3.3直线的交点坐标与距离公式（新课标A版）

(共47张PPT)
3.3
直线的交点坐标与距离公式
主要内容
3.3.2 两点间的距离
3.3.3 点到直线的距离
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.4两条平行直线间的距离
3.3.1
两条直线的交点坐标
一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？
用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
几何概念与代数表示
几何元素及关系 代数表示
点A
直线l
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
A的坐标满足方程
A的坐标是方程组的解
对于两条直线
和 ,
若方程组
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
两直线有一个交点， 重合、平行
例1. 求下列两条直线的交点坐标
当 变化时，方程
表示什么图形？图形有何特点？
表示的直线包括过交点M（-2，2）的一族直线
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标.
（1）
（2）
（3）
例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.
例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.
x
y
o
B
A
P
小结
1.求两条直线的交点坐标
2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行）
3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：
1）有惟一解 2）无解 3）无数多解
4.直线族方程的应用
作业
P109 习题3.3A组：1，3，5.
P110 习题3.3B组：1.
3.3.2
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何点P1和P2的距离|P1P2|？
x
y
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
O
两点间距离公式推导
x
y
P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
Q(x2,y1)
O
x2
y2
x1
y1
两点间距离公式
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
一般地，已知平面上两点P1(x1， )和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为
例1 已知点 和 , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (a+b,c)
D (b,c)
证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系.
则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)
建立坐标系，用坐标表示有关的量。
x
y
A
B
C
D
(0,0)
(a,0)
(b,c)
(a+b,c)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
例2题解
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系，
用坐标系表示有关的量
第二步：进行
有关代数运算
第三步：把代数运算结果
“翻译”成几何关系
小结
1.两点间距离公式
2.坐标法
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系
拓展
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？
例3 设直线2x-y+1=0与抛物线
相交于A、B两点，求|AB|的值.
P106练习：1，2.
P110习题3.3 A组：6，7，8.
作业
3.3.3
点到直线的距离
已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax +By +C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
o
P0
Q
l
y
点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足．
分析思路一：直接法
直线 的方程
直线 的斜率
直线 的方程
直线 的方程
点 之间的距离 （点 到 的距离）
点 的坐标
直线 的斜率
点 的坐标
点 的坐标
x
y
O
x
y
O
面积法求出P0Q
求出点R 的坐标
求出点S 的坐标
利用勾股定理求出SR
分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
R
S
d
求出P0R
求出P0S
x
y
P0 (x0,y0)
O
x0
y0
S
R
Q
d
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
特别地，当A=0，B 0时， 直线By+C=0
特别地，当B=0，A 0时， 直线Ax+C=0
x
y
P0 (x0,y0)
O
|x1-x0|
|y1-y0|
x0
y0
y1
x1
点到坐标轴的距离
x
y
P0 (x0,y0)
O
|y0|
|x0|
x0
y0
例1.求点 到直线 的距离．
解：
思考：还有其他解法吗？
例2 已知点 ，求 的面积．
分析：如图，设 边上的高为 ，则
y
1
2
3
4
x
O
-1
1
2
3
边上的高 就是点 到 的距离．
y
1
2
3
4
x
O
-1
1
2
3
即：
点 到 的距离
因此
解：
边所在直线的方程为：
小结
点到直线的距离公式的推导及其应用
点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
作业
P110习题3.3A组：8,9.
3.3B组：2,4
3.3.4
两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等
怎样判断两条直线是否平行？
2.设l1//l2，如何求l1和l2间的距离？
1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
2) 如何取点，可使计算简单？
例1 已知直线 和 l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
两平行线间的距离处处相等
在l2上任取一点，如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
解：
例3. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
所以P点坐标为：
例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- y +7=0与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。
小结
1. 两条平行直线间距离的求法
转化为点到直线的距离
2. 两条平行直线间距离公式
作业
P110习题3.3A组： 10.
习题3.3B组：3，6，9