3.2直线的方程
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(共39张PPT)
直线的方程
3.2
主要内容
3.2.2 直线的两点式方程
3.2.3 直线的一般式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
3.2.1
在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否将直线上所有的点的坐标 满足的关系表示出来呢？
x
y
O
l
即：
x
y
O
l
点斜式方程
点斜式方程
直线 经过点 ，且斜率为 ,设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：
P
（1）过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程 吗？
（2）坐标满足方程 的点都在过点 斜率为 的直线 上吗？
上述两条都成立，所以这个方程
就是过点 斜率为 的直线 的方程．
点斜式方程
，或
x
y
O
l
的方程就是
（1） 轴所在直线的方程是什么？
当直线 的倾斜角为 时，即 ．
这时直线 与 轴平行或重合，
（2） 轴所在直线的方程是什么？
，或
当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时,直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是
x
y
O
l
例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为600,求直线l的点斜式方程，并画出直线 l.
P0
P
x
y
o
如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为
得直线的点斜式方程，
也就是：
x
y
O
l
b
我们把直线与 轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。
该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
直线的斜截式方程
例2 已知直线 ， 试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？
解：
,且 ；
例3 求下列直线的斜截式方程:
（1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直；
（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.
例4 已知直线 l 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
1. 直线的点斜式方程：
2. 直线的斜截式方程:
小结
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
3. 特殊情况
作业
P95练习：1，2，3，4
P100习题3.2 A组：1，5，6，10.
3.2.2
直线的两点式方程
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.
可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.
两点式方程
x
y
l
P2(x2，y2)
两点式
P1(x1，y1)
斜率
根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
截距式方程
x
y
l
A(a，0)
截距式
B(0，b)
解：代入两点式方程得
化简得
横截距
纵截距
例1. 已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a 0，b 0，求直线方程
中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？
x
y
A(x1，y1)
B(x2，y2)
中点
P0的坐标为
例2 已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
A
B
x
y
o
C
M
例3.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
P
x
y
o
例4 求经过点P(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.
例5. 已知直线 l 经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.
P
x
y
o
B
A
直线方程小结
两点坐标
两点式
点斜式
两个截距
截距式
P97练习：1，2.
P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
作业
3.2.3
直线的一般式方程
1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
2. 每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程
2. 经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程：
x-x0=0
可以看成y的系数为0的二元一次方程.
对于二元一次方程 Ax+By+C=0（A,B不全为零）
1）当B 0时可化为
表示经过点（0， ），斜率k为 的直线.
2) 当B=0时，A 0，方程可化为
表示垂直于x轴的直线.
直线的一般式方程
（其中A，B不同时为0）
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
2. 所有二元一次方程都表示直线
此方程叫做直线的一般式方程
例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.
例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
两条直线平行和垂直的条件
平行
垂直
重合
例3 已知直线
l1：ax+(a+1)y-a=0
和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，
若l1//l2，求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，
若l1⊥l2，求a的值.
小结
点斜式
斜率和一点坐标
斜截式
斜率k和截距b
两点坐标
两点式
点斜式
两个截距
截距式
一般式
小结
1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式. 反之不一定.
2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0.
有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式.
3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系.
4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般式.
P99-100练习：1，2.
P101习题3.2B组：1，2，5.
作业
直线的方程
3.2
主要内容
3.2.2 直线的两点式方程
3.2.3 直线的一般式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
3.2.1
在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否将直线上所有的点的坐标 满足的关系表示出来呢？
x
y
O
l
即：
x
y
O
l
点斜式方程
点斜式方程
直线 经过点 ，且斜率为 ,设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：
P
（1）过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程 吗？
（2）坐标满足方程 的点都在过点 斜率为 的直线 上吗？
上述两条都成立，所以这个方程
就是过点 斜率为 的直线 的方程．
点斜式方程
，或
x
y
O
l
的方程就是
（1） 轴所在直线的方程是什么？
当直线 的倾斜角为 时，即 ．
这时直线 与 轴平行或重合，
（2） 轴所在直线的方程是什么？
，或
当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时,直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是
x
y
O
l
例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为600,求直线l的点斜式方程，并画出直线 l.
P0
P
x
y
o
如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为
得直线的点斜式方程，
也就是：
x
y
O
l
b
我们把直线与 轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。
该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
直线的斜截式方程
例2 已知直线 ， 试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？
解：
,且 ；
例3 求下列直线的斜截式方程:
（1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直；
（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.
例4 已知直线 l 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
1. 直线的点斜式方程：
2. 直线的斜截式方程:
小结
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
3. 特殊情况
作业
P95练习：1，2，3，4
P100习题3.2 A组：1，5，6，10.
3.2.2
直线的两点式方程
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.
可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.
两点式方程
x
y
l
P2(x2，y2)
两点式
P1(x1，y1)
斜率
根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
截距式方程
x
y
l
A(a，0)
截距式
B(0，b)
解：代入两点式方程得
化简得
横截距
纵截距
例1. 已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a 0，b 0，求直线方程
中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？
x
y
A(x1，y1)
B(x2，y2)
中点
P0的坐标为
例2 已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
A
B
x
y
o
C
M
例3.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
P
x
y
o
例4 求经过点P(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.
例5. 已知直线 l 经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.
P
x
y
o
B
A
直线方程小结
两点坐标
两点式
点斜式
两个截距
截距式
P97练习：1，2.
P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
作业
3.2.3
直线的一般式方程
1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
2. 每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程
2. 经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程：
x-x0=0
可以看成y的系数为0的二元一次方程.
对于二元一次方程 Ax+By+C=0（A,B不全为零）
1）当B 0时可化为
表示经过点（0， ），斜率k为 的直线.
2) 当B=0时，A 0，方程可化为
表示垂直于x轴的直线.
直线的一般式方程
（其中A，B不同时为0）
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
2. 所有二元一次方程都表示直线
此方程叫做直线的一般式方程
例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.
例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
两条直线平行和垂直的条件
平行
垂直
重合
例3 已知直线
l1：ax+(a+1)y-a=0
和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，
若l1//l2，求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，
若l1⊥l2，求a的值.
小结
点斜式
斜率和一点坐标
斜截式
斜率k和截距b
两点坐标
两点式
点斜式
两个截距
截距式
一般式
小结
1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式. 反之不一定.
2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0.
有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式.
3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系.
4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般式.
P99-100练习：1，2.
P101习题3.2B组：1，2，5.
作业