18.2.1矩形第2课时 矩形的性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）
文档属性
| 名称 | 18.2.1矩形第2课时 矩形的性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-29 12:53:12 | ||
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文档简介
18.2.1矩形
第2课时 矩形的性质
学习目标：
知道直角三角形斜边中线的性质，并会进行简单的运用．
学习重点：直角三角形斜边中线的性质及其运用．
一、课前检测
已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB．
求证：△AOB是等边三角形.(注意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
二、温故知新
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，AB=10cm，则AC=______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
三、预习导航（预习教材第53页，标出你认为重要的关键词）
1.关于直角三角形，前面你有了哪些了解？
2.直角三角形斜边上的中线等于_______________.
用几何语言表示为：
四、自学自测
如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，试求∠CBE的度数．
五、我的疑惑(反思)
要点探究
探究点1：直角三角形斜边上的中线的性质
活动 如图，取一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半．
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线．
求证：BO=AC.
证明：延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC．
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是____________．
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC．
要点归纳：直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的_______等于斜边的________．
几何语言：
即学即练：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD．
方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
二、精讲点拨
例题 如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，点G，F分别是BC，DE的中点，试判断GF、DE位置关系，并说明理由．
方法总结:在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
三、变式训练
1．如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线．
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm；
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =_____cm．
2.如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，试求折痕EF的长.
四、课堂小结
内 容 符号语言
直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
★1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
★2.若直角三角形的两条直角边长分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A．13 B．6 C．6.5 D．不能确定
★3. 如图,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
★★4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
★★5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，且DC=BE.求证：∠B=2∠BCE.
★★6．如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°,BO=4 ,求四边形ABED的面积．
★★★7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
我的反思（收获，不足）
分层作业
必做 (教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB，再求出AB＝AC，然后根据三条边都相等的三角形是等边三角形得证.
证明：△OAB是等边三角形．
理由如下：在矩形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝AC，OB＝BD，
又∵AB＝AC，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形．
拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”获得的结论有：∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=30°，AC=BD=2AB=2CD，△OAB，△OCD是等边三角形等.
证明略
温故知新
1.试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AC的长．
详解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm，
∴AC＝AB＝5，
故答案为：5．
2.试题分析：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余，如图，取AB的中点D，连接CD，证明△ACD是等边三角形即可．
详解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵∠C＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD，
∵AB＝2AC，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
自学自测
试题分析：根据矩形性质得出∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，推出AE＝2AD，得出∠DEA＝30°＝∠EAB，求出∠EBA的度数，即可求出答案．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，
∵AB＝AE，AB＝2CB，
∴AE＝2AD，
∴∠DEA＝30°，
∵DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB＝30°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠EAB）＝75°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°.
即学即练：
试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
详解：（1）∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E，F都在AD的垂直平分线上.
∴EF垂直平分AD．
精讲点拨
例题 试题分析：连接EG、FG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝EG＝BC，再根据等腰三角形的三线合一证明即可．
证明：GF⊥DE．理由如下：
如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、BC边上的高，点G是BC的中点，
∴DG＝EG＝BC，
∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
变式训练
1.试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AC＝2BD＝6cm；
（2）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AB＝10cm，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=AC=5cm．
详解：（1）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，BD＝3cm，
∴AC＝2BO＝6cm；
∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C = 30° ,AB = 5cm,
∴AC＝2AB＝10cm.
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD=AC=5cm．
故答案为（1）6；（2）10, 5．
2.试题分析：本题主要考查了轴对称变换，矩形的性质以及勾股定理的运用，连接BE，过E作EG⊥BC于G，设AE＝x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE的长，根据EG＝AD，求出GF的长，运用勾股定理即可得到EF．
详解：连接BE，过E作EG⊥BC于G，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x.
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2
解得x＝， ∴AE＝.
∴BE＝DE＝8﹣＝，
∵∠DEF＝∠BFE，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE＝，
∴GF＝，
∴Rt△EFG中，EF＝＝，
即EF的长为.
星级达标：
1.试题分析：由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
详解：∵矩形的对边相等，对角相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：A．
2.试题分析：根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
详解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：C．
3.试题分析：由BE⊥AC，D为AB中点，DE＝5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BE的长．
详解：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∵AE＝8，
∴BE＝＝6．
故答案为：6．
4.试题分析：本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，求出BD、OD，根据三角形中位线性质即可得解．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），
∴DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故答案为：2.5．
5.试题分析：根据直角三角形斜边上中线性质推出DE＝BE＝CD，根据等腰三角形性质推出∠B＝∠EDB，∠BCE＝∠DEC，根据三角形外角性质即可推出答案．
证明：连接ED．
∵AD是高，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，DE是AB边上的中线，
∴ED＝，
∴∠B＝∠EDB．
∵DC＝BE，
∴ED＝DC，
∴∠DEC＝∠ECD，
∵∠EDB＝∠DEC+∠ECD＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE．
6.试题分析：（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证；
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BD＝BE.
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO＝4，
∴BD＝2BO＝2×4＝8，
∵∠DBC＝30°，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴AB＝CD＝4，DE＝CD+CE＝CD+AB＝4+4＝8，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝4，
∴四边形ABED的面积＝（4+8）×4＝24．
7.试题分析：本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
详解：线段MN存在最小值.
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为.
第2课时 矩形的性质
学习目标：
知道直角三角形斜边中线的性质，并会进行简单的运用．
学习重点：直角三角形斜边中线的性质及其运用．
一、课前检测
已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB．
求证：△AOB是等边三角形.(注意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
二、温故知新
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，AB=10cm，则AC=______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
三、预习导航（预习教材第53页，标出你认为重要的关键词）
1.关于直角三角形，前面你有了哪些了解？
2.直角三角形斜边上的中线等于_______________.
用几何语言表示为：
四、自学自测
如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，试求∠CBE的度数．
五、我的疑惑(反思)
要点探究
探究点1：直角三角形斜边上的中线的性质
活动 如图，取一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半．
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线．
求证：BO=AC.
证明：延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC．
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是____________．
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC．
要点归纳：直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的_______等于斜边的________．
几何语言：
即学即练：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD．
方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
二、精讲点拨
例题 如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，点G，F分别是BC，DE的中点，试判断GF、DE位置关系，并说明理由．
方法总结:在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
三、变式训练
1．如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线．
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm；
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =_____cm．
2.如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，试求折痕EF的长.
四、课堂小结
内 容 符号语言
直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
★1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
★2.若直角三角形的两条直角边长分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A．13 B．6 C．6.5 D．不能确定
★3. 如图,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
★★4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
★★5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，且DC=BE.求证：∠B=2∠BCE.
★★6．如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°,BO=4 ,求四边形ABED的面积．
★★★7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
我的反思（收获，不足）
分层作业
必做 (教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB，再求出AB＝AC，然后根据三条边都相等的三角形是等边三角形得证.
证明：△OAB是等边三角形．
理由如下：在矩形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝AC，OB＝BD，
又∵AB＝AC，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形．
拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”获得的结论有：∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=30°，AC=BD=2AB=2CD，△OAB，△OCD是等边三角形等.
证明略
温故知新
1.试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AC的长．
详解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm，
∴AC＝AB＝5，
故答案为：5．
2.试题分析：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余，如图，取AB的中点D，连接CD，证明△ACD是等边三角形即可．
详解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵∠C＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD，
∵AB＝2AC，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
自学自测
试题分析：根据矩形性质得出∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，推出AE＝2AD，得出∠DEA＝30°＝∠EAB，求出∠EBA的度数，即可求出答案．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，
∵AB＝AE，AB＝2CB，
∴AE＝2AD，
∴∠DEA＝30°，
∵DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB＝30°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠EAB）＝75°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°.
即学即练：
试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
详解：（1）∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E，F都在AD的垂直平分线上.
∴EF垂直平分AD．
精讲点拨
例题 试题分析：连接EG、FG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝EG＝BC，再根据等腰三角形的三线合一证明即可．
证明：GF⊥DE．理由如下：
如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、BC边上的高，点G是BC的中点，
∴DG＝EG＝BC，
∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
变式训练
1.试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AC＝2BD＝6cm；
（2）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AB＝10cm，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=AC=5cm．
详解：（1）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，BD＝3cm，
∴AC＝2BO＝6cm；
∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C = 30° ,AB = 5cm,
∴AC＝2AB＝10cm.
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD=AC=5cm．
故答案为（1）6；（2）10, 5．
2.试题分析：本题主要考查了轴对称变换，矩形的性质以及勾股定理的运用，连接BE，过E作EG⊥BC于G，设AE＝x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE的长，根据EG＝AD，求出GF的长，运用勾股定理即可得到EF．
详解：连接BE，过E作EG⊥BC于G，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x.
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2
解得x＝， ∴AE＝.
∴BE＝DE＝8﹣＝，
∵∠DEF＝∠BFE，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE＝，
∴GF＝，
∴Rt△EFG中，EF＝＝，
即EF的长为.
星级达标：
1.试题分析：由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
详解：∵矩形的对边相等，对角相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：A．
2.试题分析：根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
详解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：C．
3.试题分析：由BE⊥AC，D为AB中点，DE＝5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BE的长．
详解：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∵AE＝8，
∴BE＝＝6．
故答案为：6．
4.试题分析：本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，求出BD、OD，根据三角形中位线性质即可得解．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），
∴DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故答案为：2.5．
5.试题分析：根据直角三角形斜边上中线性质推出DE＝BE＝CD，根据等腰三角形性质推出∠B＝∠EDB，∠BCE＝∠DEC，根据三角形外角性质即可推出答案．
证明：连接ED．
∵AD是高，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，DE是AB边上的中线，
∴ED＝，
∴∠B＝∠EDB．
∵DC＝BE，
∴ED＝DC，
∴∠DEC＝∠ECD，
∵∠EDB＝∠DEC+∠ECD＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE．
6.试题分析：（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证；
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BD＝BE.
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO＝4，
∴BD＝2BO＝2×4＝8，
∵∠DBC＝30°，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴AB＝CD＝4，DE＝CD+CE＝CD+AB＝4+4＝8，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝4，
∴四边形ABED的面积＝（4+8）×4＝24．
7.试题分析：本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
详解：线段MN存在最小值.
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为.