初三数学九下二次函数讲学案
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文档简介
初三数学（九下 ）第二章二次函数讲学案
内容解读
二次函数的概念。
二次函数的图像及性质。
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系。
二次函数的应用
能力解读
会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。
会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴。
会根据抛物线确定a、b、c的符号。
4.会用配方法把抛物线的解析式化为 的形式。
5.能利用二次函数解决简单的实际问题。
趋势方法
命题趋势
考察二次此函数的图像与性质，通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义，能用数形结合，归纳等数学思想，根据二次函数的表达式{图像}确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，待定系数法求函数解析式。从图像反映的函数性质，求解析式中字母的取值范围等。
2011年，多个省市设计了以点、线、图形运动为基础的开放性探究题，有的在图形变化过程中，探索两个变量之间的关系，并能根据实际情况确定自变量的取值范围，进而探求符合条件的图形的性质或点的坐标。也有的让学生通过迁移探索在新的条件下结论是否仍然成立，展示信息中变与不变的辩证关系。
2012年可能延续2011年命题方向，继续在二次函数的应用性、探究性方面进行探索。
突破方法
正确理解和掌握二次函数的概念、图像、性质。
利用数形结合思想，借助函数图像及性质，形象直观的解决有关不等式最大（小）值、方程的解及图形位置关系等问题。
利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题。
知识清单
常考点清单
1.形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数）的函数，当a≠0时是二次函数；当a ，b≠时是一次函数。
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像是对称轴平行于y轴(或重合)的一条抛物线；对称轴是x= ，顶点坐标是（，）。
3.当a＞0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)开口向上，当x=时，函数的最小值是 ；在对称轴左侧，y随 x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而 。
当a＜0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)开口向下，当x=时，函数的最大值是 ；在对称轴左侧，y随 x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 。
4.抛物线 可有 的图像平移而得到。
5. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根 。
6. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个公共点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。
7. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根。
2011年中考题组
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果y=（m-2）x是关于x的二次函数，则m=（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．m不存在
2．对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．y=x2-7x-5与y轴的交点坐标为（ ）
A．-5 B．（0，-5） C．（-5，0） D．（0，-20）
4．下列函数一定是关于x的二次函数的是（ ）
A．y=ax+bx+c B．y=x+bx+c
C．y=（a2+a）x2+bx+c D．y=（a2-a）x2+bx+c
5．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D．圆的周长与半径之间的关系
6．二次函数y=x2-2x-1的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．抛物线y=x2-x-6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（-2，0） C．（-6，0），（1，0） D．（3，0），（-2，0）
8．已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
9．下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（-1，0）
10．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．y= HYPERLINK "http://" +1
11、设抛物线y=x2+8x-k的顶点在x轴上，则k的值为（ ）
A -16 B 16 C -8 D 8
12、下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A y=-3x B y=4x C D y=-x2
二、填空题（每小题3分，共30分） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
13．抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________．
14．二次函数y=ax2-bx+c的图象如图1所示，则a，b，c与零的大小关系为a____0，b_____0，c_____0．
( http: / / )
(1) (2)
15．若抛物线y=（m-1）x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_____．
16．已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a=______．
17．二次函数y=x2+2的图象开口_______，对称轴是______，顶点坐标是_______．
18．如图2,用长60米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设_______为x米，也可以选择_______为x米，相应地面积S的解析式为_____或______．
19．抛物线y=x2+2x+4的图象可以看作是将y=x的图象经过_________平移得到的．
20．使函数y=x2-3x+2的值为零的x的值为_______．
21．函数y=2-3x2的图象，开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是_________．
22．无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+2mx+m上的点是________．
三、解答下列各题（每题8分，共40分） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
23．已知抛物线y=x2-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，并且此抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x2，求a、b的值．
24．已知：如图所示，在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．
25．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB边上的一动点，（E与A，B点不重合），设AE=x，以E为顶点的内接正方形的面积为y，求y与x的函数关系式，当x为何值时，内接正方形的面积最小？
26．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请求出这个二次函数的关系式．
( http: / / )
27．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式．
（3）销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
28、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达
29、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；
30、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE.
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.
(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.
标准答案
1．A 解析：令m2-m=2，解得m=2或m=-1，而m=2不合适，舍去．
2．D
3．B 解析：令x=0，求出y的值为-5．
4．B 5．C
6．D 解析：将二次函数进行配方为y=（x-1）2-2，顶点坐标为（1，-2）．
7．D 解析：令y=0，求出x的值为-2与3，故交点坐标为（3，0），（-2，0）．
8．C 9．D
10．A 解析：紧扣定义中的形式，B为一次函数，C为反比例函数，D虽是函数，但不是二次函数．11、A 12、A
13．（，-） x= 解析：将y=2x-6x-1配方为y=2（x- HYPERLINK "http://" ）2-．
14．> < < 15． 16．1， 17．向上 y轴 （0，2）
18．AB BC S=-2x2+60x或S=-x2+30x
19．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
20．1，2 21．向下 y轴 （0，2）
22．（，） 解：将y=x2+2mx+m进行整理得到y=x2+（2x+1）m，为使不受m的限制， 令2x+1=0，得出x=-，从而y=．
23．解：由题意知，抛物线的对称轴为x= HYPERLINK "http://" =a，
抛物线与x轴交点的横坐标为a-，a+．
抛物线的解析式也可以写成y=[x-（a-）][x-（a+）]=x2-2ax+a2-，
所以a2-=2a+b，令x=a，则y=- HYPERLINK "http://" ，所以顶点坐标为（a，-）．
由于顶点坐标满足y=-x2，所以-=-a2，
故a=±，又2a+b=a2-=0，所以b=-2a，
所以a=，b=-3；或a=-，b=3．
24．80
25．y=2x2-8x+16．当x=2时，内接正方形的面积最小．
26．y=-x2+ HYPERLINK "http://" x+1
27．（1）450千克，6 750元；
（2）y=-10x2+1 400x-40 000；
（3）销售单价定为70元时，获得的利润最多是9 000元． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
30、(1)由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即.
∴y=8-2x(0D
C
B
F
E
A
内容解读
二次函数的概念。
二次函数的图像及性质。
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系。
二次函数的应用
能力解读
会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。
会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴。
会根据抛物线确定a、b、c的符号。
4.会用配方法把抛物线的解析式化为 的形式。
5.能利用二次函数解决简单的实际问题。
趋势方法
命题趋势
考察二次此函数的图像与性质，通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义，能用数形结合，归纳等数学思想，根据二次函数的表达式{图像}确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，待定系数法求函数解析式。从图像反映的函数性质，求解析式中字母的取值范围等。
2011年，多个省市设计了以点、线、图形运动为基础的开放性探究题，有的在图形变化过程中，探索两个变量之间的关系，并能根据实际情况确定自变量的取值范围，进而探求符合条件的图形的性质或点的坐标。也有的让学生通过迁移探索在新的条件下结论是否仍然成立，展示信息中变与不变的辩证关系。
2012年可能延续2011年命题方向，继续在二次函数的应用性、探究性方面进行探索。
突破方法
正确理解和掌握二次函数的概念、图像、性质。
利用数形结合思想，借助函数图像及性质，形象直观的解决有关不等式最大（小）值、方程的解及图形位置关系等问题。
利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题。
知识清单
常考点清单
1.形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数）的函数，当a≠0时是二次函数；当a ，b≠时是一次函数。
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像是对称轴平行于y轴(或重合)的一条抛物线；对称轴是x= ，顶点坐标是（，）。
3.当a＞0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)开口向上，当x=时，函数的最小值是 ；在对称轴左侧，y随 x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而 。
当a＜0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)开口向下，当x=时，函数的最大值是 ；在对称轴左侧，y随 x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 。
4.抛物线 可有 的图像平移而得到。
5. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根 。
6. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个公共点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。
7. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根。
2011年中考题组
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果y=（m-2）x是关于x的二次函数，则m=（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．m不存在
2．对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．y=x2-7x-5与y轴的交点坐标为（ ）
A．-5 B．（0，-5） C．（-5，0） D．（0，-20）
4．下列函数一定是关于x的二次函数的是（ ）
A．y=ax+bx+c B．y=x+bx+c
C．y=（a2+a）x2+bx+c D．y=（a2-a）x2+bx+c
5．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D．圆的周长与半径之间的关系
6．二次函数y=x2-2x-1的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．抛物线y=x2-x-6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（-2，0） C．（-6，0），（1，0） D．（3，0），（-2，0）
8．已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
9．下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（-1，0）
10．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．y= HYPERLINK "http://" +1
11、设抛物线y=x2+8x-k的顶点在x轴上，则k的值为（ ）
A -16 B 16 C -8 D 8
12、下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A y=-3x B y=4x C D y=-x2
二、填空题（每小题3分，共30分） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
13．抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________．
14．二次函数y=ax2-bx+c的图象如图1所示，则a，b，c与零的大小关系为a____0，b_____0，c_____0．
( http: / / )
(1) (2)
15．若抛物线y=（m-1）x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_____．
16．已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a=______．
17．二次函数y=x2+2的图象开口_______，对称轴是______，顶点坐标是_______．
18．如图2,用长60米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设_______为x米，也可以选择_______为x米，相应地面积S的解析式为_____或______．
19．抛物线y=x2+2x+4的图象可以看作是将y=x的图象经过_________平移得到的．
20．使函数y=x2-3x+2的值为零的x的值为_______．
21．函数y=2-3x2的图象，开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是_________．
22．无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+2mx+m上的点是________．
三、解答下列各题（每题8分，共40分） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
23．已知抛物线y=x2-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，并且此抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x2，求a、b的值．
24．已知：如图所示，在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．
25．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB边上的一动点，（E与A，B点不重合），设AE=x，以E为顶点的内接正方形的面积为y，求y与x的函数关系式，当x为何值时，内接正方形的面积最小？
26．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请求出这个二次函数的关系式．
( http: / / )
27．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式．
（3）销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
28、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达
29、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；
30、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE.
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.
(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.
标准答案
1．A 解析：令m2-m=2，解得m=2或m=-1，而m=2不合适，舍去．
2．D
3．B 解析：令x=0，求出y的值为-5．
4．B 5．C
6．D 解析：将二次函数进行配方为y=（x-1）2-2，顶点坐标为（1，-2）．
7．D 解析：令y=0，求出x的值为-2与3，故交点坐标为（3，0），（-2，0）．
8．C 9．D
10．A 解析：紧扣定义中的形式，B为一次函数，C为反比例函数，D虽是函数，但不是二次函数．11、A 12、A
13．（，-） x= 解析：将y=2x-6x-1配方为y=2（x- HYPERLINK "http://" ）2-．
14．> < < 15． 16．1， 17．向上 y轴 （0，2）
18．AB BC S=-2x2+60x或S=-x2+30x
19．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
20．1，2 21．向下 y轴 （0，2）
22．（，） 解：将y=x2+2mx+m进行整理得到y=x2+（2x+1）m，为使不受m的限制， 令2x+1=0，得出x=-，从而y=．
23．解：由题意知，抛物线的对称轴为x= HYPERLINK "http://" =a，
抛物线与x轴交点的横坐标为a-，a+．
抛物线的解析式也可以写成y=[x-（a-）][x-（a+）]=x2-2ax+a2-，
所以a2-=2a+b，令x=a，则y=- HYPERLINK "http://" ，所以顶点坐标为（a，-）．
由于顶点坐标满足y=-x2，所以-=-a2，
故a=±，又2a+b=a2-=0，所以b=-2a，
所以a=，b=-3；或a=-，b=3．
24．80
25．y=2x2-8x+16．当x=2时，内接正方形的面积最小．
26．y=-x2+ HYPERLINK "http://" x+1
27．（1）450千克，6 750元；
（2）y=-10x2+1 400x-40 000；
（3）销售单价定为70元时，获得的利润最多是9 000元． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
30、(1)由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即.
∴y=8-2x(0
C
B
F
E
A