18.2.1矩形第1课时 矩形的性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）
文档属性
| 名称 | 18.2.1矩形第1课时 矩形的性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-29 12:58:47 | ||
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文档简介
18.2.1矩形
第1课时 矩形的性质1
学习目标：
1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
学习重点：矩形的定义、性质及其应用．
一、课前检测
二、温故知新
1．平行四边形是怎样定义的？它有哪些性质？请分别用符号语言表示出来.
2．如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
三、预习导航（预习教材第52页，标出你认为重要的关键词）
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形．
2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出矩形的性质吗？
四、自学自测
1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
3.已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的锐角为 ；若该矩形的对角线长为4cm，则矩形的两邻边长分别为 、 ．
五、我的疑惑(反思)
要点探究
探究点1：矩形的性质
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形所不具有的一些特殊性质呢？
活动 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等．
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如书本,课桌,铅笔盒等)的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果．
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
(2)根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是_________． 猜想2 矩形的对角线__________．
证一证 ①如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°．
求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC．
∴∠B+∠C=_____°．
又∵∠B = 90°,
∴∠C =____°．
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°．
②如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O．
求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC____△DCB． ∴AC____DB．
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考．??
矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1．矩形的四个角都是_______．矩形的对角线________．
2．矩形是_________图形,它有_____条对称轴．
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O．
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB．
二、精讲点拨
例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F．求证：DF=DC．
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
方法总结：
三、变式训练
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 ( )
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
2．如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度数．
四、课堂小结
内 容 符号语言
矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的性质 矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
★1.已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的短边长为 cm．
★2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( )．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
★3.下列说法错误的是( )．
A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．矩形的四个角都相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形
★★4.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD.将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.（1）求证：△ACD≌△EDC.
（2）试确定△BDE的形状，并说明理由.
★★5．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
★★★6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A，D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案
精讲点拨
例1 试题分析：根据矩形的性质AD∥BC,AE＝AD，可以得到∠DEC=∠ADE=∠AED，由DF⊥AE于F，∠DFE=∠C=90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE得DF=DC.
【详解】
证明：连接DE.
∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE．
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS）．
∴DF＝DC．
例2试题分析：首先根据矩形的性质可得出AD∥BC，即∠2=∠3，然后根据折叠知∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，可得到∠1=∠3，进而得出BE=DE，设BE=DE=x，则EC′=8-x，利用勾股定理求出x的值，代入面积公式即可求出△BED的面积．
详解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠2=∠3，
由折叠知,∠1=∠2,C′D=CD=4、BC′=BC=8，
∴∠1=∠3，即DE=BE，
设BE=DE=x,则EC′=8?x，
在Rt△DEC′中,DC′2+EC′2=DE2
∴42+(8?x)2=x2解得：x=5，
∴DE的长为5.
∴△BED的面积=DE×AB=×5×4=10.
变式训练
1.试题分析：根据矩形的定义和性质分析判断即可.
详解：矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．
所以选项A，B，D正确，C错误.
故选C.
2．试题分析：根据矩形性质得出推出 求出求出 即可求出的度数．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴OA=OB，
∵∠DAE:∠BAE=3:1，
∴
∵AE⊥BD，∴ .
∴
∵OA=OB，∴
∴
星级达标：
1.试题分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，计算即可得解．
详解：在矩形中，由矩形的性质可知：，
，
，
∴AB=AC=×10=5cm， 故答案应填5.
2.试题分析：根据矩形的性质和全等三角形的判定方法可得答案.
详解：设矩形ABCD的对角线交于点O，根据矩形的性质和全等三角形的判定方法可知，有△AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC，△ABD≌△DCA，△ABD≌△CDB，△ABD≌△BAC，△DCA≌△CDB，△DCA≌△BAC，△CDB≌△BAC，共8对，
故答案选D.
3.试题分析：本题考查矩形的定义与性质.
详解：A．矩形的对角线互相平分 ，本选项正确；
B．矩形的对角线相等，本选项正确；
C．矩形的四个角都相等，本选项正确；
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误.
故选D．
4．试题分析：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质.（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论； （2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
5.试题分析：根据矩形的性质可得OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得∠OBC和∠AEB的度数，以及AB=BE ，AB=OA=OB，即可得OB=BE，∠BOE=∠BEO，即可求得∠OEB的度数
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，
AC=BD，OB=BD，OC=AC.
∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°．
6.试题分析：本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG即可．
详解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD=，
S△ABD=AB?AD=BD?AG，
即×3×4=×5×AG，
解得：AG=，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD=OA?PE+OD?PF=OD?AG，
∴PE+PF=AG=．
故PE+PF=.
第1课时 矩形的性质1
学习目标：
1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
学习重点：矩形的定义、性质及其应用．
一、课前检测
二、温故知新
1．平行四边形是怎样定义的？它有哪些性质？请分别用符号语言表示出来.
2．如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
三、预习导航（预习教材第52页，标出你认为重要的关键词）
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形．
2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出矩形的性质吗？
四、自学自测
1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
3.已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的锐角为 ；若该矩形的对角线长为4cm，则矩形的两邻边长分别为 、 ．
五、我的疑惑(反思)
要点探究
探究点1：矩形的性质
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形所不具有的一些特殊性质呢？
活动 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等．
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如书本,课桌,铅笔盒等)的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果．
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
(2)根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是_________． 猜想2 矩形的对角线__________．
证一证 ①如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°．
求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC．
∴∠B+∠C=_____°．
又∵∠B = 90°,
∴∠C =____°．
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°．
②如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O．
求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC____△DCB． ∴AC____DB．
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考．??
矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1．矩形的四个角都是_______．矩形的对角线________．
2．矩形是_________图形,它有_____条对称轴．
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O．
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB．
二、精讲点拨
例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F．求证：DF=DC．
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
方法总结：
三、变式训练
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 ( )
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
2．如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度数．
四、课堂小结
内 容 符号语言
矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的性质 矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
★1.已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的短边长为 cm．
★2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( )．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
★3.下列说法错误的是( )．
A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．矩形的四个角都相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形
★★4.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD.将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.（1）求证：△ACD≌△EDC.
（2）试确定△BDE的形状，并说明理由.
★★5．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
★★★6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A，D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案
精讲点拨
例1 试题分析：根据矩形的性质AD∥BC,AE＝AD，可以得到∠DEC=∠ADE=∠AED，由DF⊥AE于F，∠DFE=∠C=90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE得DF=DC.
【详解】
证明：连接DE.
∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE．
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS）．
∴DF＝DC．
例2试题分析：首先根据矩形的性质可得出AD∥BC，即∠2=∠3，然后根据折叠知∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，可得到∠1=∠3，进而得出BE=DE，设BE=DE=x，则EC′=8-x，利用勾股定理求出x的值，代入面积公式即可求出△BED的面积．
详解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠2=∠3，
由折叠知,∠1=∠2,C′D=CD=4、BC′=BC=8，
∴∠1=∠3，即DE=BE，
设BE=DE=x,则EC′=8?x，
在Rt△DEC′中,DC′2+EC′2=DE2
∴42+(8?x)2=x2解得：x=5，
∴DE的长为5.
∴△BED的面积=DE×AB=×5×4=10.
变式训练
1.试题分析：根据矩形的定义和性质分析判断即可.
详解：矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．
所以选项A，B，D正确，C错误.
故选C.
2．试题分析：根据矩形性质得出推出 求出求出 即可求出的度数．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴OA=OB，
∵∠DAE:∠BAE=3:1，
∴
∵AE⊥BD，∴ .
∴
∵OA=OB，∴
∴
星级达标：
1.试题分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，计算即可得解．
详解：在矩形中，由矩形的性质可知：，
，
，
∴AB=AC=×10=5cm， 故答案应填5.
2.试题分析：根据矩形的性质和全等三角形的判定方法可得答案.
详解：设矩形ABCD的对角线交于点O，根据矩形的性质和全等三角形的判定方法可知，有△AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC，△ABD≌△DCA，△ABD≌△CDB，△ABD≌△BAC，△DCA≌△CDB，△DCA≌△BAC，△CDB≌△BAC，共8对，
故答案选D.
3.试题分析：本题考查矩形的定义与性质.
详解：A．矩形的对角线互相平分 ，本选项正确；
B．矩形的对角线相等，本选项正确；
C．矩形的四个角都相等，本选项正确；
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误.
故选D．
4．试题分析：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质.（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论； （2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
5.试题分析：根据矩形的性质可得OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得∠OBC和∠AEB的度数，以及AB=BE ，AB=OA=OB，即可得OB=BE，∠BOE=∠BEO，即可求得∠OEB的度数
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，
AC=BD，OB=BD，OC=AC.
∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°．
6.试题分析：本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG即可．
详解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD=，
S△ABD=AB?AD=BD?AG，
即×3×4=×5×AG，
解得：AG=，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD=OA?PE+OD?PF=OD?AG，
∴PE+PF=AG=．
故PE+PF=.