第8章幂的运算 单元测试-2020～2021年苏科版数学七年级下册(Word版 含解析）

第8章幂的运算章节复习限时作业
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
若(x?2)(x+3)=x2+ax+b，则a，b的值分别为(????)
A. a=5，b=?6 B. a=5，b=6
C. a=1，b=6 D. a=1，b=?6
若x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，则m的值为(????)
A. 2 B. 1 C. 0 D. ?2
下列计算错误的是(? ? )
A. (6a+1)(6a?1)=36a2?1 B. (?m?n)(m?n)=n2?m2
C. (a3?8)(?a3+8)=a9?64 D. (?a2+1)(?a2?1)=a4?1
已知a2+b2=5，a?b=1，则ab的值为(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
若多项式是一个整式的平方，则n的值是(????)
A. ±3 B. ±9 C. 9 D. ?9
若多项式x2?(x?a)(x+2b)+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足(????)
A. a=0且b=0 B. a=2b C. ab=0 D. a=b2
把多项式3(x?y)?2(y?x)2分解因式结果正确的是(????)
A. (x?y)(3?2x?2y) B. (x?y)(3?2x+2y)
C. (x?y)(3+2x?2y) D. (y?x)(3+2x?2y)
下列多项式不能用公式法因式分解的是(????)
A. a2?8a+16 B. a2+a+14 C. a2+9 D. a2?4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
计算：?23ab(9ab?32a+6b)=______．
若(x2+mx?5)(x2?3x+n)的展开式中不含x2和x3项，则m+n=?????????????．
已知a2+b2=13，(a?b)2=1，则(a+b)2=????????????．
计算：(3a?b)(3a+b)?(2a?b)2=______．
如图，由图①变换成图②验证了一个乘法公式，这个乘法公式是_____________________．
要使4y2+9是完全平方式，需添加一项，添加的项为______?(写出一个答案即可)．
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)，上述操作过程能验证的等式是______ .(请填入正确答案的序号)
①a2?2ab+b2=(a?b)2；
②a2?b2=(a+b)(a?b)；
③a2+ab=a(a+b)．
若xy=2，x?y=1，则代数式?x2y+xy2的值等于______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
计算：
(1)(π?3.14)0?(12)?3+(?3)2；????????????????????? (2)(a?2b)2?(3a+2b)(2b?3a)．
分解因式：
(1)6xy2?9x2y?y3； (2)16x4?1．
先化简，再求值：(2a?1)2?2(a+1)(a?1)?a(a?2)，其中a=?1．
(1)猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
(2)应用：已知x?1x=5(x≠0)，求x2+1x2的值；
(3)拓展：代数式x2+1x2是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
已知a?b=5，ab=1，求下列各式的值：
(1)a+b2；???????????????????????????????????????????????????? (2)a3b+ab3．
(1)比较x2+4与4x的大小：(用“>”或“=”或“<”或“≥”或“≤”号填空)
①当x=1时，x2+4________4x；
②当x=2时，x2+4________4x；
③当x=?1时，x2+4________4x；
④自己再任意取一些x的值，计算后猜想：x2+4________4x．
(2)无论x取什么值，x2+4与4x总有这样的大小关系吗？请说明理由．
先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2xa?3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa?3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa?3a2=(x2+2xa+a2)?a2?3a2=(x+a)2?4a2=(x+a)2?4a2=(x+a)2?(2a)2=(x+3a)(x?a)
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2?8a+15；
(2)若a2+b2?14a?8b+65+|12m?c|=0
①当a，b，m满足条件：2a×4b=8m时，求m的值；
②若△ABC的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求△ABC的周长．
先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2?6n+13的最小值．
解；m2+2mn+2n2?6n+13=(m2+2mn+n2)+(n2?6n+9)+4=(m+n)2+(n?3)2+4，
∵(m+n)2≥0，(n?3)2≥0
∴多项式m2+2mn+2n2?6n+13的最小值是4．
【解答问题】
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______；
(2)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2=10a+8b?41，求第三边c的取值范围；
(3)求多项式?2x2+4xy?3y2?3y2?6y+7的最大值．
(1)如图1，阴影部分的面积是______.(写成平方差的形式)
(2)若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是______.(写成多项式相乘的积形式)
(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：______．
(4)应用公式计算：(1?122)(1?132)(1?142)(1?152)…(1?120172)(1?120182).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：已知等式整理得：x2+x?6=x2+ax+b，
则a=1，b=?6，
故选：D．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，进而得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号计算是解题关键．
【解答】
解：∵x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，
∴(x+m)(x+2)=x2+(2+m)x+2m中，2+m=0，
故m=?2．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】(a3?8)(?a3+8)=?(a3?8)2=?a6+16a3?64．
4.【答案】B
【解析】解：∵a2+b2=5，a?b=1，
∴(a?b)2=a2+b2?2ab=12，
∴5?2ab=1，
解得：ab=2，
故选：B．
先根据完全平方公式和已知得出(a?b)2=a2+b2?2ab=12，再把a2+b2=5代入，即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：(a?b)2=a2+b2?2ab．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查完全平方式.熟练掌握完全平方式是解本题的关键.根据两数的平方和加上两数积的2倍等于两数和的平方，即可得到n的值．
【解答】
解：∵多项式x2+6x+n2是一个完全平方式，
∴n2=9．
∴n=±3
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查整式的混合运算，掌握运算法则是关键．首先根据多项式与多项式相乘的法则计算乘法，然后合并同类项，最后根据题意列出算式即可得到结论．
【解答】
解：x2?(x?a)(x+2b)+4
=x2?(x2+2bx?ax?2ab)+4
=x2?x2?2bx+ax+2ab+4
=ax?2bx+2ab+4，
∵多项式x2?(x?a)(x+2b)+4的值与x的取值大小无关，
∴a?2b=0，
∴a=2b．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：原式=3(x?y)?2(x?y)2=(x?y)[3?2(x?y)]=(x?y)(3?2x+2y)，
故选：B．
原式变形后，提取公因式即可．
此题考查了因式分解?提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、a2?8a+16=(a?4)2，故此选项不合题意；
B、a2+a+14=(a+12)2，故此选项不合题意；
C、a2+9无法分解因式，故此选项符合题意；
D、a2?4=(a?2)(a+2)，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9.【答案】?6a2b2+a2b?4ab2
【解析】解：?23ab(9ab?32a+6b)=?6a2b2+a2b?4ab2．
故答案为：?6a2b2+a2b?4ab2．
直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
10.【答案】17
【解析】?原式=x4?3x3+nx2+mx3?3mx2+mnx?5x2+15x?5n=x4+(m?3)x3+(n?3m?5)x2+(mn+15)x?5n．
由展开式中不含x2和x3项，得m?3=0且n?3m?5=0，解得m=3，n=14，
所以m+n=17．
11.【答案】25
【解析】【解答】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键，首先将(a?b)2=1进行展开，求出2ab的值，再将所求的式子展开，然后进行代入即可．
【解答】
解：∵(a?b)2=1，
∴a2?2ab+b2=1，
又a2+b2=13，
∴13?2ab=1，
则2ab=12，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25．
故答案为25．
12.【答案】5a2+4ab?2b2?
【解析】略
13.【答案】(a+b)(a?b)=a2?b2
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的应用，通过前后计算各图形的面积，由面积相等即可得出所考察的公式．
【解答】
解：图①的面积为(a+b)(a?b)
图②的面积为a2?b2
而前后面积相等，故(a+b)(a?b)=a2?b2
?故答案为(a+b)(a?b)=a2?b2．
14.【答案】±12y或49y4或?9或?4y?2
【解析】
【分析】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项或乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，难点在于对4y2是平方项与乘积二倍项两种情况进行讨论，熟记完全平方公式对解题非常重要．分4y2是平方项与乘积二倍项进行讨论，然后再利用完全平方公式进行解答．
【解答】
解：①若4y2是平方项，则4y2+9=(2y)2+32，
要构成完全平方式，可添加±2×2y×3=±12y；
②4y2是乘积二倍项，则4y2=2×23y2×3，
要构成完全平方式，可添加23y22=49y4，
③4y?2+9?9=(±2y)?2，
④4y?2+9?4y?2=(±3)2，
综上可得，添加的项±12y或49y4或?9或?4y?2，
故答案为±12y或49y4或?9或?4y?2．
15.【答案】②
【解析】
【分析】
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可验证平方差公式．
【解答】
解：根据图形得：
图1中阴影部分面积=a2?b2，
图2中阴影部分面积=(a+b)(a?b)，
∴a2?b2=(a+b)(a?b)，
∴上述操作能验证的等式是②，
故答案为：②．
16.【答案】?2
【解析】
【分析】
直接将原式提取公因式?xy，进而分解因式求出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
【解答】
解：∵xy=2，x?y=1，
∴代数式?x2y+xy2=?xy(x?y)=?2×1=?2．
故答案为：?2．
17.【答案】解(1)原式=1?8+9=2；
(2)原式=a2?4ab+4b2?(4b2?9a2)
=a2?4ab+4b2?4b2+9a2
=10a2?4ab．
【解析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，属于基础题．
(1)根据零次幂，负整数指数幂，有理数的乘方分别化简，再相加减即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可．
18.【答案】解：(1)原式=?y(y2?6xy+9x2)
=?y(y?3x)2；
(2)原式=(4x2+1)(4x2?1)
=(4x2+1)(2x+1)(2x?1)．
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)原式利用平方差公式分解即可．
19.【答案】解：原式=4a2?4a+1?2a2+2?a2+2a=a2?2a+3，
当a=?1时，原式=1+2+3=6．
【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算?化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)猜想a2+b2≥2ab，理由为：
∵a2+b2?2ab=(a?b)2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
(2)把x?1x=5两边平方得：(x?1x)2=x2+1x2?2=25，
则x2+1x2=27；??
(3)x2+1x2≥2，即最小值为2．
【解析】(1)判断两式大小，利用完全平方公式验证即可；
(2)已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可；
(3)利用得出的规律确定出代数式的最小值即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=(a?b)2+4ab=25+4=29；
(2)原式=ab(a2+b2)=ab[(a?b)2+2ab]=1×(25+2)=27．
【解析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
(1)把a+b2变形为(a?b)2+4ab，将a?b和ab的值代入计算即可解答；
(2)把原式因式分解为ab(a2+b2)，再把(a2+b2)变形为(a?b)2+2ab，将a?b和ab的值代入计算即可解答．
22.【答案】解：(1)①>；
②=；
③>；
④≥．
(2)总有x2+4≥4x．
∵x2+4?4x=x?22，
x取什么值，总有x?22≥0，
∴总有x2+4≥4x．
【解析】
【分析】
本题主要考查的是完全平方公式的应用，偶次方的非负性等有关知识．
(1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(2)根据完全平方公式，可得答案．
【解答】
解：(1)①当x=1时，x2+4=12+4=5，4x=4×1=4，∴x2+4>4x；
②当x=2时，x2+4=22+4=8，4x=2×4=8，∴x2+4=4x；
③当x=?1时，x2+4=(?1)2+4=5，4x=4×(?1)=?4，∴x2+4>4x；
④取x=0时，x2+4=0+4=4，4x=0，∴x2+4>4x；
故无论x为任何值时，总有x2+4≥4x．
故答案为①>；②=；③>；④≥．
(2)见答案．
23.【答案】解：(1)a2?8a+15=(a2?8a+16)?1=(a?4)2?12=(a?3)(a?5)；
(2)①∵a2+b2?14a?8b+65+|12m?c|=0，
∴(a2?14a+49)+(b2?8b+16)+|12m?c|=0，
∴(a?7)2+(b?4)2+|12m?c|=0，
∴a?7=0，b?4=0，
解得，a=7，b=4，
∵2a×4b=8m，
∴27×44=8m，
∴27×28=23m，
∴215=23m，
∴15=3m，
解得，m=5；
②由①知，a=7，b=4，
∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3又∵c边的长为奇数，
∴c=5，7，9，
当a=7，b=4，c=5时，△ABC的周长是：7+4+5=16，
当a=7，b=4，c=7时，△ABC的周长是：7+4+7=18，
当a=7，b=4，c=9时，△ABC的周长是：7+4+9=20．
【解析】(1)根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；
(2)①根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，从而可以求得m的值；
②根据①中a、b的值和题意可以求得△ABC的周长．
本题考查因式分解的应用、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、三角形三边关系，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
24.【答案】完全平方公式
【解析】解：(1)完全平方公式．
(2)∵a2+b2=10a+8b?41，∴a2?10a+25+b2?8b+16=0，
∴(a?5)2+(b?4)2=0．
∵(a?5)2≥0，(b?4)2≥0，∴a=5，b=4．
∴1(3)原式=?2x2+4xy?2y2?y2?6y?9+16
=?2(x?y)2?(y+3)2+16，
∵?2(x?y)2≤0，?(y+3)2≤0，
∴多项式?2x2+4xy?3y2?6y+7?的最大值是?16．
(1)有题意得，运用的是完全平方公式；
(2)原式即为：(a?5)2+(b?4)2=0，即可求解；
(3)原式=?2x2+4xy?2y2?y2?6y?9+16=?2(x?y)2?(y+3)2+16，即可求解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
25.【答案】a2?b2? (a?b)(a+b)? a2?b2=(a?b)(a+b)
【解析】解：(1)如图(1)所示，阴影部分的面积是a2?b2，
故答案为：a2?b2；
(2)根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a?b，
则其面积为(a+b)(a?b)，
故答案为：(a+b)(a?b)；
(3)由阴影部分面积相等知a2?b2=(a?b)(a+b)，
故答案为：a2?b2=(a?b)(a+b)；
(4)(1?122)(1?132)(1?142)(1?152)…(1?120172)(1?120182)
=(1?12)(1+12)(1?13)(1+13)…(1?12018)(1+12018)
=12×32×23×43×…×20172018×20192018
=12×20192018
=20194036．
(1)根据面积的和差，可得答案；
(2)根据矩形的面积公式，可得答案；
(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案；
(4)根据平方差公式计算即可．
本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．