直线和圆基础习题和经典习题Word加答案

【知识网络】
综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．
【典型例题】
[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是 （ ）
A．（0，－1） B．（－1，＋1）
C．（－－1，－1） D．（0，＋1
（2）圆（x－1)2＋(y＋)2=1的切线方程中有一个是 （ ）
A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0
（3）“a=b”是“直线”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为 ．
（5）过点（1，）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ．
[例2] 设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2，求圆的方程．
[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
[例4] 已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2)．
(1)求证：（a－2)(b－2)=2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．
【课内练习】
1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋=0相切的直线的方程为 （ ）
A．y=－3x 或y=x B．y=3x 或y=－x
C．y=－3x 或y=－x D．y=3x 或y=x
2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( )
A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2 ＋(y－2)2=5
C． (x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2 ＋(y＋2)2=5
3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点轴对称 D．关于y=x轴对称
4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（－3，2） D．（2，－3）
5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是 ．
6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则　＝　　　 .
7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是 ．
8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．
9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0
（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；
（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．
10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．
(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；
（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．
11．5直线与圆的综合应用
A组
1．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为 （ ）
A．± B．±2 C．±2 D．±4
2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
3．从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A．π B． 2π C． 4π D． 6π
4．若三点A（2，2），B（a,0)，C（0，b)（a，b均不为0）共线，则的值等于 ．
5．设直线ax－y＋3=0与圆（x－1)2＋(y－2)2=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为2，则a等于 ．
6．光线经过点A（1，），经直线l：x＋y＋1=0反射，反射线经过点B（1，1）．
（1）求入射线所在的方程；
（2）求反射点的坐标．
7．在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

8．过圆O：x2＋y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为l上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方程．
B组
1．已知两定点A（－2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）
A．π B．4π C．8π D．9π
2．和x轴相切，且与圆x2＋y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）
A．x2=2y＋1 B．x2=－2y＋1 C．x2=2y－1 D．x2=2|y|＋1
3．设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是 （ ）
　　A．20　 B．19 C．18 D．16
4．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 .
5．已知圆M：（x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2=1，直线l：y=kx，下面四个命题
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M都相切；
B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．
7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为lBT：y＋1=0,lCK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．
8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．
11．5直线与圆的综合应用
【典型例题】
例1 （1）A．提示：用点到直线的距离公式．
（2）C．提示：依据圆心和半径判断．
（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．
（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．
（5）,2) ．提示：过圆心（2，0）与点（1，）的直线m的斜率是－，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．
例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2, 点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2，，故r2－()2=2,依据上述方程解得：
或
∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．
例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),则，整理得（λ2－1）（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0
当λ=1时，表示直线x=；
当λ≠1时，方程化为，它表示圆心在，半径为的一个圆．
例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；
（2）设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a－2)(b－2)=2，得（x－1)(y－1)=(x＞1,y＞1)；
(3)由（a－2)(b－2)=2得ab＋2=2(a＋b)≥4,解得≥2＋（≤2－不合，舍去），当且仅当a=b时，ab取最小值6＋4，△AOB面积的最小值是3＋2．
【课内练习】
1．A．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．
2．D．提示：求圆心关于原点的对称点．
3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．
4．A．提示：圆心在直线l2上．
5．0＜k＜．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．
6．．提示：求弦所对圆心角．
7．2x＋y－10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．
8．2x＋11y＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写l2的方程；或直接设l2上的任意一点，求其关于l的对称点，对称点在直线l1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．
9．（1）提示：∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0, x＋y＋1=0, x－y＋5=0, x－y＋1=0．
(2)将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=，
∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，
又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．
|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即．
从而解方程组，得满足条件的点P坐标为（－，）．
10．（1）由题意设P（x0,y0)在圆外,切线l：y－y0=k(x－x0)，，
∴（x02－10)k2－2x0·y0k＋y02－10=0
由k1＋k2＋k1k2=－1得点P的轨迹方程是x＋y±2=0．
（2）∵P（x0,y0)在直线x＋y=m上，∴y0=m－x0,又PA⊥PB，∴k1k2=－1,,即：x02＋y02=20,将y0=m－x0代入化简得,2x02－2mx0＋m2－20=0
∵△≥0,∴－2≤m≤2,又∵x02＋y02＞10恒成立，∴m＞2,或m＜－2
∴m的取值范围是[－2，－2]∪（2，2]
11．5直线与圆的综合应用
A组
1．B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．
2．A．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式．
3．B．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．
4．．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a＋2b=ab，两边同除以ab即可．
5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．
6．（1）入射线所在直线的方程是：5x－4y＋2=0；（2）反射点（－，－）．提示：用入射角等于反射角原理．
7．点A既在BC边上的高所在的直线上，又在∠A的平分线所在直线上，由
得A（－1，0）
∴kAB=1
又∠A的平分线所在直线方程为y=0
∴kAC=－1
∴AC边所在的直线方程为 y=－（x＋1） ①
又kBC=－2,
∴BC边所在的直线方程为 y－2=－2（x－1） ②
①②联列得C的坐标为（5，－6）
8．设所求轨迹上的任意一点H（x,y)，圆上的切点Q（x0,y0)
∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH为菱形．
∴x0=x,y0=y－2．
∵点Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4
∴H点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)．
B组
1．B．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．
2．D．提示：设圆心（x,y)，则
3．C．提示：考虑斜率不相等的情况．
4．．提示：弦的垂直平分线过圆心．
5． B，D．提示：圆心到直线的距离=|sin(θ＋）|≤1．
6．作MC⊥AB交PQ于M，则MC是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M为PQ的中点．设M（x,y),则点C，O1，O2的坐标分别为（x,0),(,0),( ,0)
连O1M，O2M，由平面几何知识知∠O1MO2=90°．
∴|O1M|2＋|O2M|2=|O1O2|2，代入坐标化简得：x2＋4y2=9(－3＜x＜3)
7．∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线，∴点A关于BT,CK的对称点A′，A″必在BC所在直线上，所以BC的方程是x＋2y－3=0．
8．线段OP的中点坐标为（（b3－b),(c3－c)),以OP为直径的圆的方程是[x－（b3－b)]2＋[y－(c3－c)]2=[ （b3－b)]2＋[(c3－c)]2……①
将x2＋y2=（3a＋1)2代入①得：（b3－b)x＋(c3－c)y=（3a＋1)2
这就是过两切点的切线方程．
因b3－b=b(b＋1)(b－1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．
同理，c3－c也能被3整除．
于是（3a＋1)2要能被3整除，3a＋1要能被3整除，因a是整数，故这是不可能的．
从而原命题得证．