第7章 平面图形认识（二） 全章复习提优 2020—2021学年苏科版数学七年级下册（Word版 含答案）

平面图形认识（二）
全章复习提优
下列命题中，不正确的是(
).
A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行
D.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
图中有四条互相不平行的直线、、、所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列说法正确的是(
).
A.
B.
C.
D.
如图，，，若，则(
).
A.
B.
C.
D.
若多边形的边数增加，则(
).
A.其内角和增加
B.其内角和为
C.其内角和不变
D.其外角和减少
三角形的三条高所在直线的交点(
).
A.一定在三角形的内部
B.一定在三角形的外部
C.一定在三角形的顶点
D.都有可能
若一个三角形的个内角度数之比为，则与之对应的个外角的度数之比为(
).
A.
B.
C.
D.
如图，，平分，，则等于(
).
A.
B.
C.
D.
如图，六边形的六个内角都相等，若，，，则这个六边形的周长等于.
A.
15
B.
14
C.
17
D.
18
9.
如图，若，则、、三者之间的关系是(
).
A.
B.
C.
D.
10.
如图，
，，，则图中与互余的角有(
).
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
11.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是
.
12.在△ABC中，已知点、、分别是边、、上的中点，且，则的值为
.
13.在△ABC中，，，则
，
.
14.如图，直线，Rt△ABC的直角顶点在直线上，，则
.
15.如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为
.
16.如图，△ABC中，、，点在上，.将线段沿着的方向平移得到线段，点、分别落在边、上，则△EBF的周长为
.
17.如图所示，
.
18.教材在探索多边形的内角和为时，都是将多边形转化为
去探索的.从边形的一个顶点出发，画出
条对角线，这些对角线把边形分成
个三角形，分成的三角形内角的总和与多边形的内角和
.
19.如图，，，，求的度数.
解:过点作,
.(
)
(已知)，
(所作)，
.(
)
.
.
20、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是
。
答案：
1.
C
2.
C
3.
B
4.
A
5.
D
6.
B
7.
A
8.
A
9.
B
10.
C
11.
150米
12.
1cm2
13.
15°
135°
14.
70°
15.
1800°
16.
13°
17.
180°
18.
三角形
相等
19.
两直线平行，内错角相等
平行于同一直线的两直线平行
20.平行
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、平行
一、平行：
1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2、平行线的定义包含三层意思：
①“在同一平面内”是前提条件；
②“不相交”是指两条直线没有交点；
③平行线指的是”两条直线”，而不是两条射线或两条线段.
3、平行公理：经过一条直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行.
4、推论：（平行线的传递性）：设a、b、c是三条直线，如果a//b，b//c，那么a//c.
二、三线八角：
两条直线AB、CD与直线EF相交，交点分别为E、F，如图，则称直线AB、CD被直线EF所截，直线EF为截线.两条直线AB、CD被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”.
（一）、这八个角中有：
1、对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.
2、邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠6，
∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5.
（二）、同位角，内错角，同旁内角：
1、同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角.
如图中的∠1与∠5分别在直线AB、CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角.
2、内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角.
如上图中∠2与∠8在直线AB、CD的内侧（即AB、CD之间），且在EF的两旁，所以∠2与∠8是内错角.同理，∠3与∠5也是内错角.
3、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角.
如上图中的∠2与∠5在直线AB、CD内侧又在EF的同旁，所以∠2与∠5是同旁内角，同理，∠3与∠8也是同旁内角.
4、因此，两条直线被第三条直线所截，共得4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
三、直线平行的条件（判定）：
1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：
同位角相等，两直线平行
2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简记为：
内错角相等，两直线平行
3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简记为：
同旁内角互补，两直线平行
四、平行线的性质：
1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简记为：
两直线平行，
同位角相等
2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简记为：
两直线平行，内错角相等
3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简记为：
两直线平行，同旁内角互补
考点二、平移
一、平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。
△ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是
对应线段，∠A与∠A’是对应角.
二、平移的特征：
1、平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都
没有发生改变，并且平移不改变直线的方向.
2、平移把直线变成与它平行的直线.
3、两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合
三、平移作图：
确定一个图形平移后的位置所需条件为：
1、图形原来的位置
2、平移的方向
3、平移的距离
四、两直线之间的距离：
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离。
考点三、三角形
三角形的定义：
1、由不在同一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2、三角形有三条边、三个顶点和三个内角.
记作：△ABC
三角形的顶点：A、B、C
三角形的内角:∠A、∠B、∠C
三角形的边：AB、AC、BC
二、三角形分类：
（一）、分类：
1、三角形按边分类：
注：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类.
2、三角形按角分类：
（1）三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.
（2）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.
在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC、BC叫做直角三角形的直角边，AB叫做直角
三角形的斜边.
用“Rt”表示直角，直角三角形ABC可表示为：Rt△ABC.
直角三角形的两个锐角互余.即∠A＋∠B＝90°.
（3）有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
三、三边关系：
1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;
（判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段.）
四、三角形的性质：
三角形具有稳定性
五、三角形的三线
三角形的角平分线、中线和高：如图，点D、E、F都在AB上.
（一）、角平分线：
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线.
若∠ACE=∠ECB=∠ACB（即CE平分∠ACB），则CE是△ABC的角平分线.
（二）、高：
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
2、若CF⊥AB（即∠AFC＝∠BFC＝90°），则CF是△ABC的高.
（三）、中线：
1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
2、若AD=BD=AB（即D是AB的中点）时，则CD是△ABC的中线.
（四）、注：
①三角形有三条角平分线，三条中线，三条高线（它们都是线段）
②三角形三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，但高不一定(钝角三角形有两条在外部，直角三角形时有两条恰好是两条直角边).
③三角形三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条中线所在的直线交于一点.
（2）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做这个等腰三角形的腰；把三边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）.
三角形的中线
三条中线交于三角形内一点
三角形的角平分线
三条角平分线交于三角形内一点
三角形的高
锐角三角形的三条高交于三角形内一点；
直角三角形的三条高交于边上（直角顶点）；
钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外一点
二、三角形的内角和定理：
1、三角形的内角：
①三角形的三个内角的和等于180°.②推论：直角三角形的两个锐角互余.
2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.图中的∠CBD称为△ABC的一个外角
注意：
①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角
②
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③
三角形的外角和等于360°.
4、多边形的外角：
（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
（2）任意多边形的外角和等于360°.
多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°
1．（1）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（
D
）
???
A．20??
?
B．24
???????
C．25??
???
D．26
（2）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
①将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
②将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数
③将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．
④将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过　　　　　　秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）
【考点】平行线的判定；角的计算；垂线．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）求出MN⊥OD，然后根据同位角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
（4）求出旋转的角度差，再根据时间=旋转角差÷速度差计算即可得解．
【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°﹣∠DOM=5∠DOM，
∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°，
∴MN⊥OD，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，
或270°﹣（60°﹣45°）=255°，
所以，t=75°÷5°=15秒，
或t=255°÷5°=51秒；
所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，
所以90°÷（20°﹣10°）=9秒，
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观
（1）如图，长方形ABCD中，AB=6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），则ABn长为　　　　　　．
【考点】平移的性质．
【专题】规律型．
【分析】每次平移5个单位，n次平移5n个单位，加上AB的长即为ABn的长．
【解答】解：每次平移5个单位，n次平移5n个单位，即BN的长为5n，加上AB的长即为ABn的长．
ABn=5n+AB=5n+6，
故答案为：5n+6．
【点评】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
（2）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；
图中AC与A1C1的关系是：　
　；
画出△ABC中AB边上的中线CD；
△ACD的面积为　
　．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）AC与A1C1的关系是：平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示：CD即为所求；
（4）△ACD的面积为：×5×7﹣×3×1﹣4﹣×4×4=4．
故答案为：4．
类型二、平行性质与判定
2.
如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．
解：（1）∵OM∥CN，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣108°=72°，
∠ABC=180°﹣∠OAB=180°﹣108°=72°，
又∵∠BAM=∠180°﹣∠OAB=180°﹣108°=72°，∴与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM；
（2）∵OM∥CN，∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，
∵OB平分∠AOF，∴∠AOF=2∠AOB，∴∠OFC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=；
（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，
在△AOB中，∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠ABO=180°﹣x﹣108°=72°﹣x，
在△OCE中，∠COE=180°﹣∠C﹣∠OEC=180°﹣108°﹣2x=72°﹣2x，
∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°，
∴72°﹣x+72°﹣2x=36°，
解得x=36°，即∠OBA=36°，
此时，∠OEC=2×36°=72°，
∠COE=72°﹣2×36°=0°，
点C、E重合，所以，不存在．
（1）如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数（　C　）
A．104°
B．106°
C．108°
D．110°
(2)
如图1，MA?1?∥NA?2?，则∠A?1?+∠A?2?=_________
度．
如图2，MA?1?∥NA?3?，则∠A?1?+∠A?2?+∠A?3?=_________
度．
如图3，MA?1?∥NA?4?，则∠A?1?+∠A?2?+∠A?3?+∠A?4?=_________
度．
如图4，MA?1?∥NA?5?，则∠A?1?+∠A?2?+∠A?3?+∠A?4?+∠A?5?=_________
度．
如图5，MA?1?∥NA?n?，则∠A?1?+∠A?2?+∠A?3?+…+∠A?n?=_________
度．
(2)
如图,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E=80?，求∠BFD的度数.
解答：（1）
180；
360；
540；720；180（n-1）（2）140°
类型三、综合运用
3.1、如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　7　个五边形．
【考点】正多边形和圆．
【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，∵正五边形的外角等于360°÷5=72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°=36°，∴360°÷36°=10，
∴排成圆环需要10个正五边形，故
排成圆环还需
7个五边形．故答案为：7．
2、如图①，的角平分线BD、CE相交于点P.
（1）如果，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作外角的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系。
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数
解：（1）∵∠A=80°．∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×100°=130°，
（2）∠Q=90°-∠A分
（3）∠A=60°、120°、45°、135°
如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°；
（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　　秒时，边MN恰好与边CD平行；在第　　秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
解答：(1)
(2)2.5或8.5　秒；第　5.5或11.5　秒
　4.
实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=　
　°，∠3=　
　°．
（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=　
　°；若∠1=40°，则∠3=　
　°．
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=　
　°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？
解：（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6，又∵∠1=38°，∴∠5=38°，
∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°，
∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；
（2）由（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，∠3的度数都是90°；
（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，
又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，
∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5），
=360°﹣2∠5﹣2∠6，
=360°﹣2（∠5+∠6），
=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．故答案为：76°，90°90°，90°90°．
实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
如图1,一束光线m射到平面镜a上,被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2.
⑴如图2,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2=___
__°,∠3=___
__°.
⑵在(1)中m∥n，若∠1=55°,则∠3=___
___°;若∠1=40°,则∠3=___
___°.
⑶由⑴、⑵,请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=__
_°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
⑷如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°
（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案.____
_____
___________
解答：(1)__100
_°,__90
__°.
(2)__90
___°;_90__
___°.(3)
90
__°理由略。(4)
5.学行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠．
（1）在图②的折叠过程中，若∠1=130°，则∠2的度数是　
　．
（2）如图③，在长方形ABCD中，QP、MN为图②折叠过程中产生的折痕．QP与MN平行吗？请说明理由．
（3）若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕QN′、MP′有何位置关系？请说明理由．
解：（1）如图2，
∵∠1=130°，
∴∠3+∠4=180°﹣∠1=50°
由折叠知，∠3=∠4，
∴2∠4=50°，
∴∠4=25°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠4=25°，
故答案为25°；
（2）PQ∥MN，理由：如图3
连接PN，由折叠知，∠4=∠5，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∴PN=PM，
同理：PN=QN，
∴PM=QN，
∵PM∥QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN；
（3）QN'∥P'M，理由：如图5，
连接PN，由折叠知，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
∴P'M∥NP，
同理：QN'∥NP，
∴QN'∥P'M．
概念学习
已知?ABC中，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在?PAB、?PBC和?PAC中，如果存在一个三角形，其内角与?ABC的三个内角分别相等，那么久称点P为?ABC的等角点。
如图①，∠PBC＝∠BAC，∠PCB＝∠ABC，可以得出点P为?ABC的等角点。
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应括号内写“真”，反之，则写“假”。
①内角分别为30?、60?、90?的三角形存在等角点；（
）
②任意三角形都存在等角点。（
）
（2）探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由。
①
解决问题
如图②，在?ABC中，∠A＜∠B＜∠C。若?ABC的三个内角的角平分线的交点是P，该三角形的等角点，求该三角形三个内角的度数。
②
分析?（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；
（2）根据△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；
（3）先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．
解答?解：（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真，假；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP；
（3）如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，∠ACB=∠BPC=4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，．
点评?本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为180°，得出角的关系式并进行求解．
6（1）如图1，在△ABC中，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，若∠A＝60°，∠DBC+∠ECB＝　
　°；
（2）如图2，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A+∠D有怎样的数量关系？为什么？
（4）如图4，在五边形ABCDE中，BP、CP分别平分外角∠NBC、∠MCB，∠P与∠A+∠D+∠E有怎样的数量关系？直接写出答案　
　．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据外角的性质计算；
（2）根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，根据三角形内角和定理计算；
（3）根据四边形内角和等于360°计算；
（4）根据五边形的内角和等于540°、三角形的外角的性质、角平分线的定义计算．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣120°＝240°，
故答案为：240；
（2）∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB＝90°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣∠A；
（3）∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣∠A﹣∠D，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝∠A+∠D，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠D），
∴∠P＝180°﹣（∠A+∠D）；
（4）五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠ABC+∠ACB＝540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D）＝∠A+∠E+∠D﹣180°，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠E+∠D﹣180°），
∠P＝180°﹣（∠A+∠E+∠D﹣180°）＝270°﹣（∠A+∠E+∠D）
故答案为：270°﹣（∠A+∠E+∠D）．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线的定义、三角形内角和定理、多边形的内角和的计算，掌握角平分线的定义、多边形的内角和公式是解题的关键．
把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形。如图（1），四边形ABCD中，作BC的延长线CM，则边AB、CD分别在直线BM的两侧，所以四边形ABCD就是一个凹四边形，我们来简单研究凹四边形的边和角的性质。
（图①）
（图②）
（1）请你画一个凹五边形；
（2）如图②，在凹六边形ABCDEF中，探索∠A、∠B、∠D、∠E、∠F之间的关系；
（3）如图①，在凹四边形ABCD中，证明AB＋AD＞BC＋CD.
分析?（1）直接利用凹五边形的定义分析得出答案；
（2）根据题意结合凸多边形的性质得出540°-（180°-∠BCD）=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F，进而得出答案；
（3）利用三角形三边关系，再结合不等式的性质进而得出答案．
解答?解：（1）如图1所示：即为凹五边形
；
（2）如图2，
连接BD，
由多边形内角和定理可得：五边形ABDEF的内角和为：540°，△BCD的内角和为：180°，
故540°-（180°-∠BCD）=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F，
则360°+∠BCD=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F；
（3）如图3，
设DA与直线BC的交点为E，
在△ABE中，BA+AE＞BE，
△CED中，EC+ED＞CD，
故AB+AE+EC+ED＞BE+CD
则AB+AD＞BC+CD．
点评?此题主要考查了四边形综合以及凸多边形的性质以及凹多边形与凸多边形的性质等知识，正确将凹多边形与凸多边形的关系是解题关键．
一、选择题
1.如图所示是“福娃欢欢”的五幅图案，②，③，④，⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到（?
）
A.?②?????????????????????????????????????????B.?③?????????????????????????????????????????C.?④?????????????????????????????????????????D.?⑤
2.在平移过程中，对应线段（　　）
A.?互相垂直且相等???????????????B.?互相平行且相等???????????????C.?相互平行一相等???????????????D.?相等但不平行
3.小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（　　）
A.?3cm????????????????????????????????????B.?4cm????????????????????????????????????C.?9cm????????????????????????????????????D.?10cm
4.如图，∠1=100°，要使a∥b，必须具备的另一个条件是（??
）
A.?∠2=100°????????????????????????????B.?∠3=80°????????????????????????????C.?∠3=100°????????????????????????????D.?∠4=80°
5.下列关于三角形的说法错误的是（??
）
A.?三边高线的交点一定在三角形内部??????????????????????B.?三条中线的交点在三角形内部
C.?三条平分线的交点在三角形内部?????????????????????????D.?以上说法均正确
6.
如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，若∠BNE=30°，则∠EMG等于（　　）
A.?15°?????????????????????????????????????B.?30°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?150°
7.如图所示，若a∥b，∠1=120°，则∠2=（??
）
A.?55°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?65°???????????????????????????????????????D.?75°
8.能够将一个三角形的面积平分的线段是（??
）
A.?一边上的高线?????????????B.?一个内角的角平分线?????????????C.?一边上的中线?????????????D.?一边上的中垂线
9.如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是（??
）
A.?∠B=∠DCE????????????????????????B.?∠3=∠4????????????????????????C.?∠1=∠2????????????????????????D.?∠D+∠DAB=180°
10.如图，a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线a上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）
A.?30°????????????????????????????????????????B.?40°??????????????????????????????????????C.?50°??????????????????????????????????????D.?60°
11.如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的内错角是（　　）
A.?∠2???????????????????????????????????????B.?∠3????????????????????????????????????????C.?∠4????????????????????????????????????????D.?∠5
12.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=15°，那么∠2的度数是（??
）
A.?15°???????????????????????????????????????B.?25°???????????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????????D.?35°
二、填空题
13.如图两线段l1
，
l2被直线l3所截，图中同位角的对数与内错角的对数的和是________?．
14.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是________．
15.已知△ABC的两条边的长度分别为3cm，6cm，若△ABC的周长为偶数，则第三条边的长度是________?cm．
16.完成下面推理过程．
如图：在四边形ABCD中，∠A=106°﹣α，∠ABC=74°+α，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1=∠2
证明：∵∠A=106°﹣α，∠ABC=74°+α（已知）
∴∠A+∠ABC=180°
∴AD∥________???（________）
∴∠1=________????（________）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF=∠EFC=90°（________）
∴BD∥________???（________）
∴∠2=________????（________）
∴∠1=∠2（________）
17.如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________?
18.如图，AB与CD相交于点O，∠A=∠AOC，∠B=∠BOD．
求证：∠C=∠D．
证明：∵∠A=∠AOC，∠B=∠BOD（已知）
又∠AOC=∠BOD（________）
∴∠A=∠B（________）
∴AC∥BD（________）
∴∠C=∠D（________）
19.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是________?
20.如图所示，将△ABC沿直线BC方向平移3个单位得到△DEF，若BC=5，则CF=________．
21.如图，直线a、b与直线c相交，且a∥b，∠α=55°，则∠β=________．
22.如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B=________．
三、解答题
23.图中的∠1与∠C、∠2与∠B、∠3与∠C，各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的同位角？
24.如图（1）将△ABD平移，使D沿BD延长线移至C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC．
（1）猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由．
（2）如图将△ABD平移至如图（2）所示，得到△A′B′D′，请问：A′D平分∠B′A′C吗？为什么？
25.如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E=　
　°；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．
　
26、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)平行于，如图(1)，点在、外部时，由，有，又因为是的外角，故，得.如图(2)，将点移到、内部，以上结论是否成立?若不成立，则、、之间有何数量关系?请证明你的结论;
(2)在图(2)中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图(3)，则、、、之间有何数量关系?(不需证明)
(3)根据(2)的结论求图(4)中的度数.
27、Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　140°　；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？说明理由．
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD）如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
参考答案
一、选择题
D
B
C
C
A
A
B
C
B
B
B
C
二、填空题
13.
6
14.
60°
15.
5或7
16.
BC；同旁内角互补，两直线平行；∠DBC；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；EF；同位角相等，两直线平行；∠DBC；两直线平行，同位角相等；等量代换
17.
15°
18.
对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
19.
75°
20.
3
21.
125
22.
36°
三、解答题
23.
∠1与∠C是直线DE、BC被直线AC所截形成的同位角，∠2与∠B是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，∠3与∠C是直线DF、AC被直线BC所截形成的同位角．
24.
解：（1）∠B′EC=2∠A′，
理由：∵将△ABD平移，使D沿BD延长线移至C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠A′，AB∥A′B′，
∴∠BAC=∠B′EC，
∴∠BAD=∠A′=∠BAC=∠B′EC，
即∠B′EC=2∠A′；
（2）A′D′平分∠B′A′C，
理由：∵将△ABD平移至如图（2）所示，得到△A′B′D′，
∴∠B′A′D′=∠BAD，AB∥A′B′，
∴∠BAC=∠B′A′C，
∵∠BAD=∠BAC，
∴∠B′A′D′=∠B′A′C，
∴A′D′平分∠B′A′C．
25.
解：（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
设∠CAF=x，∠ACE=y，
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∴2y+180﹣2x=90，
x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，
故答案为：45；
（2）①如图2所示，
②如图2，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+y
①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=②，
把②代入①得：45°+=∠F+y，
∴∠F=67.5°，
即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°，[]
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，
∴45+α=67.4+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n，
解得：m=2，n=﹣3．
　
26、29.
（1）不成立，结论是。理由如下：
延长交于点
又
（2）结论：
（3）由（2）的结论，得
又，
27、【解答】解：（1）如图（1），连接PC，
由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案为：140°；
（2）∠1+∠2=90°+∠α；理由如下：
连接PC，如图（2），
由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，[]
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
（3）∠2﹣∠1=90°+∠α或∠2﹣∠1=90°﹣α．理由如下：
分情况讨论：
①如图（3），由三角形的外角性质得：∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
②当P点运动至ED的延长线时，E，
D，P三点共线，
此时∠DPE=0°，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
③当P点继续向右运动，此时EP在DP上方，
则∠2﹣90°=∠1﹣α，
∴∠2﹣∠1=90°﹣α；
综上所述：∠α、∠1、∠2之间的关系为∠2﹣∠1=90°+∠α或∠2﹣∠1=90°﹣α．