课后素养落实(四十一) 函数的零点
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．3
C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，
所以b＝±2.]
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞)
B．
C．
D．
B [由f(x)＝2x－，得
f
＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，
∴f
·f(1)<0.
∴零点所在区间为.]
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0
B．－2,0
C．
D．0
D [当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]
4．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
－5
2
8
12
－5
－10
则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，
因为函数的图象是连续不断的，
所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，
所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．]
5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．a
B．cC．cD．bA [在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a]
二、填空题
6．函数f(x)＝零点的个数为________．
2 [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，
∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝ln
x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.
∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．]
7．设x0是方程ln
x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
2 [令f(x)＝ln
x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln
2＋2－4<0，f(3)＝ln
3－1>0，
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]
8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________.
图(1) 图(2)
7 3 [由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f
＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点．即n＝3.]
三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数．
[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln
x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln
x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln
x的图象只有一个交点，从而ln
x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln
x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln
1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln
2＋22－3＝ln
2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln
x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和
B．1和－
C．和
D．－和
B [∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.]
2．(多选题)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
ABD [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1.]
3．已知函数f(x)＝|lg
x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是________．
(2，＋∞) [设函数f(x)＝|lg
x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且02，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．]
4．已知函数f(x)＝其中k≥0.
(1)若k＝2，则f(x)的最小值为________；
(2)若关于x的函数y＝f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
(1)－1 (2)[0,1) [(1)当x<0时，f(x)＝－x＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f(x)>2；
当x≥0时，f(x)＝x2－1在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝－1.
则f(x)的最小值为－1.
(2)令f(x)＝t，则y＝f(t)．
当k∈[0,1)时，函数f(x)的图象如图①所示．
图①
则f(t)＝0?t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1有两个交点，则k∈[0,1)满足题意．
当k∈[1，＋∞)时，函数f(x)的图象如图②所示．
图②
则f(t)＝0?t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，则k∈[1，
＋∞)不满足题意．
综上，k∈[0,1)．]
已知函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1.
(1)若函数f(x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题知f(x)＝4x－a·2x＋1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因为x∈，
所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a，
当a≤时，f(t)max＝f(4)＝17－8a＝－8，解得a＝(舍)，
当a>时，f(t)max＝f(1)＝2－2a＝－8，解得a＝5，
所以a＝5.
(2)由(1)知f(x)＝(2x)2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a.
因为函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，
所以f
＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点，
所以解得a＝1，
或者f
·f
≤0，即≤0，整理解得≤a≤，
当a＝时，f
＝t2－2at＋1与x轴有两个交点，故舍，
综上，(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
A [∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.
A．①③
B．②
C．④
D．②④
C [由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值．]
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)＝0.162
f(1.406
25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25
B．1.375
C．1.42
D．1.5
C [由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406
25,1.437
5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]
4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(2,3)
D．(2,4)
B [因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]
5．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中错误的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内一定有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
ABC [由已知及二分法求函数零点的原理，可知，
f(0)·f
<0，又的中点为，
∴下一步可能f(0)·f
<0，
或f
·f
<0或f
＝0，故D正确．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
a2＝4b [∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.]
7．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：
x
1.25
1.312
5
1.375
1.437
5
1.5
1.562
5
f(x)
－0.871
6
－0.578
8
－0.281
3
0.210
1
0.328
43
0.641
15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取________．
1.4 [由题表知f(1.375)·f(1.437
5)<0，且1.437
5和1.375精确到0.1均为1.4，所以方程的一个近似解可取为1.4.]
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是________．
(－3，－1)和(2,4) [由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a>0.由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．]
三、解答题
9．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．
[解] 设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，
所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0.1)
[解] 设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(图略)得：
f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，
∵f(1.5)＝0.25＞0，
∴1.5＜x1＜2，
又∵f
＝f(1.75)＝－0.437
5＜0，
∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得：
f(1)·f(2)＜0?x1∈(1,2)，f(1.5)·f(2)＜0?x1∈(1.5,2)，
f(1.5)·f(1.75)<0?x1∈(1.5,1.75)，
f(1.5)·f(1.625)＜0?x1∈(1.5,1.625)，
f(1.562
5)·f(1.625)<0?x1∈(1.562
5,1.625)．
因为1.562
5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.
1．(多选题)下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log3x
D．f(x)＝ex－2
AB [f(x)＝|x|存在零点0，但当x>0时f(x)>0，
x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，
即f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，
不能用二分法求零点的近似值，同理
f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
所以f(1)＝0,
当x<1时，f(x)>0；
当x>1时，f(x)>0，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故选AB.]
2．已知函数f(x)＝loga
x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2，则n＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [∵2x＋x－b为定义域上的增函数．
f(2)＝loga
2＋2－b，f(3)＝loga
3＋3－b.
∵2∴lg
2a3，
∴<<1.
又∵b>3，
∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga
2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<<，3∴－1<3－b<0，
∴loga
3＋3－b>0，
∴f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N
知，n＝2.]
3．用二分法求函数f(x)＝ln
x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.
4 [开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10.则n≥4，所以至少需要操作4次．]
4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根．如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
(1,2) [令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，
由零点存在定理知，f(x)在区间(1,2)内至少存在一个零点．
所以，下一个有根的区间是(1,2)．]
证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)
[解] 分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f(1)<0，f(2)>0?x1∈(1,2)，
f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，
f(1)<0，f(1.25)>0?x1∈(1,1.25)，
f(1.125)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.125,1.25)，
f(1.187
5)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.187
5,1.25)，
f(1.218
75)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.218
75，1.25)，
f(1.218
75)<0，f(1.234
375)>0?x1∈(1.218
75，1.234
375)．
因为1.218
75与1.234
375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2.课后素养落实(四十四) 函数的实际应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x
D．y＝2x＋1
D [分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．]
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元
B．300元
C．390元
D．280元
B [由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1
300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.]
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
C [可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.]
4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.]
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．60
B．75
C．90
D．100
B [由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝
，∴＝，t1＝75.]
二、填空题
6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
甲 [对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9 [设出租车行驶x
km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.]
8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
8 [设至少过滤n次才能达到市场需求，则
2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg
≤－1－lg
2，所以n≥7.39，所以n＝8.]
三、解答题
9．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升．某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如表：
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y(万吨)
4
6
9
13.5
(1)有下列函数模型：
①y＝a·bx－2
016；②y＝a(x－2
016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)．试从以上函数模型中，选择模型________(填模型序号)，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型的解析式；
(2)若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[解] (1)选择模型①，所选函数模型的解析式为y＝4×x－2
016.
(2)∵y＝4×x－2
016，
∴令y>40，得4×x－2
016>40，
∴x－2
016>10，
∴x－2
016>10＝≈5.678
6，
∴x>2
021.678
6，
∴从2022年开始，该城市的包装垃圾将超近40万吨．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，再砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，
即(1－x)n≥，≥，≤，
解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元
B．18元
C．16元
D．14元
C [每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1
300(元)，18×75%×100＝1
350(元)，16×85%×100＝1
360(元)，14×95%×100＝1
330(元)．]
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
A [根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg
，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg
＝10.1，所以＝1010.1，故选A.]
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16.]
4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg
x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg
2≈0.3进行计算)
[由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg
(1.6×1019)＋b，
①
5．2＝alg
(3.2×1019)＋b，
②
②－①得0.2＝alg
，0.2＝alg
2.
所以a＝＝＝.]
已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解] (1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；
当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7
360.
所以W＝
(2)①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6
104，
所以Wmax＝W(32)＝6
104.
②当x＞40时，W＝－－16x＋7
360＝7
360－≤7
360－2＝5
760，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，等号成立，
即W的最大值为5
760.
综上知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6
104万美元．章末综合测评(八) 函数应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.]
2．函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
D [∵函数y1＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，函数y2＝3x－4为增函数，
所以，函数f(x)＝log2x＋3x－4在区间(0，＋∞)上为增函数，则该函数最多有一个零点，
又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
因此，函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(1,2)．故选D.]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过x年，剩留的物质是原来的，则x为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝2，…，那么经过x年，则y＝x.依题意得x＝，解得x＝3.]
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
B [画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x.]
5．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
D [设函数f(x)＝log3x－(5－x)，
因为f(3)＝1－2＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，
所以f(3)·f(4)<0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3,4)上至少存在一个零点，
故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3,4)．]
6．已知函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(0,1]
D [作出函数f(x)的图象，由图象知，当07．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
每户每月用水量
水价
不超过12
m3的部分
3元/m3
超过12
m3但不超过18
m3的部分
6元/m3
超过18
m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为( )
A．20
m3
B．18
m3
C．15
m3
D．14
m3
C [设此户居民本月用水量为x
m3，缴纳的水费为y元，
则当x∈[0,12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；
当x∈(12,18]时，y＝12×3＋(x－12)·6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；
当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)·9＝9x－90>72，不符合题意．
综上所述：此户居民本月用水量为15
m3.故选C.]
8．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟
B．3.75分钟
C．4.00分钟
D．4.25分钟
B [由图形可知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，
所以
，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.22＋，因为t>0，所以当t＝＝3.75时，p取最大值，
故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间，故选B.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是( )
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a<0时，函数f(x)有两个零点
D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点
ACD [f(x)＝0?ex＝a＋，在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，
可观察出A、C、D选项错误，应选ACD.]
10．设a为实数，则直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数可以是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
ABC [因为函数y＝x4＋1为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且函数的最小值为1，所以当a<1，a＝1，a>1时，直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数分别为0,1,2.故选ABC.]
11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5
000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg
1.2≈0.079，lg
2≈0.301)( )
A．2023年
B．2024年
C．2025年
D．2026年
CD [设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，
则投入的资金为y＝5
000×(1＋20%)n，
由题意可得：y＝5
000×(1＋20%)n>12
800，
即1.2n>2.56，
∴nlg
1.2>lg
2.56＝lg
28－2，
∴n>≈≈5.16，
∵n∈Z，∴n≥6，
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD.]
12．已知f(x)＝，当a∈M时，总存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则集合M可以是( )
A．(－∞，0]
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(0,1)
BC [要使得g(x)＝f(x)－b有两个零点，
即f(x)＝b有两个根，必须有y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点，
由x3＝x2可得，x＝0或x＝1.
①当a>1时，函数y＝f(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a>1满足题意．
②当a＝1时，由于函数y＝f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意．
③当0④当a＝0时，函数y＝f(x)单调递增，故不符合题意．
⑤当a<0时，函数y＝f(x)的图象如图所示，此时存在b使得y＝f(x)与y＝b有两个交点．
综上可得a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．所以应选BC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.
2 [因为f(2)＝2＋4－10＝－4<0，f(3)＝3＋8－10＝1>0,
所以f(2)f(3)<0，
由函数零点存在定理知函数f(x)＝x＋2x－10在区间(2,3)上有零点，所以n＝2.]
14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln
的零点时，第一次经计算f(0)<0，
f
>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(本题第一空2分，第二空3分)
f
[由于f(0)<0，f
>0，
故f(x)在上存在零点，所以x0∈，
第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝.]
15．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln
x－的零点，则[x0]等于________．
2 [∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln
2－1<0，f(e)＝ln
e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.]
16．已知函数f(x)＝
其中a>0，且a≠1，若函数y＝f(x)－1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3>0，则实数a的取值范围是________．
[如图所示：当a>1时，函数y＝f
－1有2个不同的零点，不满足；
当0－2.
ax－1＝1，故x＝loga2>－2，故0四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
[证明] 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f
－＝－，
∴g(0)·g<0.又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.
18．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2
020x＋log2
020x，试确定f(x)在R上的零点个数．
[解] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
因为log2
020＝－2,2
020≈1，log2
020＝－1,2
020>1，∴f
＜0，f
＞0，
∴f(x)＝2
020x＋log2
020x在区间内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数f(x)在R上的零点个数为3.
19．(本小题满分12分)已知A，B两地相距150
km，某人开汽车以60
km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50
km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解] (1)①汽车由A地到B地行驶t
h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．
20．(本小题满分12分)某电脑公司生产A型手提电脑，2016年平均每台A型手提电脑生产成本为5
000元，并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始，公司加强管理，降低生产成本.2020年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．
(1)求2020年每台A型手提电脑的生产成本；
(2)以2016年的生产成本为基数，用二分法求2017～2020年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．
[解] (1)设2020年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(1＋50%)＝5
000×(1＋20%)×80%，
解得P＝3
200，
所以2020年每台A型手提电脑的生产成本为3
200元．
(2)设2017～2020年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5
000(1－x)4＝3
200(0即5(1－x)2＝4(0令f(x)＝5(1－x)2－4，
则f(0.10)＝0.05>0，
f(0.11)＝－0.039
5<0，
所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.
取区间[0.10,0.11]的中点0.105，
则f(0.105)≈0.005>0，
所以f(0.11)·f(0.105)<0，
所以x0∈(0.105,0.11)．
0．105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.
所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.
所以2017～2020年生产成本平均每年降低11%.
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)且f(0)＝0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，若f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)由f(0)＝0得1－＝0，即a＋2＝4，解得a＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝1－＝，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点?方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，
∵1－2x∈(－∞，1)，∴k∈(－∞，1)．
(3)∵f(x)＝，由f(x)>m·2x－2得m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，
令t＝2x，∵x∈(0,1)，∴t∈(1,2)，
即f(x)>m·2x－2?mt2＋(m－3)t－1<0对于t∈(1,2)恒成立，
设g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，
①当m<0时，m－3<0，∴g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<0在(1,2)上恒成立．
∴m<0符合题意；
②当m＝0时，g(t)＝－3t－1<0在(1,2)上恒成立，
∴m＝0符合题意；
③当m>0时，只需??m≤，∴0综上所述，m的取值范围是.
22．(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
图(1) 图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得解得
所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.152＋0.15×2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．课后素养落实(四十三)
几个函数模型的比较
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选题)当a>1时，其中正确的结论是( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
AD [结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．]
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
C [将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝.]
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
A B
C D
C [小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.]
5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2
B．y＝x
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
D [法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________
.
y＝x2 [当x变大时，x比ln
x增长要快，
∴x2要比xln
x增长的要快．]
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
y3 y2 y1 [根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．]
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
A B C
D
(1) (2) (3)
(4)
(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln
x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
[解] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln
x＋1.
由题图知，
当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
10．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100
kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t(天)
60
100
180
种植成本Q(元/100
kg)
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，回答下列问题：
(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数；
(2)求最低种植成本．
[解] 根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．
(1)函数图象的对称轴方程为t＝－＝＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.
(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，
得解得
所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，
所以最低种植成本是14
400a＋120b＋c＝14
400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100
kg)．
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B
C D
D [设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中的图象，故选D.]
2．(多选题)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是( )
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30
m2
C．野生水葫芦从4
m2蔓延到12
m2只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延到2
m2,3
m2,6
m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3
ABD [易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．]
3．若已知16x>log2x [作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4,16)内，xlog2x.]
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
1.75 [∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]
某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
[解] 将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．
①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，
与实际误差为0.07，
③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．