，1)∪(8，＋∞)
A [因为对?x11时，是单调递增函数，又因为f(3)＝1，所以有f(－1)＝1，当log2x≤1，即当0f(log2x)<1?f(log2x)－1?x>，∴当log2x>1，即当x>2时，
f(log2x)<1?f(log2x)∴2综上所述：不等式f(log2x)<1的解集为.
故选A.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．在(0,1)上是增函数
D．在(0,1)上是减函数
AC [由已知可得，f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)＝ln
＝ln，又y＝－1在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选AC.]
10．设函数f(x)＝2x，对于任意x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．>0
D．f
<
ACD [2x1＋x2＝2x1·2x2，故A正确.2x1＋2x2≠2x1·x2，故B错误．f(x)＝2x在R上为单调递增函数，x1>x2时则有f(x1)－f(x2)>0，>0，x10，故C正确．对于D，f(x)＝2x图象下凹，由几何意义知D正确．]
11．设函数f
的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( )
A．y＝x3＋1(x∈R)
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝ln
x(x>0)
D．y＝x2
AC [即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；
对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为－1，故B不满足；
对于D，当x＝0时，不存在自变量y，使得函数值为－1，所以D不满足．故选AC.]
12．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是( )
A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
ABC [对A，f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数．故f(x)＝ex－e－x为增函数．
故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0.故A错误．
对B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)．故<0不成立．故B错误．
对C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时f(x)→－∞，
当x→＋∞时f(x)→＋∞.故f(x)无最小值，无最大值．故C错误．
对D，g(x)＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x即x＝0时等号成立．当x→＋∞时，g(x)→＋∞.故g(x)有最小值，无最大值．故选ABC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
[因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
14．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即
解得a>.]
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P
mg/L，与时间t
h间的关系为P＝P0e－kt.如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________的污染物．
81% [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e－5k.解得k＝－ln
0.9.则10小时后还剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln
0.9＝P0·eln
0.81＝0.81
P0＝81%P0.]
16．设实数a，b是关于x的方程|lg
x|＝c的两个不同实数根，且a1 (0,1) [由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg
x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg
a|＝|lg
b|，又因为y＝lg
x在(0，＋∞)上单调递增，且aa＝－lg
b，所以lg
a＋lg
b＝0，所以ab＝1,010＝1，所以abc的取值范围是(0,1)．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)∵f(x)＝x为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lg
y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解] (1)∵lg(lg
y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴lg(lg
y)＝lg[3x(3－x)]，
∴lg
y＝3x(3－x)，
∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．
∵
∴0(2)令t＝3x(3－x)＝－32＋，则f(x)＝10t.
∵x∈(0,3)，
∴t∈，
∴10t∈(1,10)，
∴函数的值域为(1,10)．
19．(本小题满分12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，若牛奶放在0
℃的冰箱里，保鲜时间是200
h，而在1
℃的温度下则是160
h.
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；
(2)利用(1)的结论，指出温度在2
℃和3
℃的保鲜时间．
[解] (1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，由题意可得：
解得
故函数解析式为y＝200×x.
(2)当x＝2
℃时，y＝200×2＝128(h)．
当x＝3
℃时，y＝200×3＝102.4(h)．
故温度在2
℃和3
℃的保鲜时间分别为128
h和102.4
h.
20．(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
[解] (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，
所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图象过点，
所以loga2＝，
所以a＝2，
解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．
21．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域；
(2)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2
·log2
的值域．
[解] (1)f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x)的值域为[－24，12]．
(2)∵－3≤x≤－，
∴－3≤≤－，
即－3≤≤－，
∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－log2
2)·(log2x－log24)
＝(log2x－1)·(log2x－2)．
令t＝log2x，则≤t≤3，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)
＝2－.
∵≤t≤3，
∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝g＝－.
∴函数f(x)＝log2·log2的值域为.
22．(本小题满分12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.课后素养落实(二十四) 幂函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象不可能是一条直线
B．幂函数y＝xn，当n>0时是增函数
C．幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x的增大而减小
D．幂函数的图象不可能在第四象限
CD [当n＝1时，y＝xn图象为一条直线，幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时是增函数，x∈(－∞，0)时为减函数，CD正确．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3.]
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为
( )
A.
B．±2
C．2
D．－2
D [因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D.]
4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f
＝( )
A．16
B．4
C．
D．
D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2?3α＝2，所以f
＝
α＝2＝.]
5．如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
B [要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．
m则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(a2＋3)故m8．若幂函数y＝x(m，n∈N
且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.
③ [由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3和3.1；
(2)8和(－9)；
(3)，和.
[解] (1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，
∴3<3.1.
(2)构造f(x)＝x，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
所以(－9)＝9.
∵8<9，∴8>9，∴
8>(－9).
(3)构造函数y＝x，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则＝>＝>0.
函数y＝x，此函数在R上是增函数，
则<0<0，
故<<.
10．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解] (1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
1．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N
)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于( )
A．1
B．2
C．1或2
D．3
B [因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，
所以m－3<0.
所以m<3.
又因为m∈N
，
所以m＝1,2.
又因为f(x)＝xm－3是奇函数，所以m－3为奇数，所以m＝2.]
2．函数y＝x在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
A [由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]
3．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f
＝________，函数f
的定义域为________．
(0,1] [令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝x＝，∴f
＝.
令－1≥0解得0故f
的定义域为(0,1]．]
4．若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是________．
[(a＋1)<(3－2a)?<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0.
[解] (1)设f(x)＝xα，由题意，
得f(2)＝2α＝?α＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．
即
或
或
解得－2，
故原不等式的解集为
.