4.1圆的方程
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(共33张PPT)
4.1
圆的方程
主要内容
4.1.2 圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
4.1.1
圆的标准方程
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
定点
定长
圆心
半径
·
r
C
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径 r 的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离．
x
O
C
M(x,y)
y
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
标准方程
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程.
x
y
O
C
M(x,y)
解：设点M (x,y)为圆C上任一点，
P = { M | |MC| = r }
圆上所有点的集合
在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C:
，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2x
y
O
C
M
1.点M在圆外，|MC|>r
2.点M在圆上，|MC|=r
3.点M在圆内，|MC|例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解:
圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是
把 的坐标代入圆的方程，左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；
把点 的坐标代入方程，左右两边不相等， 点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个 圆上．
例2 的三个顶点的坐标分别为A(5,1), B(7,-3)，C(2, -8) ，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是
所以， 的外接圆的方程是
解此方程组，得
结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标可以确定一个圆的方程
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．
分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上．又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线 l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
，直线AB的斜率
B
x
o
y
A
C
l
即
因此线段AB 的垂直平分线 的方程是
圆心C 的坐标是方程组
的解．
解此方程组，得
所以圆心C 的坐标是
圆心为C 的圆的半径长
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②代入法.
作业
P120-121练习：1，2，3，4
4.1.2
圆的一般方程
1. 圆的标准方程 展开可得到一个什么式子
2. 方程
与 都表示的图形是圆吗？
解：分别配方得
第一个方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆. 第二个方程没有实数解，不存在点的坐标（x,y)满足这个方程，它不表示任何图形.
方程 在什么条件下表示圆？
（1）当 时，
表示圆，
（2）当 时，
表示点
（3）当 时，
不表示任何图形
圆的一般方程
其中
练习
判断下列方程是不是表示圆
表示以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
表示点（2，3）
不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？
圆的一般方程的特点 ：
（1）x2、y2 的系数相同，都不为0．
（2）没有形如xy的二次项．
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．
例1 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
上述解法用了一般方程，请你比较上节课的标准方程的解法.
用标准方程解答
待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
B
M
x
o
例2 方程
表示的图形是一个圆，求a 的取值范围.
小结
1.圆的一般方程的结构特点.
2.用配方法化一般方程为标准方程.
3.求圆的一般方程的方法：
①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
作业
P123练习：1，2，3.
P124习题4.1A组：1，2，3，4
4.1
圆的方程
主要内容
4.1.2 圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
4.1.1
圆的标准方程
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
定点
定长
圆心
半径
·
r
C
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径 r 的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离．
x
O
C
M(x,y)
y
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
标准方程
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程.
x
y
O
C
M(x,y)
解：设点M (x,y)为圆C上任一点，
P = { M | |MC| = r }
圆上所有点的集合
在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C:
，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2
y
O
C
M
1.点M在圆外，|MC|>r
2.点M在圆上，|MC|=r
3.点M在圆内，|MC|
解:
圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是
把 的坐标代入圆的方程，左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；
把点 的坐标代入方程，左右两边不相等， 点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个 圆上．
例2 的三个顶点的坐标分别为A(5,1), B(7,-3)，C(2, -8) ，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是
所以， 的外接圆的方程是
解此方程组，得
结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标可以确定一个圆的方程
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．
分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上．又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线 l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
，直线AB的斜率
B
x
o
y
A
C
l
即
因此线段AB 的垂直平分线 的方程是
圆心C 的坐标是方程组
的解．
解此方程组，得
所以圆心C 的坐标是
圆心为C 的圆的半径长
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②代入法.
作业
P120-121练习：1，2，3，4
4.1.2
圆的一般方程
1. 圆的标准方程 展开可得到一个什么式子
2. 方程
与 都表示的图形是圆吗？
解：分别配方得
第一个方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆. 第二个方程没有实数解，不存在点的坐标（x,y)满足这个方程，它不表示任何图形.
方程 在什么条件下表示圆？
（1）当 时，
表示圆，
（2）当 时，
表示点
（3）当 时，
不表示任何图形
圆的一般方程
其中
练习
判断下列方程是不是表示圆
表示以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
表示点（2，3）
不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？
圆的一般方程的特点 ：
（1）x2、y2 的系数相同，都不为0．
（2）没有形如xy的二次项．
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．
例1 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
上述解法用了一般方程，请你比较上节课的标准方程的解法.
用标准方程解答
待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
B
M
x
o
例2 方程
表示的图形是一个圆，求a 的取值范围.
小结
1.圆的一般方程的结构特点.
2.用配方法化一般方程为标准方程.
3.求圆的一般方程的方法：
①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
作业
P123练习：1，2，3.
P124习题4.1A组：1，2，3，4