4.2直线、圆的位置关系

(共47张PPT)
4.2
直线、圆的位置关系
主要内容
4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2.1
直线与圆的位置关系
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
O
为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度．
港口
轮船
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O 的圆的方程为
轮船航线所在直线 l 的方程为
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
O
港口
轮船
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
d（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
d=r
（3）直线与圆相离，没有公共点．
d>r
分析：方法一代数法：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
方法二几何法：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线l与圆的方程，得
例1 如下图，已知直线l： 和圆心为C 的圆 ，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
①
②
因为
=1>0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
解法二：圆 可化为
其圆心C 的坐标为（0，1），半径长为 ，点C （0，1）到直线 l 的距离
代入②消去y，得
由①得
③
由 ，解得
所以，直线l与圆相交，有两个公共点．
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是
把 代入方程①，得 ；
把 代入方程① ，得 ．
A（2，0）,B（1，3）
判断直线与圆的位置关系常用几何法（方法二），但如果求交点坐标就最好用代数方法（方法一）了
解：将圆的方程写成标准形式，得
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为
例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ， 求直线的方程．
即圆心到所求直线的距离为
因为直线l 过点 ，所以可设所求直线l 的方程为
即
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的距离
因此
即
两边平方，并整理得到
解得
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为
或
即
直线方程化为一般式
1.设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何求过点 M 的圆的切线方程？
M
x
o
y
x0x+y0y=r2
2.设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2 = r2 外一点，如何求过点M的圆的切线方程？
M
x
o
y
小结
1.直线和圆的位置关系的判断
2.会求弦长和圆的切线
代数法
几何法
圆心到直线的距离和半径的关系
解直线和圆方程联立的方程组
判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
消去y（或x）
作业
P128练习：2，3，4．
P132习题4.2A组：1，2，3，5．
4.2.2
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有哪几种？ 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？
圆与圆的位置关系
外离
O1O2>R+r
O1O2=R+r
R-rO1O2=R-r
0≤O1O2O1O2=0
外切
相交
内切
内含
同心圆（内含）
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
外切
内切
几何方法
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
代数方法
消去y（或x）
两个圆的方程联立解方程组，根据解的个数判定两圆的位置关系.
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系.
分析：方法一 圆C1圆C2有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；
方法二，可以依据连心线的长与两个半径长的和r1+r2或两半径长的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.
比较上述两种解法的优劣？如果例1中要求公共点的坐标，用哪求法比较合适？
显然上述例子中只要判断两圆的位置关系，用几何方法比较简单，但如果要求公共点的坐标，必须用代数方法求解方程组.
例2.求经过点M(3,-1) ,且与圆
切于点N(1,2)的圆的方程.
y
O
C1
M
N
C
x
D
分析：求圆的方程主要找到圆心C（a,b)和半径r即可.r=CM
显然,圆心C在已知圆圆心C1和切点N的连线上，同时圆心C又在MN的垂直平分线上. 所以只要写出直线C1N方程和MN的垂直平分线方程即可联立求得圆心.
例3 已知一个圆的圆心为M（2，1），且与圆C：x2＋y2－3x＝0 相交于A、B两点，若圆心M到直线AB的距离为 ，求圆M的方程.
x2＋y2－4x－2y－1＝0
A
B
M
C
D
例4. 求圆 关于直线
对称的圆的方程.
C
E
D
(a,b)
解：
设对称圆圆心为D（a,b)半径同圆C.
满足
1.若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
相交，则其公共弦所在直线的方程是
(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0，
那么过交点的圆系方程是什么？
m(x2+y2+D1x+E1y+F1)+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
2.若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
相切，则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0
表示的直线是什么？若两圆相离呢？
小结
1.圆和圆的位置关系的判断
2.会求相交圆的公共交点坐标.
代数法
几何法
圆心到直线的距离和半径的关系
解直线和圆方程联立的方程组
作业
P132习题4.2A组：4,6,9,11
4.2.3
直线与圆的方程的应用
1.平面几何、立体几何和解析几何在研究问题时的本质区别是什么？
2. 坐标在几何学和代数学之间的联系起了什么作用？
在平面直角坐标系下，与坐标有关的问题
1.两点间距离公式
2.直线的方程
点到直线的距离，平行直线间距离
3.圆的方程
点、直线、圆和圆的位置关系
4. 解决问题的出发点
2）几何方法
1） 代数方法
譬如，用解方程组的方法判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
譬如，用平面几何相切的意义来判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
5.用建立坐标系的方法 解决实际问题或平面几何中问题.
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
分析:如图所示，建立直角坐标系，求出圆弧所在的圆的方程，那么只要知道点P2的坐标，就可得出支柱A2P2的高度，化几何问题为代数问题.
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
X
y
o
分析：许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系，
由于四边形的对角线互相垂直，以对角线为坐标轴较好，进而设定四个顶点坐标，随后用坐标法验证本题的结论.
A
O’
D
C
B
例3 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
O
A
B
P
C
X
y
分析：建立适当的坐标系，求出点 P所在的圆的方程，再写出点 P到顶点的距离的平方和，用代数方法求出最值.
O1
M
O2
P
N
o
y
x
例4 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
分析：建立适当的坐标系， 求出点P的轨迹方程，在依据方程判断点P的运动轨迹.
思想方法小结
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
第一步：建立适当的平面直角坐标系.用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
“坐标法“三步曲
作业
P132练习:1，2，3，4.
P133习题4.2B组:1，2，3.