2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（新课标A版）

(共91张PPT)
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
主要内容
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平面
2.1.1
平 面
构成图形的基本元素
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
点、线、面
点无大小
线无粗细
面无厚薄
点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合
在平面几何中，怎样画直线？在立体几何中，怎样画平面？
点
直线
平面
可无限延伸的
平面是可无限延展的
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，这些都给我们以平面的印象.请问同学们：你们能举出更多例子吗？
我们不能把一个无限延展的平面在纸上表示出来，通常用平面的一部分表示平面
1、平面的概念
桌面
黑板面
平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
平面的表示
平面的画法
一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长。
图一
图二
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
α
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来.
平面的符号表示

1. 希腊字母： 平面 ， 平面 ，平面
2. 两个或几个拉丁字母： 平面BD, 平面AC，
平面ABCD等
A
B
C
D
平面的表示
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面 和平面 相交于一条直线a


a
a
平面 平面 =直线a
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
平面的表示
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l.
直线 l 在平面α外.
P∈L, A∈α
l α
４、点与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
A
B
α
① 点A在平面α内，记作A∈α
② 点B在平面α外，记作B α
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
练习
2、图中平面α与平面β是否为同一平面？
α
β
α
β
α
β
不是
是
不是
练习
3、观察下面两个图形，用模型来说明它
们的位置有什么不同.
练习
如果直线 与平面α有一个公共点，直线 是否在平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
公理1
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，支持的整个边缘就落到了桌面上。
由上述经验和类似的事实你得到什么启示？
平面的基本性质
．
．
A
B
α
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
集合符号表示
平面经过这条直线
A∈l,B∈l且A∈α，B∈α则 l α
文字语言
图形语言
符号语言
m
B
·
错误
直线m不在平面m内表示为
·
A
·
.
.
作用？
由点、线、面的关系有
直线 在平面α内表示为
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
公理2
生活中，我们常常可以看到这样的现象：三角架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等。
由上述经验和类似的事实你得到什么启示？
平面的基本性质
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？
作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
集合符号表示
．
．
．
A
B
C

“不共线的三点确定一个平面”
已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面 ，使得A、B、C
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α.
文字语言
图形语言
符号语言
公理2：过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
α
·A
·B
·C
作用？
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P
作用：判断两个平面位置关系的基本依据
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
文字语言
图形语言
符号语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
α
β
·
P
作用？
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
A
B
β
α
a
l
(1)
a
b
P
l
β
α
(2)
解：1） A ，B ， =l，a =A，a =B
2) a ,b , =l,a l=P, b l=P, a b=P
P
a
例2：已知直线a，和点P，P a，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.
证明：点P是直线a外一点，在直线a上任取两点
A、B,根据公理2，经过不共线的三点P、A、B
有一个平面α。
因为点A、B在平面α内，所以根据公理1，
直线a在平面α内，即平面α是经过直线a和点P
的平面。
又因为点A、B在直线a上，所以任何经过点P
和直线a的平面一定经过点P、A、B。
于是再根据公理2，经过不共线的三点P、A、B
的有且只有一个平面，所以经过点P和直线a有且只
有一个平面.
探究问题
根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.
根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.
根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？
为什么？
练习
①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？
②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
④用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线 在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线 ；
⑷直线 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；
⑸直线 是平面α和β的交线，直线m在平面α内,
和m相交于点P.
小结
1.平面的表示：概念、图形、符号等
2.平面的基本性质
公理1
公理2
公理3
3.判断共面的方法
作业
P43 练习1,2,34
P51 习题A组 1，2
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？
C
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何
C
B'
C'
A'
D'
B
A
D
观察
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
b
a
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；
B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一个平面内的两条直线；
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？
问题
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
相交直线:
平行直线:
共面直线
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点
同一平面内，有且只有一个公共点；
同一平面内，没有公共点；
如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对
探究
F
A
H
G
E
D
C
B
C
D
B
A
E
F
G
H
直线EF 和直线HG
直线AB 和直线CD
直线AB 和直线HG
答：3对
平行直线
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗
C
B'
C'
A'
D'
B
A
D
观察
答：平行
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
空间中的平行线具有传递性
如果a//b，b//c，那么a//c
A
F
E
D
C
B
A
B
C
D
E
F
三条平行线共面
三条平行线不共面
平行直线
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
A
F
E
D
C
B
A
B
C
D
E
F
三条平行线共面
三条平行线不共面
问题
平行直线
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
F
G
D
A
E
B
C
H
所以
，且
同理
，且
因为
，且
所以 四边形EFGH 是平行四边形．
证明：连接BD，
因为 EH是 的中位线，
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？
探究
答：四边形EFGH是菱形
F
G
D
A
E
B
C
H
等角定理
在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？
思考1
如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何
思考2:
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
∠ADC=∠A′D′C′
∠ADC+∠B′A′D′=1800
如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？
思考3
B
C
A
B
C
A
E
E
D
D
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.
异面直线所成的角
复习：
1、异面直线的概念：
我们把___________________________________叫做异面直线
2、空间两条直线的位置关系有且只有__种：____________
3、平行公理4：________________________________
。（平行线的传递性）
4、等角定理：__________________________
___________________________
不同在任一平面内的两条直线
三
相交、平行、异面。
平行于同一条直线的两直线互相平行
空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
若a∥c，b∥c 则a∥b
其特点是既不相交也不平行
问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。
A
B
C
D
A
B
C
D
1
1
1
1
E
说明：从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”来考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2：用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？
距离和角
问题3：一张纸中画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出a、b所成角的大小？其理论依据是什么？
a
b
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？
b’
异面直线所成的角
a
b
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？
a
b
平面内两条相交直线
空间中两条异面直线
O
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．
O
异面直线所成的角
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.
探究
记直线a垂直于b为：a b
异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫直线a和b所成的角。
思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。
a
b
a’
O
O’
O1
a’
b’
b1
a1
探究:
（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行
即a∥b，若a⊥c，则b⊥c
下面我们来探究更一般的角的问题
a
b
c
异面直线所成的角
探究
（1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
如：
等．
垂直
不一定，如上图的立方体中
直线AB与BC相交，
异面直线所成的角
例3 已知正方体 ．
（1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？
（2）直线 和 的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？
解:（1）由异面直线的定义可知，
棱 所在的直线分别与直线 是异面直线．
（3）直线
分别与直线 垂直．
（2）由 可知，
为
异面直线 与 的夹角， ，
所以 与 的夹角为 ．
在如图所示的长方体中，AB= ，且
AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
30O
练习1
巩固、提高
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
D
1
A
B
C
D
A
B
C
1
1
1
分析：
（1）∵B1B // CC1
∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角
在△A1BB1中，A1B1=BB1；
∴ ∠A1BB1=45o
∴A1B与CC1所成的角为45o
--------找
--------证
--------算
--------答
巩固、提高
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
口答
（2） A1B1与C1C所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角。
A
B
C
D
A
B
C
D
1
1
1
1
（2）∠A1B1B=90o
（3）∠A1C1B1=45o
（4）∠BA1C1=600
小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
简记为“作（找）——证——算——答”。
（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。
　小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3，
, 求异面直线AB和CD所成的角.
A
F
E
D
C
B
练习2
变式一：
（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120°
步骤 “作（找）——证——算——答”
A
B
C
D
A
B
C
D
1
1
1
1
E
G
F
H
解：连接A1B，BC1，A1C1
∵A1B // EF，BC1 // GH
∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角
在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1
∴∠A1B C1=60°
∴异面直线EF与GH所成的角等于60°
n直线相交最多有几个交点？
练习3
课堂小结：
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。
2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四步骤。
3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即“化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。
本节小结
（1）空间直线的三种位置关系．
（2）平行线的传递性．
（3）等角定理．
（4）异面直线所成的角．
基本知识
基本方法
把空间中问题通过平移转化为平面问题.
课后作业：
课本第48页练习第2题。
补充：
1、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR= ，AC=BD=2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。
D
A
B
C
R
P
A
B
C
D
A
B
C
D
1
1
1
1
作业
P48 练习1，2
P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6，
B组1
2.1.3
空间中直线与平面之间的位置关系
主要内容
直线与平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
直线与平面
思考？
1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？
2）如图，线段A’B所在直线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六个面所在平面有几种位置关系？
C
B'
C'
A'
D'
B
A
D
直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内
有无数个公共点
a

记为：a
直线与平面
(2)直线与平面相交
有且只有一个公共点
a

记为：a =A
A
直线与平面
（3）直线与平面平行
没有公共点
a

记为：a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
记为：a
a

a//
a

a =A
A
或
直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( )
1）若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l//
2) 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行
3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
4）若直线 l与平面 平行，则 l与平面 内的任意一条直线都没有公共点.
(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
B
主要内容
直线与平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
作业
P49 练习
P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2，3
平面与平面之间的位置关系
2.1.4
平面与平面之间的位置关系
思考
（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
（2）如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
C
B'
C'
A'
D'
B
A
D
两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种
①两个平面平行——没有公共点
②两个平面相交——有一条公共直线．
分类的依据是什么？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示




//
m
=m
已知平面 ，直线a、b，且 // ，a ，b ，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
探究1
a


b
答：平行或异面
探究2
α
β
γ
a
b
l
b
α
β
γ
a
l
相交于一条交线
三条交线
三条交线
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
一个平面可以把空间分成几个部分？
两个平面可以把空间分成几个部分？
三个平面可以把空间分成几个部分？
探究3
小结
平面与平面的位置关系
平面与平面相交
平面与平面平行
作业
P50 练习
P52 习题2.1 A组7，8