课后素养落实(三十六) 正弦、余弦函数的图象
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝cos
x·|tan
x|的大致图象是( )
C [y＝cos
x·|tan
x|＝]
2．将余弦函数y＝cos
x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin
x的图象，则m＝( )
A．
B．π
C．
D.
C [根据诱导公式得，y＝－sin
x＝cos
＝cos
，故欲得到y＝－sin
x的图象，需将y＝cos
x的图象向右至少平移个单位长度．]
3．(多选题)关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
BD [对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos|x|＝cos
x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．]
4．函数y＝x2与y＝cos
x图象交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知两函数图象有2个交点．
]
5．在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是( )
A.(0，π)
B.
C.
D.
C [画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin
＝，所以sin
＝－，sin＝－，即在[0,2π]内满足sin
x＝－的是x＝或x＝.可知不等式sin
x<－的解集是.]
二、填空题
6．函数y＝eq
\r(sin
x)的定义域是________．
{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} [由题意可得，
eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(sin
x≥0，,sin
x＞0，))
即∴0＜sin
x≤1，
由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]
7．函数y＝sin
x的图象与函数y＝cos
x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．
和 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，
易知，交点坐标为和.]
8．设0≤x≤2π，且|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x，则x的取值范围为______．
[由|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x得
sin
x－cos
x≥0，即sin
x≥cos
x.
又x∈[0,2π]，结合图象(图略)可知，≤x≤，
所以x∈.]
三、解答题
9．利用图象变换作出函数y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图．
[解] ∵y＝sin|x|＝为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；再将x∈[0,2π]的图象关于y轴对称．如图所示．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin
x＞0；②sin
x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin
x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
[解] 利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin
x＞0，在x轴下方的部分－sin
x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin
x＜0；
当x∈(0，π)时，sin
x＞0.
(2)画出直线y＝，由图象知有两个交点．
1．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
D [由题意知，当1－sin
x≠0，即sin
x≠1时，
y＝＝|sin
x|，所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．]
2．(多选题)下列函数中：①y＝sin
x－1；②y＝|sin
x|；③y＝－cos
x；④y＝.与函数y＝sin
x形状完全相同的有( )
A．②
B．③
C．①
D．④
BC [y＝sin
x－1是将y＝sin
x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cos
x＝sin，故y＝－cos
x是将y＝sin
x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin
x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin
x|，④y＝＝|cos
x|与y＝sin
x的形状不相同．]
3．函数y＝sin
x＋2|sin
x|在[0,2π]上的图象若与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________，若与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________．
(1,3) (0,1) [y＝sin
x＋2|sin
x|＝
由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，若有两个不同的交点，则1
]
4．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．]
若方程sin
x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
[解] 在同一直角坐标系中作出y＝sin
x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，
当≤<1，即当－1x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin
x＝在x∈上有两个实根．课后素养落实(三十七) 正弦、余弦函数的图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的可能取值为
( )
A．－
B．－
C．0
D．
ABC [y＝cos
x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈[－π，0]．故选ABC.]
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
C [由诱导公式，得cos
10°＝sin
80°，sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，由正弦函数y＝sin
x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin
11°12°80°，
即sin
11°168°10°.故选C.]
3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
D [令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，
故选D.]
4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin
有( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
D [因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin
≤1，所以－1≤2sin
≤2，
即f(x)的最大值为2，最小值为－1.]
5．若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A.
B.
C.
D.
C [因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝.]
二、填空题
6．函数y＝sin
取最大值时自变量的取值集合是________．
[当－＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z时ymax
＝1，所以函数y＝sin
取最大值时自变量的取值集合为.]
7．函数f(x)＝3sin
在区间上的值域为________．
[由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin
≤1，
即－≤3sin
≤3.]
8．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (k∈Z) [由题意知sin
x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为(k∈Z)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝sin
，x∈[0，π]；
(2)y＝sin
x.
[解] (1)由y＝－sin
的单调性，
得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.令k＝0则≤x≤.
又x∈[0，π]，故≤x≤π.
即单调递增区间为.
(2)由sin
x>0，得
2kπ∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sin
x，则0∴函数的值域为(0，＋∞)．
∵<1，∴函数y＝sin
x的递增区间即为u＝sin
x(sin
x>0)的递减区间．故函数y＝sin
x的递增区间为.
10．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解] (1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
1．(多选题)已知函数f(x)＝sin
(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
ABC [∵y＝sin＝－cos
x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos
x在上是减函数，则y＝－cos
x在上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cos
x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos
x为偶函数，即D不正确．]
2．函数f(x)＝sin
＋cos
的最大值为( )
A.
B．1
C.
D.
A [∵＋＝，
∴f(x)＝
sin
＋cos
＝sin
＋cos
＝sin
＋sin
＝sin
≤，
∴f(x)max＝.]
3．函数y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈的最小值为________，最大值为________．
－ [令t＝cos
x，x∈，∴t∈，
y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上单调递减．
∴ymax＝32－＝，ymin＝32－＝－.]
4．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，得?，从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.]
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin
α)与f(cos
β)的大小关系．
[解] 由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin
x在上为增函数，
所以sin
α＞sin＝cos
β，
且sin
α∈[0,1]，cos
β∈[0,1]，
所以f(sin
α)＞f(cos
β)．课后素养落实(三十八) 正切函数的图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列命题正确的是( )
A．y＝tan
x为增函数
B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为
C．在x∈[－π，π]上y＝tan
x是奇函数
D．在上y＝tan
x的最大值是1，最小值为－1
BD [函数y＝tan
x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B正确；当x＝－，时，y＝tan
x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]
2．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．2或－2
D [由＝，可知ω＝±2.]
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
C [要使函数有意义，则
∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.]
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
D [当x＝时，y＝tan＝tan
＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan
＝－1，当x＝时，y＝tan
不存在．]
5．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．[－1,0)
C．(0,1)
D．(0,1]
B [∵y＝tan
ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，
∴0＜|ω|≤1.
∵y＝tan
x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0.]
二、填空题
6．比较大小：tan
________tan
.(填“>”或“<”)
＜ [tan
＝tan＝tan
.
∵y＝tan
x在上是增函数且0＜＜＜，
∴tan
＜tan
，即tan
＜tan
.]
7．函数y＝|tan
x|，y＝tan
x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致图象依次是________．(填序号)
①
②
③
④
①②④③ [∵|tan
x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan
x|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tan
x关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tan
x对应②，故四个图象依次是①②④③.]
8．函数y＝6
tan的定义域为________，对称中心为________．
(k∈Z)
[y＝tan＝－tan，
由6x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠＋π(k∈Z)，
由6x－＝，(k∈Z)得x＝＋，k∈Z.
故定义域为(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f
的大小．
[解] (1)因为f(x)＝3tan
＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f
＝3tan＝3tan＝－3tan，
因为<，且y＝tan
x在上单调递增，
所以tan
，所以f(π)>f
.
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调增区间为，k∈Z，无单调减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
1．(多选题)关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，说法正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．f(x)的图象关于对称
C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称
D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
BCD [A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan
x，此时，f(x)为奇函数，所以A错；观察正切函数y＝tan
x的图象，可知y＝tan
x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知B、C正确，D显然正确．]
2．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
D [当＜x＜π时，tan
x＜sin
x，y＝2tan
x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜π时，tan
x＞sin
x，
y＝2sin
x＜0.故选D.]
3．若f(n)＝tan
，(n∈N
)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
022)＝________.
0 [因为f(n)＝tan
n的周期T＝＝3，
且f(1)＝tan
＝，f(2)＝tan
＝－，f(3)＝tan
π＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2
022)＝×0＝0.]
4．已知x∈，则函数y＝＋2tan
x＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________．
1 － [y＝＋2tan
x＋1＝＋2tan
x＋1＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan
x∈[－，1]．
当tan
x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1.]
是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
[解] ∵y＝tan
θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.
又x∈，
∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－－＝6－8k，
解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，
∴存在a＝－2∈Z，满足题意．课后素养落实(三十九)
函数y＝Asin(ωx＋φ)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
A
B
C
D
A [当x＝π时，y＝sin＝－排除B、D.
当x＝时，y＝sin
0＝0，排除C，故选A.]
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
A [由已知得＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin＝sin2，所以函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象．]
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝( )
A．－
B．
C．－
D．
D [由题图可知T＝4×＝π，故ω＝2，又f
＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.]
4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f
＝f
＝－f
，则f(x)的最小正周期为( )
A．
B．
C．π
D．
C [∵f
＝f
，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．
∵f
＝－f
，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.]
5．(多选题)点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是2π
B．f(x)的值域为[1,3]
C．f(x)的初相为
D．f(x)在上单调递增
ABD [由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1,3]，初相为，故AB正确，C错误.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ知函数的单调增区间为，k∈Z，当k＝1时单调增区间为，又?，故选ABD．]
二、填空题
6．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是________．
y＝sin [y＝siny＝siny＝sin＝sin.]
7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f
＝－，则f(0)＝_______.
[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f
，注意到π与关于对称，
所以f
＝－f
＝.]
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________.
2 － [T＝－＝，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
[解] (1)由已知函数化为y＝－sin.
欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos
2.
∵y＝cos
2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可．
10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．
[解] (1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴φ＝.
(2)由(1)知y＝3sin.
由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，
故该函数的对称中心为(k∈Z)．
1．(多选题)将函数f(x)＝3sin
x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的( )
A．周期是π
B．增区间是
(k∈Z)
C．图象关于点对称
D．图象关于直线x＝对称
ABC [将函数f(x)＝3sin
x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sin
，对于选项A，函数g(x)的周期为＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，即函数g(x)的增区间是(k∈Z)，即B正确；
对于选项C，令2x－＝kπ，解得：x＝＋，即函数g(x)的对称中心为，即C正确；
对于选项D，令2x－＝kπ＋，则x＝＋，即函数g(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，即选项D错误．综上可得选项A，B，C正确，故选ABC.]
2．(多选题)关于f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是( )
A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos
C．y＝f(x)图象关于点对称
D．y＝f(x)图象关于直线＝－对称
BC [对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，
∴A错误；对于B，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴B正确；对于C，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴C正确；
对于D，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．∴D错误．]
3．若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin
ωx的图象重合，则ω的最小值为________．
[将函数y＝cos
的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos
的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin
ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.]
4．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________，单调递增区间为________．
2sin－1 (k∈Z) [将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ得－≤x≤－π(k∈Z)．]
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[解] (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin
φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－，2]．课后素养落实(三十三) 三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．sin
600°＋tan
240°的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
D [sin
600°＋tan
240°＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin
60°＋tan
60°＝－＋＝.]
2．已知α为第二象限角，且sin
α＝，则tan(π＋α)＝( )
A．－
B．
C．－
D．
A [因为α为第二象限角，所以cos
α＝－＝－，所以tan(π＋α)＝tan
α＝＝－.]
3．已知sin＝，则sin＝( )
A．
B．－
C．
D．－
C [sin＝sin
＝sin＝.]
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
B [由题意得tan
600°＝－，又因为tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan
240°＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝.
所以－＝，所以a＝－.]
5．(多选题)现有下列三角函数式：其中值与sin
的值相同的是( )
A．sin(n∈Z)
B．sin(n∈Z)
C．sin(n∈Z)
D．sin(n∈Z)
BD [A.sin＝
sin＝sin
＝(n∈Z)，
sin＝sin
＝(n∈Z)，
sin＝sin
＝(n∈Z)．
又sin
＝，故BD中式子的值与sin
的值相同．]
二、填空题
6.＝________.
sin
2－cos
2 [
＝＝|sin
2－cos
2|，
∵<2<π，∴sin
2>0，cos
2<0，
∴原式＝sin
2－cos
2.]
7．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝.
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.]
8．已知sin(α＋π)＝，且sin
α
cos
α<0，则tan
α＝________，＝________.
－ － [因为sin(α＋π)＝－sin
α＝且sin
αcos
α<0.
所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－，
所以＝＝＝－.]
三、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
[解] 原式＝
＝＝
＝－tan
α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos
α＝，sin
α＝＝，
∴tan
α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos
α＝，
sin
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
10．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
[解] 由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
1．(多选题)在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin
C
B．cos(A＋B)＋cos
C
C．sin(2A＋2B)＋sin
2C
D．cos(2A＋2B)＋cos
2C
BC [A中sin(A＋B)＋sin
C＝2
sin
C.
C中sin(2A＋2B)＋sin
2C＝sin [2(A＋B)]＋sin
2C
＝sin[2(π－C)]＋sin
2C＝sin(2π－2C)＋sin
2C＝
－sin
2C＋sin
2C＝0，
B中cos(A＋B)＋cos
C＝cos[(π－C)]＋cos
C＝－cos
C＋cos
C＝0，
D中cos(2A＋2B)＋cos
2C＝cos[2(A＋B)]＋cos
2C
＝cos[2(π－C)]＋cos
2C＝cos(2π－2C)＋cos
2C＝
cos
2C＋cos
2C＝2cos
2C.]
2．已知f(x)＝则f
＋f
的值为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
A [因为f
＝sin＝sin
＝sin
＝，
f
＝f
－1＝f
－2＝sin－2
＝－－2＝－.
所以f
＋f
＝－2.]
3．cos
1°＋cos
2°＋cos
3°＋…＋cos
180°＝________.
－1 [∵cos(π－θ)＝－cos
θ，∴cos
θ＋cos(π－θ)＝0，
即cos
1°＋cos
179°＝cos
2°＋cos
178°＝…＝cos
90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos
180°＝－1.]
4．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则sin
α
cos
α＝________，tan
α＝________.
－ － [cos(－α)－sin(－α)＝cos
α＋sin
α＝－，
①
∴(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝－<0，∴sin
αcos
α＝－.
又∵sin
α>0，
∴cos
α<0，
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝，
②
由①②得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝－.]
在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由已知得
由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos
A＝±.
当cos
A＝时，cos
B＝.
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
当cos
A＝－时，cos
B＝－.
又A，B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，A＋B>π，不符合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝.课后素养落实(三十四) 三角函数的诱导公式(五～六)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若α∈，则＝( )
A．sin
α
B．－sin
α
C．cos
α
D．－cos
α
B [∵sin＝－cos
α，
又∵α∈，∴＝＝|sin
α|＝－sin
α.]
2．已知cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
D [因为cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，
所以sin(75°＋α)＝－，
故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.]
3．已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
B [sin
239°tan
149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin
59°(－tan
31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°
＝＝.]
4．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89
B．90
C．
D．45
C [∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.]
5．已知α∈，cos＝，则tan＝( )
A．
B．－
C．或－
D．或－
B [由cos＝，得sin
α＝－.又0<α<，∴π<α<，
∴cos
α＝－＝－，∴tan
α＝，
因此tan＝tan(－α)＝－tan
α＝－.]
二、填空题
6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
1 [∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，
∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1.]
7．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
－sin2
α [原式＝·(－sin
α)·cos(－α)＝·(－sin
α)·cos
α＝－sin2
α.]
8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos
A＝－cos(π－B)，则C＝________.
[由已知得cos
A＝3sin
A，∴tan
A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
又cos
A＝－(－cos
B)＝cos
B，
由cos
A＝知cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.]
三、解答题
9．已知cos＝2sin，
求的值．
[解] ∵cos＝2sin，
∴－sin
α＝－2cos
α，∴tan
α＝2，
∴
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝－.
10．是否存在这样的△ABC,
使等式sin
(2π－A)－cos
＝0，cos
(3π＋B)＋sin
＝0同时成立？若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在这样的△ABC满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2A＋3cos2A＝2.
所以cos2A＝，因为A∈(0，π)，所以cos
A＝±.
由②知A，B只能为锐角，
所以A＝.由②式知cos
B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
所以存在这样的△ABC，A＝，B＝满足条件．
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin
2，－2cos
2)，则α等于( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2
C [由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos
α，2sin
α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－.故选C.
]
2．已知cos＝－，α是第二象限角，则sin＝( )
A．－
B．
C．－
D．
C [∵cos＝－sin
α＝－，∴sin
α＝.
又α是第二象限角，
∴cos
α＝－，
∴sin＝sin＝sin
＝cos
α＝－.]
3．已知＝2，则sin(θ－5π)·sin＝________，＝________.
[∵＝2，sin
θ＝3cos
θ，∴tan
θ＝3.
sin(θ－5π)·sin＝sin
θcos
θ
＝＝＝.
＝＝＝＝＝.]
4．已知sin
α＋cos
α＝－，则tan＋的值为________．
－2 [因为sin
α＋cos
α＝－，所以(sin
α＋cos
α)2＝2，所以sin
αcos
α＝.
所以tan＋＝＋＝＋
＝－－＝－＝－2.]
是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立？
[解] 存在．所需成立的两个等式可化为sin
α＝sin
β，cos
α＝cos
β，
两式两边分别平方相加得：
sin2α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，
所以cos2α＝.
又因为α∈，所以α＝或－.
当α＝时，由cos
α＝cos
β，得cos
β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin
α＝sin
β，得sin
β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立．课后素养落实(四十) 三角函数应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin
来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为( )
A.
s
B.
s
C.
s
D.
s
B [最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝
s＝
s．]
2．(多选题)如图所示，为一质点做简谐运动的图象，则下列判断正确的是
( )
A．该简谐运动的振动周期为0.8
s
B．该简谐运动的振幅为5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时振动速度为零
AB [由图象知，振幅为5
cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4
s，故T＝0.8
s，故A正确；该质点在0.1
s和0.5
s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0.3
s和0.7
s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误．]
3．如图，为一半径为3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮自点A开始1
min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2?A＝3.T＝15，则ω＝.故选A.]
4．如图是函数y＝sin
x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
A B C
D
A [当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]
5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
C [由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，
代入得×9＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，
当x＝6＋＝15时，y最大，
列式得＝3sin＋k，
∴＝3sin＋k，
∴k＝5，
∴＝k，ymax＝8.]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20.5 [由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]
7．如图，某地一天从6
h到14
h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．
y＝10sin＋20，x∈[6,14] [由图象可知B＝20，A＝＝10，
＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝.
将(6,10)代入y＝10sin＋20可得
sin＝－1，
由0≤φ<2π可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．]
8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数关系式为________，该函数的单调递增区间为________．
y＝sin [0,1]，[7,12] [由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin.
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，解得12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30
℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10
℃.所以，最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．
10．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)动物种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A
B
C D
C [令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin
＝，∴d＝2sin
＝2sin
，
即d＝f(l)＝2sin
(0≤l≤2π)，它的图象为C.]
2．(多选题)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
ABD [以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，⊙O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h.
由题设有P，
故h＝40sin＋45＝40cos
t＋45，其中t≥0.
对于A，令h＝5，则cos
t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N，
故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确．
对于B，当t＝4时，h1＝40cos
＋45，当t＝8时，h2＝40cos
＋45，
因为cos
＝cos
＝－，故h1＝h2，故B正确．
对于C，当7≤t≤10，≤t≤，
而3π<<<且y＝cos
u在是单调递增的，
故h＝40cos
t＋45在[7,10]上是单调递增函数，故C错．
对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cos
t＋45≥65的解，故cos
t≥，
解得0≤t≤1或5≤t≤6，
故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确．故选ABD.]
3．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sin [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.]
4．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
[因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]
在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8.4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0，|φ|<)．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1
m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3
m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin
＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，
即sin<－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8
h水深低于10.3
m.章末综合测评(七) 三角函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，最小正周期为π的函数是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
D．y＝cos
D [正、余弦函数的周期为T＝，故选D.]
2．已知弧长为π
cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为
( )
A．
cm2
B．π
cm2
C．2π
cm2
D．4π
cm2
C [弧长为π的弧所对的圆心角为，
所以r＝＝4(cm)，
所以扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]
3．已知点
P(3,4)
在角α的终边上，则cos的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
D [因为点
P(3,4)
在角α的终边上，所以|OP|＝＝5，cos＝－sin
α＝－，故选D.]
4．代数式sin(－330°)cos
390°的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
B [sin(－330°)·cos
390°＝sin
30°×cos
30°＝×＝.]
5．已知tan＝，则tan＝( )
A．
B．－
C．
D．－
B [tan＝tan
＝－tan＝－.]
6．设A是△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
B [将sin
A＋cos
A＝两边平方得
sin2A＋2sin
Acos
A＋cos2A＝，
故sin
Acos
A＝－.因为0＜A＜π，
所以sin
A＞0，cos
A＜0，即A是钝角．]
7．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为( )
A.
s
B.
s
C.
s
D.1
s
C [由题意得，s＝0,
即6sin＝0(t>0)，所以2πt＋＝kπ(k∈N
)，t＝－(k∈N
)，所以t的最小正值为
s
，故选C.]
8．设a＝cos
，b＝sin
，c＝cos
，则( )
A．a>c>b
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>c>a
A [sin
＝sin＝－sin
＝sin
＝cos
，
cos
＝cos＝cos＝cos
，
∵y＝cos
x在上是减函数，
∴cos
>cos
>cos
，
即a>c>b.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( )
A.tan
α＝－
B.＝sin
α－cos
α
C．cos
α＝－
D.＝sin
α＋cos
α
BC [由同角三角函数的基本关系式，知tan
α＝，故A错；因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0，所以sin
α－cos
α>0，sin
α＋cos
α的符号不确定，所以＝＝sin
α－cos
α，故B、C正确，D错.
故选BC.]
10．将函数f(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法错误的是( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期是π，图象关于点对称
BCD [∵将函数f(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)＝sin＝cos
2x的图象，
关于g(x)，显然它是偶函数，最大值为1，周期为＝π，故B不正确；
由于当x＝时，g(x)＝1，为最大值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
由于在上，2x∈，g(x)没有单调性，故C错误；
由于当x＝时，g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点对称，故D不正确．]
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin
β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan
β＝
D．tan
β＝
AC [∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，
∴sin
α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中sin
β＝sin＝cos
α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin
α＝－，故B不符合条件；
C中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin
β＝±，
即C符合条件；
D中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin
β＝±，故D不符合条件．故选AC.]
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象经过点，且在区间上单调，则
ω
,
φ
可能的取值为( )
A．ω＝2，φ＝－
B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝6，φ＝
D．ω＝6，φ＝
BC [对于A，f(x)＝sin，f
＝sin＝sin
＝1，图象不过点，不合题意；
对于B,
f(x)＝sin，f＝sin＝sin
＝，图象过点，
令2x－∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f(x)＝sin在区间上单调递增；
对于C,
f(x)＝sin，f
＝sin＝sin＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f(x)＝sin在区间上单调递减；
对于D，f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
当k＝1，x∈，
所以f(x)＝sin在区间上不是单调函数，不合题意.
故选BC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知α∈(0，π)，sin
α＋cos
α＝，则tan
α＝________.
－ [因为sin
α＋cos
α＝①，
两边平方得1＋2sin
αcos
α＝，
所以2sin
αcos
α＝－，因为α∈(0，π)，所以sin
α>0，cos
α<0，
所以sin
α－cos
α＝＝＝＝②，
联立①②得sin
α＝，cos
α＝－，所以tan
α＝－.]
14．已知tan
α＝2，则＝________.
[
＝
＝
＝
＝.]
15．已知函数y＝asin
＋b在x∈上的值域为[－5,1]，则a＋b的值为________．
1或－5 [由题意知a≠0.∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈.
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1.
所以a＋b＝1或－5.]
16．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝_______，f
＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
3 0 [由图象知T＝π，
∴T＝，A＝2，
又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin，
∴f
＝2sin＝2sin
π＝0.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin
α＋cos
α的值；
(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin
α＋cos
α的值．
[解] (1)∵r＝＝5，
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝－＋＝－.
(2)当点P在第一象限时，
sin
α＝，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝2；
当点P在第二象限时，
sin
α＝，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝；
当点P在第三象限时，
sin
α＝－，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝－2；
当点P在第四象限时，sin
α＝－，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝－.
18．(本小题满分12分)已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝
＝
＝－cos
α.
(2)因为cos＝－sin
α，
所以sin
α＝－.
又α是第三象限的角，
所以cos
α＝－＝－.
所以f(α)＝.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
[解] (1)因为x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴．
所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
得φ＝kπ＋(k∈Z)．
又因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，则f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝sin的单调增区间为(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
[解] (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos
ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求tan的值．
[解] (1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos
，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝.
又α∈，故<α＋<.
所以sin＝，
所以tan＝＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
f(x)
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π.由T＝，得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－，
∵x∈，∴t∈.
如图，sin
t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．课后素养落实(三十五) 三角函数的周期性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
4x
C．y＝tan
2x
D．y＝|sin
2x|
BCD [A中周期为T＝＝π，B、C、D周期均为.]
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2.则f
的值为( )
A．
B．
C．－
D．－
D [函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝π.
所以f
＝sin＝sin
＝－sin＝－.]
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )
A．1
B．－1
C．3
D．－3
B [∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.]
4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C [由T＝得T＝＝.
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4.]
5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin
x；当x∈时，f(x)＝cos
x，则f
＝( )
A．－
B．
C．
D．－
A [∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos
x，
∴f
＝f
＝f
＝cos
＝cos＝－cos
＝－.]
二、填空题
6．若f(x)＝2sin
(ω>0)的最小正周期为，则g(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为________．
[由正弦函数的周期定义可得＝，解得ω＝8.
所以正切函数的最小正周期为＝.]
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
6 [T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N
，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.]
8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(x)的周期为________，f(2
020)＝________.
6 2 [∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2
020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2
020)＝2.]
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.
(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
[解] (1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
1．(多选题)下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是( )
ABC [根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]
2．已知函数f(x)＝sin
，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
021)＝( )
A．
B．－
C.
－
D．0
D [f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin
＋sin
＋sin
π＋sin
＋sin
＋sin
2π＝0.
原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)
＋f(5)＝0.故选D.]
3．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f
＝，则sin
α的值为________．
± [∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin.
由f＝3sin＝3cos
α＝，
∴cos
α＝.
∴sin
α＝±＝±.]
4．定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈时f(x)＝sin
x，则f
＝________，方程f(x)＝0的解集为________．
－ . [定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，最小正周期是π，
且x∈时f(x)＝sin
x，
故x∈时，f(x)＝sin
x.
则f
＝f
＝f
＝－f
＝－sin＝－.
∵f
＝f
＝f
＝－f
，
∴f
＝0，∴f
＝0，k∈Z.
故f(x)＝，如图，
故f(x)＝0的解集为.]
已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－
＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期，
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝－＝－＝.