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20.2
数据的波动程度（第1课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?东安县期末）学校九年级举办了一次数学测试，为了评价甲乙两班学生的测试成绩，经计算他们的方差分别是：，，则下列说法正确的是
A．甲班比乙班的成绩更稳定
B．乙班比甲班的成绩更稳定
C．甲班跟乙班的成绩同样稳定
D．无法确定哪班成绩稳定
2．（2021?越秀区一模）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环），6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
3．（2020秋?高邮市期末）两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
4．（2021?砀山县一模）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
学生
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
8
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（
）
A．1.5
B．2
C．3
D．6
5．（2020秋?淮安期末）下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3
B．36，4
C．35，3
D．35，2
6．（2020秋?丹东期末）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示，若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
88
90
方差
3.5
3.5
4
4.2
A．甲组
B．乙组
C．丙组
D．丁组
二、填空题
7．（2021?苏州一模）学校足球队5名队员的年龄分别是15，13，15，14，13，其方差为
．
8．（2020秋?兴庆区校级期末）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：
甲队：7，8，9，6，10
乙队：10，9，5，8，8
已知甲队成绩的方差为，则成绩波动较大的是
队．
9．（2020秋?邗江区期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：是：178，180，183，184，190．现用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的方差的变化情况
．（填变大、变小或不变）
10．（2020秋?招远市期末）若一组数据，，，的平均数为10，方差为1，则另一组数据，，，的方差是
．
三、解答题
11．（2021春?诸暨市月考）某射击队计划从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，成绩如下（单位：环）
甲10，8，9，8，10，9
乙10，7，10，10，9，8
你认为推荐谁参加比赛合适，请说明理由．
12．（2020秋?章丘区期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分（分
中位数（分
众数（分
方差（分
初中部
85
高中部
85
100
160
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
13．（2021?绿园区一模）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析，，，，，下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
580
八年级
50
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，，的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
20.2
数据的波动程度（第1课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?东安县期末）学校九年级举办了一次数学测试，为了评价甲乙两班学生的测试成绩，经计算他们的方差分别是：，，则下列说法正确的是
A．甲班比乙班的成绩更稳定
B．乙班比甲班的成绩更稳定
C．甲班跟乙班的成绩同样稳定
D．无法确定哪班成绩稳定
【解析】解：∵，，
∴，
乙班比甲班的成绩更稳定，
故选：．
2．（2021?越秀区一模）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环），6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
【解析】解：、出现了3次，出现的次数最多，
该组成绩的众数是6环，
故本选项正确；
、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
、该组成绩的平均数是：（环，故本选项正确；
、该组成绩数据的方差是，故本选项错误；
故选：．
3．（2020秋?高邮市期末）两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
【解析】解：由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，
所以今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，
又因为学生的年龄波动幅度没有变化，
所以今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为3，
故选：．
4．（2021?砀山县一模）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
学生
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
8
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（
）
A．1.5
B．2
C．3
D．6
【解析】解：这组数据的平均数为6，
模糊不清的数是：，
则这组数据的方差为；
故选：．
5．（2020秋?淮安期末）下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3
B．36，4
C．35，3
D．35，2
【解析】解：平均成绩为37分，
第一个被遮盖的数据为（分，
第二个被遮盖的数据为．
故选：．
6．（2020秋?丹东期末）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示，若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
88
90
方差
3.5
3.5
4
4.2
A．甲组
B．乙组
C．丙组
D．丁组
【解析】解：由图表可知，
乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
由于，
故丁的方差大，波动大，
则要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选乙组；
故选：．
二、填空题
7．（2021?苏州一模）学校足球队5名队员的年龄分别是15，13，15，14，13，其方差为 0.8 ．
【解析】解：5名队员的平均年龄为，
所以数据的方差为．
故答案为0.8．
8．（2020秋?兴庆区校级期末）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：
甲队：7，8，9，6，10
乙队：10，9，5，8，8
已知甲队成绩的方差为，则成绩波动较大的是 乙 队．
【解析】解：乙队的平均成绩为（分，
其方差．
，即，
乙队成绩波动较大．
故答案为：乙．
9．（2020秋?邗江区期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：是：178，180，183，184，190．现用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的方差的变化情况 变小 ．（填变大、变小或不变）
【解析】解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小．
故答案为：变小．
10．（2020秋?招远市期末）若一组数据，，，的平均数为10，方差为1，则另一组数据，，，的方差是 9 ．
【解析】解：数据，，，的平均数为10，
数据，，，的平均数为，
数据，，，的方差为1，
数据，，，的方差是；
故答案为：9．
三、解答题
11．（2021春?诸暨市月考）某射击队计划从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，成绩如下（单位：环）
甲10，8，9，8，10，9
乙10，7，10，10，9，8
你认为推荐谁参加比赛合适，请说明理由．
【解析】解：推荐甲参加比赛更加合适，理由如下：
（环，（环，
，
，
，
甲的成绩更加稳定，
故推荐甲参加比赛更加合适．
12．（2020秋?章丘区期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分（分
中位数（分
众数（分
方差（分
初中部
85
高中部
85
100
160
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【解析】解：（1）初中5名选手的平均分，众数，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3），
，
初中代表队选手成绩比较稳定．
13．（2021?绿园区一模）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析，，，，，下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
580
八年级
50
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，，的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
【解析】解：（1），即，
、时间段的人数为（人、时间段人数为4人，
七年级中位数，
八年级劳动时间的众数；
（2）八年级参加课外劳动的情况较好，
理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定（答案不唯一）；
（3）该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为（人．
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精品试卷·第
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人教版
八年级数学下册
20.2
数据的波动程度（第1课时）
1.理解方差的意义，学会如何刻画一组数据波动的大小.
2.理解方差的计算公式，并会用它来比较两组数据的波动大小解决一些实际问题.(重点、难点)
3.探索方差产生的过程，发展合情推理的能力.
学习目标
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
7
8
10
乙命中环数
10
6
10
6
8
问题：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
⑴
请分别计算两名射手的平均成绩；
=8（环）
=8（环）
甲
x
乙
x
新课导入
思考：甲，乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
7
8
10
乙命中环数
10
6
10
6
8
⑴
请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵
请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图；
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
7
8
10
乙命中环数
10
6
10
6
8
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
成绩（环）
射击次序
表1：
x甲=＿＿
甲
7
8
7
8
10
(7－x甲)+(8－x甲)+…
+(9－x甲)=＿＿＿
x乙=＿＿
8
8
-1
0
-1
0
2
0
乙
10
6
10
6
8
(10－x乙)+(6－x乙)+…
+(8－x乙)=＿＿＿
2
-2
2
-2
0
0
(xi－x)=
(xi－x)=
比较这两组数据波动的大小
甲
7
9
6
7
6
5
9
9
7
5
乙
9
6
7
8
9
6
8
5
5
7
甲组数据与平均数差的绝对值之和：
乙组数据与平均数差的绝对值之和：
x甲=7
x乙=7
︱7-7︱+︱9-7︱+︱6-7︱+
…
+︱7-7︱+︱5-7︱=
︱9-7︱+︱6-7︱+︱7-7︱+
…
+︱5-7︱+︱7-7︱=
12
12
表2：
x甲=＿＿
甲
7
8
7
8
10
(7－x甲)
+
(8－x甲)
+…
+
(10－x甲)
=＿＿
x乙=＿＿
8
8
-1
0
-1
0
2
6
乙
10
6
10
6
8
(10－x乙)+(6－x乙)+…
+(8－x乙)=＿＿＿
2
-2
2
-2
0
16
2
2
2
2
2
2
(xi－x)=
(xi－x)=
上述各差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
进一步用各差平方和的平均数来衡量数据的稳定性
想一想
s2=
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
＋…＋
(xn－x)2
]
1
n
各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据偏离平均数的大小)
n表示样本容量；
x表示样本平均数
方差
1
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
方差越小,说明数据的波动越小,越稳定.
知识讲解
例1:在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团表演了舞剧《天鹅湖》,
参加表演的女演员的身高(单位:cm)分别是
甲团
163
164
164
165
165
165
166
167
乙团
163
164
164
165
166
167
167
168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?
例题分析
解：甲乙两团女演员的平均身高分别是：
，
所以，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
因为
1.
甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：
甲、乙的平均数均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，
下列说法中不正确的是
（
）
A、甲、乙射中的总环数相同
B、甲的成绩较稳定
C、乙的成绩较稳定
D、乙的成绩波动较大
2.
在样本方差的计算公式
数字10
表示
，数字20表示
.
3.
样本5、6、7、8、9的方差是
.
C
2
样本平均数
样本容量
当堂训练
观察和探究
（1）观察下列各组数据并填空
A.
1、2、3、4、5
B.
11、12、13、14、15
C.
10、20、30、40、50
D.
3
、5、7、9、11
（2）分别比较
A与
B
、
A与C、
A与D的计算结果，你能发现什么规律？
=
=
=
=
=
=
=
=
3
2
13
2
30
200
7
8
方差的性质
2
知识讲解
1.
如果一组数据x1
,
x2
,
x3
,
…
…
,
xn的平均数是x，方差是s2，
那么，
x
1±a,
x
2±a
…
…
xn±a,
的平均数是x
±a,
方差是s2；
2.
如果一组数据x1
,
x2
,
x3
,
…
…
,
xn的平均数是x
，方差是s2，
那么，bx1,
bx2
…
…
bx
n,
的平均数是bx,
方差是b2s2
归纳
请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为x，方差为y,
则
①数据a1+3，a2
+
3，a3
+3
，…，an
+3的平均数为--------，方差为-------；
②数据a1-3，a2
-3，a3
-3
，…，an
-3的平均数为
----------，方差为--------；
③数据3a1，3a2
，3a3
，…，3an的平均数为-----------，方差为----------.
④数据2a1-3，2a2
-3，2a3
-3
，…，2an
-3的平均数为
----------，方差为---------.
x+3
y
x-3
y
3x
9y
2x-3
4y
当堂训练
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差下：
，
,
，则成绩较为稳定的班级是（
）
A.甲班
B.乙班
C.两班成绩一样稳定
D.无法确定
B
2.有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（
）
A.10
B.
C.2
D.
C
巩固提高
3.某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况
如下表：
下列三个命题：
（1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩；
（2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；
（3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数.（跳绳次数≥150次为优秀）
其中正确的命题是
.（只填序号）
4.甲、乙两个组各10名同学进行英语口语会话测试，每个人测试5次，每个同学合格的次数分别如下：
甲组：4、1、2、2、1、3、3、1、2、1
乙组：4、3、0、2、1、3、3、0、1、3
（1）如果合格3次以上（含3次）为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高；
（2）请你比较两个小组口语会话的合格次数谁比较稳定.
巩固提高
方差
意义（判断数据的波动程度）：
方差越大（小），数据的波动越大（小）
公式：
性质：若数据x1、x2、…、xn的平均数为
a
,方差为s2，则
数据x1±b、x2±b、…、xn±b
的平均数为
,
方差为
s2.
a±b
数据bx1、bx2、…、bxn的平均数为
,
方差为
b2s2.
ab
课堂小结
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