19.1.1变量与函数（第1课时）-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）
文档属性
| 名称 | 19.1.1变量与函数（第1课时）-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-29 11:03:34 | ||
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文档简介
19.1 函数 19.1.1 变量与函数
第1课时 常量与变量
学习目标：
1．会口述常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
学习重点：能够区分同一个问题中的常量与变量.
一、课前检测
二、温故知新
1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征(属性)，如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.
2．写出路程(s)、速度(v)、时间(t)之间的关系： .
三、预习导航（预习教材71页，标出你认为重要的关键词）
1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0.2元／支，总价元随铅笔支数的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.
2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为:,在这个问题中，常量是 ，变量是 .
3．自主归纳：
变量：在一个变化过程中，数值________________的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值________________的量为常量.
四、自学自测
1．指出下列关系式中的常量和变量.
(1)长方形的长为2，长方形面积S与宽x之间的关系S=2x；
(2)一批香蕉每千克6元，则总金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系式为y=6x.
2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式，并指出其中的变量和常量.
五、我的疑惑(反思)
_____________________________________________________________________
要点探究
探究点1：常量与变量
问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
(1)请同学们根据题意填写下表：
t/小时 1 2 3 4 5
s/千米
(2)试用含t的式子表示s,则s= ；
(3)在以上这个过程中，变化的量有 ，不变化的量有__________．
问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．
(1)请同学们根据题意填写：
早场电影的票房收入为 元；?
日场电影的票房收入为 元；?
晚场电影的票房收入为 元；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
(3)试用含x的式子表示y,则y= ；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．
问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
(1)填空：
当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为r时，圆的面积S= ；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
要点归纳：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 .
二、精讲点拨
例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是________，变量是________；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是________，变量是________；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是________，变量是________.
变式题
阅读并完成下面的填空：
(1)某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是________,变量是________.
(2)s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是________,变量是________.
(3)根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.
方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
探究点2：确定两个变量之间的关系
例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量(kg) 1 2 3 4 5
弹簧长度(cm)
怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?
变式题：如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为______________.
三、变式训练
分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．
四、课堂小结
常量与变量的概念 常量 在一个变化过程中，数值________的量为常量
变量 在一个变化过程中，数值________的量为变量
易错提醒 在不同的条件下，常量与变量是相对的
★1．若球体体积为V，半径为R，则，其中变量是_______，常量是______.
★2．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a(元)的关系式是________，其中变量是________，常量是________.
★3．汽车开始行驶时油箱内有油60升，如果每小时耗油8升，则油箱内余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系是________，其中的常量是________，变量是________.
★★4．表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x(单位：m)落下时弹跳高度y(单位：m)与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是?????????????．
50 80 100 150
25 40 50 75
★★5.如图，已知直线m，n之间的距离是3，△ABC的顶点A在直线m上，边BC在直线n上，求△ABC的面积S和BC边的长x之间的关系式，并指出其中的变量和常量.
★★★6.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
???x??? 1 2 3 … n
y
…
完成上表，并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式，并指出其中的常量与变量.
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
自学自测
试题分析：在一个变化过程中，数值保持不变的量为常量，数值发生变化的量为变量，据此定义可以做出判断.
详解：（1）在长方形的面积关系式S=2x中，S与x是变化的，长度2不变，
∴变量是S，x；常量是2.
（2）在关系式y=6x中，总金额y(元)与销售量x(千克)是变化的，每千克香蕉的售价6元不变， ∴变量是y与x，常量是6.
2.试题分析：根据路程、速度、时间的关系可知s=8t，然后根据常量、变量的定义即可加以判断.
详解：由题意得s=8t.
其中变量为s与t，常量是8.
精讲点拨
例1 试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
详解：（1）常量是5，变量是a和m；
常量是2π，变量是C，r；
常量是，变量是S，h.
变式题
试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
详解：（1）某人持续以a米/分钟的速度t分钟内跑了s米，其中常量是a，变量是t，s；
（2）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分钟各需跑t分钟，其中常量是s，变量是a，t；（3）根据以上叙述，写一句关于常量与变量的结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
故答案为：a，t，s；s，a，t；在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
例2.试题分析：根据每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，可知表格中弹簧长度依次为10+0.5＝10.5，10+2×0.5＝11，10+3×0.5＝11.5，10+4×0.5＝12，10+5×0.5＝12.5.其中0.5为常量，10也为常量．据此即可得出弹簧总长L（cm）与所挂重物m（kg）之间的关系式．
详解：由题意知10+0.5＝10.5，10+2×0.5＝11，10+3×0.5＝11.5，10+4×0.5＝12，10+5×0.5＝12.5，∴表中弹簧长度分别为：10.5,11,11.5,12,12.5.
所以，弹簧总长L（cm）与所挂重物m（kg）之间的函数关系式为L＝0.5m+10．
变式题：
试题分析：根据每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，可知重物质量m(kg)时的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m.
详解：由题意知，用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m.
变式训练
试题分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”来写α与β的关系式；
（2）根据点燃后蜡烛的长度＝原长﹣燃烧的长度，列出x与y的关系式；
（3）根据正方形增加的面积＝新正方形的面积﹣原正方形的面积，写出x与y的关系式．
详解：（1）β＝90°﹣α，90°是常量，α、β是变量；
（2）y＝20﹣0.5x，20，0.5是常量，x，y是变量；
（3）y＝（2+x）2﹣22＝4+4x+x2﹣4＝x2+4x，4是常量，x，y是变量．
星级达标：
试题分析：根据常量与变量的定义判断即可.
详解：在球的体积公式中，V和R是变化的，不变.
所以变量为V，R；常量为.
2．试题分析：直接利用总钱数÷单价＝购买乒乓球的总数，进而得出答案．
详解：∵计划花50元购买乒乓球，
∴所能购买乒乓球的总数n（个）与单价a（元/个）的关系式为：
n＝，其中n与a是变量，50是常量．
故答案为：n＝，n、a，50．
3．试题分析：根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油，进而得出关系式，再利用常量、变量的定义得出答案．
详解：根据题意可得：
油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的函数关系为：Q＝60﹣8t，
常量为：60、﹣8；变量为：Q、t．
故答案为：Q＝60﹣8t，60、﹣8，Q、t．
4．试题分析：根据表格中的数据可以发现x和y的关系，从而可以解答本题．
详解：由表格中的数据可知，.
5.试题分析：直接利用三角形面积公式可得出S与x的关系式，进而找出常量与变量．
详解：由题意可得：S＝x，变量是：S，x；常量是．
6.试题分析：当x为1时，y＝1；当x＝2时，y＝1+2；当x＝3时，y＝1+2+3，据此得出答案即可．
详解：填表如下：
x 1 2 3 … n
y 1 3 6 …
依题意得：y＝1+2+3+…+x＝（x≥1且为整数）
第1课时 常量与变量
学习目标：
1．会口述常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
学习重点：能够区分同一个问题中的常量与变量.
一、课前检测
二、温故知新
1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征(属性)，如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.
2．写出路程(s)、速度(v)、时间(t)之间的关系： .
三、预习导航（预习教材71页，标出你认为重要的关键词）
1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0.2元／支，总价元随铅笔支数的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.
2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为:,在这个问题中，常量是 ，变量是 .
3．自主归纳：
变量：在一个变化过程中，数值________________的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值________________的量为常量.
四、自学自测
1．指出下列关系式中的常量和变量.
(1)长方形的长为2，长方形面积S与宽x之间的关系S=2x；
(2)一批香蕉每千克6元，则总金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系式为y=6x.
2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式，并指出其中的变量和常量.
五、我的疑惑(反思)
_____________________________________________________________________
要点探究
探究点1：常量与变量
问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
(1)请同学们根据题意填写下表：
t/小时 1 2 3 4 5
s/千米
(2)试用含t的式子表示s,则s= ；
(3)在以上这个过程中，变化的量有 ，不变化的量有__________．
问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．
(1)请同学们根据题意填写：
早场电影的票房收入为 元；?
日场电影的票房收入为 元；?
晚场电影的票房收入为 元；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
(3)试用含x的式子表示y,则y= ；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．
问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
(1)填空：
当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；
当圆的半径为r时，圆的面积S= ；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
要点归纳：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 .
二、精讲点拨
例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是________，变量是________；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是________，变量是________；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是________，变量是________.
变式题
阅读并完成下面的填空：
(1)某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是________,变量是________.
(2)s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是________,变量是________.
(3)根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.
方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
探究点2：确定两个变量之间的关系
例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量(kg) 1 2 3 4 5
弹簧长度(cm)
怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?
变式题：如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为______________.
三、变式训练
分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．
四、课堂小结
常量与变量的概念 常量 在一个变化过程中，数值________的量为常量
变量 在一个变化过程中，数值________的量为变量
易错提醒 在不同的条件下，常量与变量是相对的
★1．若球体体积为V，半径为R，则，其中变量是_______，常量是______.
★2．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a(元)的关系式是________，其中变量是________，常量是________.
★3．汽车开始行驶时油箱内有油60升，如果每小时耗油8升，则油箱内余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系是________，其中的常量是________，变量是________.
★★4．表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x(单位：m)落下时弹跳高度y(单位：m)与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是?????????????．
50 80 100 150
25 40 50 75
★★5.如图，已知直线m，n之间的距离是3，△ABC的顶点A在直线m上，边BC在直线n上，求△ABC的面积S和BC边的长x之间的关系式，并指出其中的变量和常量.
★★★6.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
???x??? 1 2 3 … n
y
…
完成上表，并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式，并指出其中的常量与变量.
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
自学自测
试题分析：在一个变化过程中，数值保持不变的量为常量，数值发生变化的量为变量，据此定义可以做出判断.
详解：（1）在长方形的面积关系式S=2x中，S与x是变化的，长度2不变，
∴变量是S，x；常量是2.
（2）在关系式y=6x中，总金额y(元)与销售量x(千克)是变化的，每千克香蕉的售价6元不变， ∴变量是y与x，常量是6.
2.试题分析：根据路程、速度、时间的关系可知s=8t，然后根据常量、变量的定义即可加以判断.
详解：由题意得s=8t.
其中变量为s与t，常量是8.
精讲点拨
例1 试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
详解：（1）常量是5，变量是a和m；
常量是2π，变量是C，r；
常量是，变量是S，h.
变式题
试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
详解：（1）某人持续以a米/分钟的速度t分钟内跑了s米，其中常量是a，变量是t，s；
（2）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分钟各需跑t分钟，其中常量是s，变量是a，t；（3）根据以上叙述，写一句关于常量与变量的结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
故答案为：a，t，s；s，a，t；在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
例2.试题分析：根据每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，可知表格中弹簧长度依次为10+0.5＝10.5，10+2×0.5＝11，10+3×0.5＝11.5，10+4×0.5＝12，10+5×0.5＝12.5.其中0.5为常量，10也为常量．据此即可得出弹簧总长L（cm）与所挂重物m（kg）之间的关系式．
详解：由题意知10+0.5＝10.5，10+2×0.5＝11，10+3×0.5＝11.5，10+4×0.5＝12，10+5×0.5＝12.5，∴表中弹簧长度分别为：10.5,11,11.5,12,12.5.
所以，弹簧总长L（cm）与所挂重物m（kg）之间的函数关系式为L＝0.5m+10．
变式题：
试题分析：根据每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，可知重物质量m(kg)时的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m.
详解：由题意知，用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m.
变式训练
试题分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”来写α与β的关系式；
（2）根据点燃后蜡烛的长度＝原长﹣燃烧的长度，列出x与y的关系式；
（3）根据正方形增加的面积＝新正方形的面积﹣原正方形的面积，写出x与y的关系式．
详解：（1）β＝90°﹣α，90°是常量，α、β是变量；
（2）y＝20﹣0.5x，20，0.5是常量，x，y是变量；
（3）y＝（2+x）2﹣22＝4+4x+x2﹣4＝x2+4x，4是常量，x，y是变量．
星级达标：
试题分析：根据常量与变量的定义判断即可.
详解：在球的体积公式中，V和R是变化的，不变.
所以变量为V，R；常量为.
2．试题分析：直接利用总钱数÷单价＝购买乒乓球的总数，进而得出答案．
详解：∵计划花50元购买乒乓球，
∴所能购买乒乓球的总数n（个）与单价a（元/个）的关系式为：
n＝，其中n与a是变量，50是常量．
故答案为：n＝，n、a，50．
3．试题分析：根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油，进而得出关系式，再利用常量、变量的定义得出答案．
详解：根据题意可得：
油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的函数关系为：Q＝60﹣8t，
常量为：60、﹣8；变量为：Q、t．
故答案为：Q＝60﹣8t，60、﹣8，Q、t．
4．试题分析：根据表格中的数据可以发现x和y的关系，从而可以解答本题．
详解：由表格中的数据可知，.
5.试题分析：直接利用三角形面积公式可得出S与x的关系式，进而找出常量与变量．
详解：由题意可得：S＝x，变量是：S，x；常量是．
6.试题分析：当x为1时，y＝1；当x＝2时，y＝1+2；当x＝3时，y＝1+2+3，据此得出答案即可．
详解：填表如下：
x 1 2 3 … n
y 1 3 6 …
依题意得：y＝1+2+3+…+x＝（x≥1且为整数）