6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版2019选修三分类计数原理与分步计数原理
一、单选题
1.3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（???
）
A.?120????????????????????????????????????????B.?12????????????????????????????????????????C.?60????????????????????????????????????????D.?72
2.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（???
）
A.?21种????????????????????????????????????B.?23种????????????????????????????????????C.?25种????????????????????????????????????D.?27种
3.东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（???
）
A.?4种?????????????????????????????????????B.?8种?????????????????????????????????????C.?12
种?????????????????????????????????????D.?16种
4.
、
、
、
四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生
不参加甲社团，
不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（???
）
A.?14?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?4
5.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（???
）
A.?34种???????????????????????????????????B.?43种???????????????????????????????????C.?
种???????????????????????????????????D.?
种
6.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为
（n为正整数），如11是2位回文数，则（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
7.从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（???
）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
8.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数(
??)
A.?7?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?81
9.汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（???
）．
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（???
）
A.?9?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?40
二、填空题
11.从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有________种.
12.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有________．
13.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．
14.用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有________种涂法.
三、解答题
15.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.
?
（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
16.7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
17.一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课.
（1）语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（2）数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（3）体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
18.在一次演唱会上共10
名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
19.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4
310的四位偶数.
20.4个男同学，3个女同学站成一排.
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：先排男生共有
种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有
种排法，
所以符合条件的共有
种排法.
故答案为：D.
2.【答案】
C
解：A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有
种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有
种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有
种.
故答案为：C.
3.【答案】
B
解：先把
两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区共有安排方式
种．
故答案为：B．
4.【答案】
A
解：分以下两种情况讨论：
①若学生
参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为
；
②若学生
不参加乙社团，则学生
有两种选择，则学生
也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为
.
综上所述，不同的报名方法种数为
.
故答案为：A.
5.【答案】
A
解：4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.
故答案为：A.
6.【答案】
C
解：2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以
3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共
个，故
，
4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有
种方法，故
5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有
种，故
.
故答案为：C
7.【答案】
C
解：解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：
种，
故答案为：C.
8.【答案】
C
解：根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
9.【答案】
A
解：根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有
种可能的下车方式．
故答案为：A．
10.【答案】
A
解：利用第一种方法有：
种，利用第二种方法有：
种方法.
故共有：5+4＝9种完成工作.
故答案为：A.
二、填空题
11.【答案】
60
解：根据分步乘法原理得：
，
故答案为：60.
12.【答案】
300
解：解：根据题意，分2步进行分析：
①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有
种情况，
②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有
种不同的顺序，
故答案为：
300
．
13.【答案】
20
解：当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
综上故有10+10＝20种，
故答案为20.
14.【答案】
72
解：解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为
、
、
、
，
然后给
面涂色，有3种；给
面涂色，有2种；
给
面，若
与
相同色，则
面可以涂2种；若
与
不同色，则
面可以涂1种，
所以共有
．
故答案为：72．
三、解答题
15.【答案】
（1）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
（2）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5
16.【答案】
（1）解：根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.
共有
种
（2）解：根据题意，A，B都不选，只需从10人中选5人即可.
共有
种
（3）解：根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，共有
种情况.
第二类：A，B中有一人当选，共有
种情况.
所以共有
种
（4）解：根据题意12人选
人共有
种情况，
没有女生入选共有
种，只有1名女生入选共有
种情况，
所以至少有2名女生当选共有
种情况
（5）解：选出一名男生担任体育委员共有
种情况，
选出一名女生担任班长共有
种情况.
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，
共有
种情况.
根据分步计数原理得到共有
种
17.【答案】
（1）解：语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有
种；
（2）解：数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，
其余6节课全排，利用分步计数原理得
种；
（3）解：当体育课排在第7节课时有
种排法，
当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，
其余五节课全排列，有
种排法，
之后应用分类加法计数原理，有
种.?
18.【答案】
（1）解：设既能唱歌又会跳舞的有
人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（2）解：由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人，
，
②只能唱歌选1人，
，
③只能唱歌选2人，
，
有228种选派方法.
19.【答案】
（1）解：先排个位数，有
种，因为0不能在首位，再排首位有
种，最后排其它有
，根据分步计数原理得，六位奇数有
；
（2）解：因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，
当个位数是0，有
，
当个位不数是0，有
，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有
；
（3）解：当千位小于4时，有
种，
当千位是4，百位小于3时，有
种，
当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种，
当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种，
所以不大于4310的四位偶数4有
.
20.【答案】
（1）解：（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有
种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有
，共有
；
（2）解：先把4个男生排练有
种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有
；
（3）解：先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，
按分步计数原理不同的排法有，
（种）．
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