第7章《平面图形的认识(二)》解答题专项练习（二） 七年级数学苏科版下册（Word版含答案）

七年级数学苏科版下册第7章《平面图形的认识(二)》
解答题专项提升练习（二）
1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠E＝∠F，CE∥DF，求证：∠A＝∠1．
2．已知，点Q、A、D均在直线l1上，点B、C均在直线l2上，且l1∥l2，点E是BA延长上一点．
（1）如图1，CD∥AB，CE与AD相交于点F，AC与BF相交于点O，∠1＝∠2，求证∠3＝∠4；
（2）在（1）的条件下，若BF平分∠ABC，试直接写出∠CFB与∠ACF的数量关系为　
　；
（3）如图2，点N是∠QAB角平分线上一点，点M在射线BC上，若∠NMC与∠ABC满足2∠NMC﹣∠ABC＝180°的数量关系，请判断直线MN与直线AN的位置关系，并说明理由．
3．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．
4．如图，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1＝∠2．
求证：（1）AD∥GE；
（2）∠3＝∠G．
5．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°，
（1）求∠ACE的度数；
（2）若∠2＝58°，求证：CF∥AG．
6．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
7．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB与∠DFN互补．
（1）若∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
8．如图，AD⊥BE，BC⊥BE，∠A＝∠C，点C，D，E在同一条直线上．求证：AB∥CD．
9．综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为　
　．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果．
10．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求证：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
11．喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．
如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．
如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．
解决下面的问题：
（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N'的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：
如图3，PN∥QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分　
　，BM'∥R1N'，求∠BR1N'的度数．
（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．
（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°＜α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM'与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM'与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．
①第二次折叠时，∠BR2N'＝　
　（用α的式子表示）；
②第n次折叠时，∠BRnN'＝　
　（用α和n的式子表示）．
12．如图，已知点D，E分别为AB，BC上的点，连接DE，∠BAC＝70°，∠ADE＝110°．
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）画图：连接AE，过点D画DF∥AE，交BC于点F，若∠EAC＝28°，∠C＝62°，求∠DFC的度数．
13．完成推理填空．
填写推理理由：
如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝　
　，（　
　）
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴AB∥　
　，（　
　）
∴∠BAC+　
　＝180°，（　
　）
又∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
14．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．请判断△BEC的形状，并说明理由．
15．如图，已知，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E．
（1）若∠FCD＝50°，求∠1的度数；
（2）若有∠FAB的平分线AP交CE于点P，请你画出图形，并判断∠CAP与∠ACP是否为互余关系，说明理由．
参考答案
1．证明：∵CE∥DF，
∴∠F＝∠2，
∵∠E＝∠F，
∴∠E＝∠2，
∴AE∥BF，
∴∠A＝∠1．
2．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACF＝∠2+∠ACF
即：∠BCE＝∠ACD，
∵AB‖CD，
∴∠ACD＝∠4，
∴∠BCE＝∠4，
∵l1∥l2
∴∠3＝∠BCE
∴∠3＝∠4；
（2）如图，设∠ABF＝∠5，∠ACF＝∠6，∠CFB＝∠7，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠5，∠CBF＝∠5，
∵l1∥l2，
∴∠AFB＝∠CBF＝∠5，
∴∠AFC+∠BCF＝180°，即∠1+∠6+∠5+∠7＝180°①，
∵AB‖CD，l1∥l2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，∠BCD+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝2∠5，
∴∠1+∠6+∠2+2∠5＝180°，
∵∠1＝∠2，
∴2∠1+∠6+2∠5＝180°，
∴∠1+∠6+∠5＝90°②，
∴①﹣②得：∠6+∠7＝90°，
∴∠CFB与∠ACF的数量关系为∠CFB+∠ACF＝90°．
故答案为：∠CFB+∠ACF＝90°．
（3）直线MN与直线AN的位置关系为：MN⊥AN．理由如下：
过点N作NR∥l1，
∵l1∥l2，NR∥l2，
∴∠ABC＝∠QAB，∠QAN＝∠ANR，∠RNM＝∠NMB，
∵NA平分∠QAB，
∴∠QAB＝2∠QAN，
不妨设∠QAN＝x°，∠NAM＝∠NMB＝y°，
∴∠ABC＝∠QAB＝2x°，
∴y+∠NMC＝180°
①，
∵2∠NMC﹣∠ABC＝180°，
∴2∠NMC﹣2x＝180°，∠NMC﹣x＝90°
②，
①﹣②得：x+y＝90°，
∴∠ANM＝90°，
∴MN⊥AN．
3．解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，
∵AB∥CD，
∴KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K1，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，
同理得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，
则∠K＝2∠K1；
（3）如图（3），
根据（2）中的规律可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．
4．解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠BAD＝∠3，
∴AD∥GE；
（2）∵AD∥GE，
∴∠2＝∠G，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠3＝∠G．
5．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE＝32°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝32°；
（2）∵CF⊥CE，
∴∠FCE＝90°，
∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，
∵∠2＝58°，
∴∠FCH＝∠2，
∴CF∥AG．
6．（1）证明：∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
7．解：（1）证明：∵∠MEB+∠BEF＝180°，∠MEB与∠DFN互补
∴∠BEF＝∠DFN
∴AB∥CD
∴∠BEF+∠DFE＝180°
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠DFE）＝90°
∴∠EPF＝90°
即EG⊥PF
∵GH⊥EG
∴PF∥GH．
（2）∠HPQ的大小不会发生变化，利用如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
8．证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD．
9．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD＝．
（3）∠APB＝2∠ADB
理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴2∠ABC＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴2∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABN）＝×180°＝90°．
10．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠FEA＝180°，
∴∠BAD+∠FEA＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H．
11．解：（1）根据折叠的性质可得，∠MBR1＝∠M′BR1，
即，BR1平分∠ABM，
故答案为：∠ABM，
∵∠ABM＝90°，
∴∠MBR1＝∠M′BR1＝∠ABM＝45°，
在四边形M′BR1N′中，
∠M′＝∠N′＝∠M＝∠N＝90°，
∴∠BR1N′＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；
（2）α＝60°；
由折叠可得，∠PAB＝α＝60°，∠ABR1＝30°，∠R1AM″＝60°，
∴∠BAM″＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ABR1+∠BAM″＝30°+60°＝90°，
∴AM''⊥BR1；
（3）①由折叠可得∠R1BR2＝×α＝，
在四边形M′BR2N′中，
∠M′＝∠N′＝∠M＝∠N＝90°，
∴∠BR2N′＝360°﹣90°﹣90°﹣＝180°﹣；
故答案为：180°﹣；
②折叠n次可得∠RnBRn+1＝××…××α＝，
在四边形中有内角和可得，
∠BRnN'＝360°﹣90°﹣90°﹣＝180°﹣，
故答案为：180°﹣．
12．解：（1）证明：∵∠BAC＝70°，∠ADE＝110°．
∴∠BAC+∠ADE＝180°．
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠BED；
（2）如图所示，
∵DF∥AE，
∴∠AEC＝∠DFC，
△AEC中，∠EAC＝28°，∠C＝62°，
∴∠DFC＝∠AEC＝180°﹣62°﹣28°＝90°．
13．解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．
14．解：△BEC是直角三角形．
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+∠DCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD（角平分线的性质）．
∴∠CBE+∠ECB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．
∵∠CBE+∠ECB+∠BEC＝180°（三角形内角和180°），
∴∠BEC＝90°（等式性质），
∴△BEC是直角三角形．
15．解：（1）∵∠FCD＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝65°．
（2）如图，∠CAP与∠ACP互余，
理由：∵AP平分∠FAB，CE平分∠ACD，
∴∠CAP＝∠EAP＝∠BAC，∠ACP＝∠DCE＝∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAP+∠ACP＝（∠BAC+∠ACD）＝90°．